三版数学课标“统计与概率”领域中的实例：变革与启示

张定强， 徐 坤

(西北师范大学 教师教育学院， 甘肃 兰州 730070)

一、研究背景及意义

2022年4月，教育部正式颁布《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“2022版课标”)，在数学课程性质和课程理念的宏观指导下，对课标的核心内容“课标目标”“课程内容”“学业质量”进行了修订完善，并对落实课程标准关键活动的参与者提出了实施建议[1]，课标明确了以核心素养为导向的数学课程目标，重新划分学段，对课标中的实例也做出了相应的调整和完善，增强了指导性。“实例”与课程内容、学业质量相紧扣，这些实例的完善不仅使“为何教”“教什么”“教到什么程度”更加明确，而且明晰了“怎么教”的具体策略，进而使课程育人落到实处。通过“实例”的示范引领进一步发展学生“四基”，提高“四能”，形成正确的情感、态度和价值观。由此可见，实例无论在课程标准中还是在实际教育教学中都扮演着十分重要的角色。基于此，本文就2022版课标与《全日制义务教育数学课程标准(实验版)》(以下简称“2001版课标”)及《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“2011版课标”)进行比较研究，以期用实例来解读各版标准在此处变化之中所蕴含的育人理念。

二、三版课标“统计与概率”领域中实例的变革

实例以不同的样态展现在三版课程标准中，无论是呈现方式还是具体内容上都发生了不小的变动。

呈现方式上，2001版课标实例紧扣课程内容，并不单列成章，在不同的学段、主题中分别进行排序，标注为“例x”[2]；而在2011版课标中，呈现在“附录2：课程内容与实施建议中的实例”中，将课程标准所涉及的实例统一排序并标注为“例x”[3]；2022版课标中，将这一部分提前至“附录1：课程内容中的实例”，排序及标注方式与2011版课标相同[4]。

具体内容上，2001版课标中只有部分实例附有说明，而“统计与概率”领域中的实例则全无说明；但在2011版课标和2022版课标中，每个实例题干后均附有详细说明，特别是2022版课标中的实例说明更加清晰和精确，示范功能发挥得尤为充分。通过说明，读者可以充分了解“实例”出自的背景及情境、蕴藏的思想及方法、解决的思路及策略，拓展的维度及建议，帮助读者加深理解并合理应用。

(一)实例在量上的变革

在对“统计与概率”领域实例的比较研究中，首先对数量进行统计，发现三版课标中“统计与概率”部分实例的数量及分布如表1所示。

表1 三版课标“统计与概率”领域中实例的数量分布(单位：个)

整体来看，三版课标“统计与概率”领域中实例总数相差不大，但在“统计”和“概率”两部分中各自的实例在数量上出现了较大的变化。2001版课标分别设置了9个实例，较为均衡；但在2011版课标中，概率部分的实例下降至3个，2022版课标中仅剩1个。这样的变化一方面是由于概率部分的知识点数量减少，实例个数也随之减少；另一方面是因为概率部分对实例的内容进行了优化，在质量不下降的同时减少数量。统计与概率各自领域实例数量的比重虽然进行了调整，但这两个学科紧密联系，相互嵌套的课程本质是不变的。因此，不能因为实例数量的调整就区别看待两学科在教学中的重要性。在理解“统计与概率”部分实例的时候，要注意统计与概率的相互渗透，并在教学过程中有意识地将这两部分的知识内容融合，让学生通过收集、整理、分析数据来多角度、多方式地学习相关知识。这不仅能对学生的数学思维和实际应用能力起到促进作用，还能立体化地培养学生的数据意识和数据观念。

(二)实例在质上的变革

相比于数量，实例更加显著的变化体现在其内容编排上。实例和所对应的课程内容有着紧密的关系，总结发现有以下几种变化类型：实例的主干不变但对应知识点的描述有微小变化；知识点主体不变但对应实例有一定的变化；新增知识点相应地新增了实例。

1.实例主干不变但知识点描述有微小变化

历经20余年，有一些实例凭借其典型性、基础性在数次课标修订中留存至今。具体如表2所示。

表2 三版课标中实例主干不变及对应知识点描述

三个版本的实例均集中于调查电视节目收视率这一实际问题，有利于激起学生的好奇心和求知欲，题眼都是设计调查方法。题干中设置了三个问题，循序渐进地点出了抽样的必要性、总体与样本的关系、简单随机抽样等知识点。说明实例在问题情境和数学知识本质的考查上均无改变。

但实例所对应的知识点描述则发生了细微的变化。相较于2001版课标，后两版课程标准中相应知识点的描述更加简洁、明确。删除了“通过丰富的实例”，将“指出总体……得到不同的结果”简化为“通过实例了解简单随机抽样”。此外，行为动词也发生了变化，由“感受”变为“体会”，由“了解”变为“认识”。“体会”是比“感受”更高一级的过程性行为动词，说明在后两版课程标准中对学生学习过程的主动性和参与性提出了更高的要求。“了解”和“认识”在课标中是同等水平要求的结果性行为动词，但就其词意而言，“认识”一词在认知层次上略高于“了解”。这两处行为动词的变化虽然细微，但也说明课程内容的难度和对学生的理解能力要求更高了，体现了课程标准的时代性和灵活性。总体来看，无论是实例题干还是知识点描述，2011版及2022版课标都变得更加简洁明确。

2.知识点主体不变但实例的表述有一定的变化

这一类型的实例较多，下文根据实例本身和实例后附说明的变化分别进行案例式分析。

(1)实例“本身”的变化

对于这一类型的实例，选择2001版课标中第三学段的例4、例5，2011版课标中的例72、例73以及2022版课标中的例88进行研究。由于其分别对应的知识点内容落脚点都是了解、计算随机事件的概率，故将其归类为知识点主体不变。但这一知识点在三版课标中对应的实例表述各有不同，详细内容如表3所示。

表3 同一知识点在三版课标中对应的实例题干的描述

研究发现：表征数量上，2001版课标及2011版课标均选用两个实例来展示说明相应的知识点，但2022版课标选用了一个实例；问题情境上，三版课标分别选用了摸球，转盘，掷骰子等概率学中的经典事件作为背景，此类事件可以动手实践，帮助学生更透彻地理解题意并进行解答；内容编排上，以上实例看似各不相同，实则在各自的说明中相互呼应。2001版课标中的摸球和转盘问题，在2011版课标例72的说明中再次出现：“……这个例子可以举一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率；一个袋子里有几种颜色、数量不同的球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。”相同地，2022版课标中的例88也是对2011版课标中例73的延续与提升。同样是抛掷骰子计算点数之和的概率问题，例88中额外加入了代数这一知识点。用字母代表数字使题目变得更加抽象，说明新版课标在原有教学目标上对于学生逻辑思维能力有着更高要求，也更加利于初高中衔接。可以看出，知识点相同的情况下实例所体现的逻辑性、示范性是在不断进步的。

(2)实例“说明”的变化

实例后附的说明是解读实例的关键点之一，主要由题目解读、题意分析、题目解答、教学注意事项等部分组成。在实例题干不变的情况下，说明内容的变化体现了课程标准对同一知识内容有了新的理解和展开方向。由于2001版课标中“统计与概率”部分的实例均无说明，故在2011版课标与2022版课标中分别选取例17与例37进行对比分析。这两个实例的说明中都给出了相关教学设计的示例，具体内容如表4。

表4 例17与例37的实例说明

首先，前三条活动设计都是按照制定分类标准、分组进行调查、呈现调查结果的顺序来设计的，差异主要体现在学习过程和学习独立性的要求上。从引导学生讨论到鼓励学生自己制定分类标准，从书面呈现调查结果到用语言进行叙述调查过程，这些变化都体现了课程标准对学生体验完整数学学习过程的重视程度在不断地提高。其次，2022版课标还提出了第四条活动，即引导学生间的交流与配合，培养协同意识和交往能力，这是数学教育德育功能的体现。学生学习不仅是摄取知识的过程，还是培养社会情感能力，完成个体社会化的过程。

3.新增知识点与新增实例

相较于前两版课程标准，2022版课标中课程内容的广度和深度均发生了不同程度的提高，具体体现为知识点数量增加，行为动词等级提高[5]。例如在初中阶段，“抽样与数据分析”部分在三版课标中分别设置了10、9、11个知识点，其中2022版课标还新增了“会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义”这一知识点，实例中也相应地增设了例86。

就实例86而言，要求根据两个银行理财经营团队分别负责的12项理财产品的收益率来评价两个团队的经营水平。在说明中，首先提出可以用以往所学的平均数和方差这两个统计量来进行评价，在此基础上，进一步分析这两个评价指标的客观局限性，顺势引入百分位数的概念。经历了概念解析、计算示范、绘制表格，根据数据绘制箱线图的过程得到了两组数据的直观表示。而后根据箱线图结合题意进行分析并得出结论。总体来看，在作为一个新知识点对应的实例出现时，例86起到了很好的示范引领作用。首先，题目设计采用了实际生活背景，有利于学生意识到数学来源于现实生活。其次，从平均数、方差等熟悉的统计量过渡到百分位数这一新知识点，在课程内容上遵循了循序渐进的教学原则。最后，对于两个团队孰优孰劣的评价并不绝对，而是针对不同类型的投资者对症下药，提出了不同的建议。这样一道开放性的实例能够帮助教师在实际教学中开阔视野，不拘泥于答案的唯一性，引导学生进行再创造，形成自己的数学现实，进一步发展数学核心素养。

三、三版课标“统计与概率”领域中实例的启示

通过对三版义务教育数学课程标准中“统计与概率”实例从量与质上的分析，不难发现实例的数量总体变化不大，但统计与概率两部分的实例数量有较大差别，在理解和应用实例的过程中应当融合看待而非割裂。“实例”的设置与建构随着课程标准内容要求的变化而变化，顺应了课程标准总体的修订方针，与时俱进地做出了相应的更新或删减。使“实例”更好地发挥它在课程标准中例析作用和启示作用，特别是“实例”的育人价值更加凸显。具体而言“实例”主要有如下三方面的启示。

(一)在教材建设中要注重“实例”的嵌入性

课程标准中的实例要充分发挥其功用，就要恰当适时地嵌入教材建设中，因为教材是课标落地的关键环节，教材建设也是数学教学高质量的重要保证。为此，要在深入研究课程性质、理念、目标、内容、学业质量、实施建议的基础上运用系统思维的观念建设数学教材，并将课程方案中“教材编写建议”要求的“教材编写须落实课程标准的基本要求，基于核心素养精选素材，确保内容的思想性、科学性、适宜性与时代性”[6]，很好地落实在“统计与概率”学习领域的教材建设中，将课标实例中所蕴藏的意境内化到教材的例题、练习题、习题、总复习题中，使之与课标中的实例能相互映衬，共同完善教材中问题系统的建构。

(二)在课堂教学中要注重“实例”的示范性

课堂教学是课程标准走向理解与实践的重要渠道，数学教学从准备、实施到评价反思都要以课标为根本遵循。事实上，数学课堂教学中一个重要的环节就是问题的设置，通过问题链教学就能使课堂教学环环相扣，不断深入。因此，选用适合、恰当的问题就是关键，课标中的实例具有很强的示范性，完全可以结合教材内容仿其设置问题。为此数学教师要深入理解实例的设计理念，并将其转化为课堂教学资源加以运用。通常实例是针对所授知识内容而设置的，是基于对所授内容进行的具有教学意蕴的案例式解析，是课标研制专家精心遴选的。教师要深钻细研，知晓其自身所蕴藏的知识、思想、方法、态度等，然后结合学情和教材，加工成易于学生理解的例题活动。这种转化过程对每位数学教师是异常艰辛的过程，除了认真钻研课标、教材及相关资源，在真正理解实例及学情的基础上才能将之转化成学生学习的例题，更重要的是要结合实例的说明设计成学生的学习活动，让学生经历“数学交流过程”和“数学操作过程”，以达到对“数学思维方法”的领悟，加深对数学学习的好奇、兴趣和强烈的向往。

(三)在考试评价中要注重“实例”的引领性

考试评价是至关重要的育人环节，是学生在完成阶段性学习任务后的学业成就表现。无论是单元检测还是学期检测，都要以课标作为考评的依据，以考查学生“四基”“四能”与核心素养水平，课标中的“实例”就是考试评价的一个范例。事实上，在2022年课标中就以实例的形式提供了两个考试样题，其中实例93就是“统计与概率”领域的样题。该样题的题干给出三名应聘者在学历、经验、能力和态度上的测试成绩，要求根据不同标准选出被录用者。这是一道社会情境的数学问题，要求学生根据表格中提供的数据信息解决问题。第一问要求按照规定比例计算得分，考查了学生对比例等知识点的理解水平；第二问要求以学历为重点设计评分标准，需要学生正确理解表格和题目内容，拥有一定的数据处理能力；最后一问则要求学生处于“招聘者”的身份自由设计评分标准并说明原因，将学生置于招聘者的情境，蕴藏着要正确地规划人生。综观样题，充分体现了试题命制的要求，其评分标准也具有科学性和可操作性，不仅测试了数学核心素养，而且体现了基础性、应用性、综合性和创新性。同样，课标中的实例也是日常考试评价的样例，经过教师们的加工与深化就能用于检测评价。在兼顾学生认知程度和试题区分度的基础上，依据学习内容、核心素养、问题情境三大视角将实例运用于考试评价，以充分发挥实例在考试评价维度的引领性。

课标中实例的研究与挖掘是一个不断深入的过程，需要全面开发并加以利用，以使实例与课程标准同频共振，产生更大的能量，进而系统地应用于数学教育实践，从而更紧密地与数学的教材、教学、评价、反思相融合，共同促使数学育人目标的实现。▲