生活中的一次函数应用

古作军

在日常生活中，我们经常会遇到很多关于一次函数的问题情境。解决这类问题时，我们首先要把实际问题抽象为数学问题，分析其中的数量關系，然后建立一次函数的数学模型，最后用一次函数的相关性质解决实际问题。

一、利润问题

例1 新冠疫情暴发以来，口罩成为需求最为迫切的防护物资。某商场欲购进A、B两种型号的口罩共50箱，两种口罩每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种型号口罩x箱（x为正整数），且所购进的两种型号的口罩能全部卖出，获得的总利润为w元。

（1）设商场购进B型号口罩y箱，直接写出y与x的函数表达式；

（2）求总利润w关于x的函数表达式；

（3）如果购进两种口罩的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。

【解析】（1）略。（2）根据总利润=单个利润×数量，我们就可以表示出w与x之间的表达式：w=（61-51）x+（43-36）（50-x）=3x+350。（3）由题意，得51x+36（50-x）≤2100，解得 x≤20。我们再根据一次函数的性质，可求出当x=20时，w最大值=3×20+350=410（元），此时购进B种型号的口罩50-20=30（箱）。

二、行程问题

例2 疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区。图中的折线、线段分别表示甲、乙两车所走的路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了____________小时；

（2）甲车排除故障后，立即提速赶往目的地。请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？

（3）为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定，此后两车之间的路程不超过45千米。请通过计算说明，图1所表示的走法是否符合约定。

【解析】（1）观察图像，我们能发现AB段即为甲车停留时间，为6-4=2（小时）。

（2）甲车在排除故障前，距离出发点的路程即为B点纵坐标。OD 的表达式是y乙=60x，由此可求得E（7，420）。因为C（[385]，480），所以BC段的函数表达式是y=100x-280，则当x=6时，y=320。

（3）结合函数图像可知，甲、乙两车第一次相遇后在点B或点C处相距最远。

在点B处，y乙-y甲=60×6-320=40（千米）＜45（千米）；在点C处，y甲-y乙=480-60×[385]=24（千米）＜45（千米）。所以，走法符合约定。

三、方案选择问题

例3 某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费，计划用资金给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品。已知每件文化衫28元，每本相册20元。设购买的文化衫件数为x（x为非负整数）。

（1）根据题意，填写下表：

（2）设购买文化衫和相册所需费用共w元，求w与购买的文化衫件数x的函数表达式；

（3）通过商议，同学们决定拿出不少于540元但不超过570元的资金用于请专业人士拍照，其余则用于购买文化衫和相册。购买文化衫和相册有哪几种方案？为使拍照的资金更充足，应选择哪种方案？并说明理由。

【解析】（1）根据题意进行计算，故答案为：①280，②700，③840，④300。（2）当购买文化衫x件时，购买相册（45-x）本，则总费用可表示为w=28x+20（45-x）=8x+900。（3）根据照相资金不少于540元但不超过570元的要求，列出不等式组：

[8x+900≥1700-570，8x+900≤1700-540。]

解得28[34]≤x≤32[12]。根据实际情况，x得为整数，∴x=29、30、31、32，从而确定购买方案，再利用函数增减性确定最终方案，当x=29时，w最小=1132。

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）