对两道2021 年高中数学联赛试题的再探究

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、题目呈现

题目1(2021 年高中数学联赛一试(A1 卷) 第11 题)如图1 所示,在平面直角坐标系中,椭圆Γ :+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,设P是第一象限内Γ 上一点,PF1,PF2的延长线分别交Γ 于点Q1,Q2,设r1,r2分别为ΔPF1Q2,ΔPF2Q1内切圆的半径,求r1-r2的最大值.

题目2(2021 年高中数学联赛一试(B1 卷)第11 题)如图1 所示,在平面直角坐标系中,椭圆Γ :+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,设P是第一象限内Γ 上一点,PF1,PF2的延长线分别交Γ 于点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),求y1-y2的最大值.

图1

二、试题另解

文[1]对题目1 进行探究,给出了三种解法,下面笔者再给出题目1 的三种不同解法.

评注本解法是利用椭圆的参数方程求解,利用三角关系更易求得最值,代数变形也更为简单.

评注本解法根据P,F1,Q1及P,F2,Q2三点共线,利用向量的线性运算将点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标转化为用点P(x0,y0)的坐标表示,思路新颖,方法直观,简洁高效,突显数学知识之间的转化.

解法3(平面几何角度) 易知F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由条件可知x0＞0,y0＞0,y1＜0,y2＜0.

图2

评注本解法利用平面几何性质,结合椭圆的焦半径公式求解,简化了推理和运算过程,具有直观、简捷的特点.解析几何问题本质是几何问题,如果能挖掘出题目里面蕴含的平面几何元素,充分利用平面几何知识,往往可以避开繁琐的代数运算,使解决问题的过程得到简化.因此对于解析几何问题,应将解析法与平面几何方法相结合,从而得到解决问题的最优解法.另外在竞赛层面,要重视方法的积累和知识的储备,熟练掌握一些有用的结论,才有可能缩短思维的长度,提高效率,达到事半功倍的效果.

三、试题的推广

文[1]对题目1 进行推广,得到结论1:

四、试题的再探究

由竞赛题的解法及推广,可知题目1 是题目2 的深化,求r1-r2的最大值实际上是求y1-y2的最大值.注意到竞赛题中F1,F2为椭圆的左右焦点,其关于原点对称,若在x轴上取其它关于原点对称的两点,y1-y2是否有最大值?

经进一步探究,可得到结论3: