灵活应用切线不等式速解导数综合题

单铭成

南京大学附属中学

1 指数函数的切线不等式

指数函数f(x)=ex的切线不等式为ex≥et(x-t)+et.若t=0，则ex≥x+1；若t=1，则ex≥ex.这些切线不等式在处理与导数有关的压轴问题时，可起到化繁为简之效.

例1任意x∈(0,+∞)，不等式xex-3-x-lnx-a≥0恒成立，求实数a的取值范围.

解析:不等式xex-3-x-lnx-a≥0可化为xex-3-x-lnx≥a.令函数f(x)=xex-3-x-lnx，则原不等式恒成立，即fmin(x)≥a.

因为f(x)=xex-3-x-lnx=eln xex-3-x-lnx=eln x+x-3-x-lnx,所以由指数函数的切线不等式ex≥x+1得eln x+x-3≥(lnx+x-3)+1，等号取得的条件是lnx+x-3=0，下面说明此方程有解.

第二阶段:占比急速下降阶段．这一阶段指从1992年开始至1996年．在这5年中世界甘薯总产量相对稳定,但中国甘薯总产量有所下滑,导致中国甘薯出口占世界甘薯出口贸易额的比重急速下降,由90%左右降至1996年的12.5%．

所以f(x)≥(x+lnx-3)+1-x-lnx=-2，即fmin(x)=-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].

点评:本题求解中先将所证不等式构造为与切线不等式ex≥x+1相同的形式，再利用此不等式进行放缩处理.变形应用中要注意不等式等号成立的条件，此时可借助二次求导以及函数的零点存在定理.

2 对数函数的切线不等式

例2已知函数f(x)=x2e3x.若x>0时，不等式f(x)≥(a+3)x+2lnx+1恒成立，求实数a的取值范围.

因为3x=lne3x,2lnx=lnx2，所以函数

由x-1≥lnx(x>0)，可得x2e3x-ln (x2e3x)-1≥0，当且仅当x2e3x=1时取等号.下面判断该方程是否有解.

综上，a的取值范围是(-∞,0].

点评:不等式ex≥x+1与lnx≤x-1(x>0)可直接进行互化.例如，将ex≥x+1中的x用lnx代换，即得lnx≤x-1(x>0).因此本题的求解中若将函数g(x)进行如下变形,即

也可利用不等式ex≥x+1放缩求解.

3 三角函数的切线不等式

三角函数的切线不等式常见的是x≥sinx(x≥0)，通过此不等式可构造函数f(x)=x-sinx(x≥0)，利用导数可判断该函数在[0,+∞)内单调递增，则f(x)≥f(0)=0.当然也可以将切线y=x平移到其他零点位置，得到新的切线再应用.类似地，也可以得到y=cosx在相应零点处的切线.

若存在x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2时，f(x1)=f(x2)，证明：x1x2

解析:不妨令 0

4 正切函数的切线不等式

例4已知函数f(x)=(1-m)sinx+xcosx，当m∈(1,2)，判断f(x)零点的个数。

点评:熟知正切函数的切线不等式是快速解决本题的关键.以此为背景的命题，均可借助该不等式求解.

总之，学生在备考中要注意积累这些常用的切线放缩法，应用这些方法在解题中常可迅速找到解题的突破口，从而准确求解.Z