高中数学国家课程校本化的探索与实践

蔡明生

推进课程改革的一个重要命题就是根据学生的基础与差异，创造性地、校本化地实施国家课程。2020年修订的普通高中新课程标准的一个突出变化就是课程目标从“三维目标”升级为“学科核心素养”，这标志着学科教学的回归。因此，数学教师必须转变观念，提高教学设计的站位，从关注知识点转向关注学科核心素养，通过系统整合使学科知识结构化，与实际生活相联系，促进学生深度学习。

笔者现以人教A版普通高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中《正弦定理》一节的教学设计为例，探讨国家数学课程校本化实施对培养学生深度学习能力的重要作用。

基于深度学习的《正弦定理》教学设计

正弦定理是三角学中最重要的定理之一，它是直角三角形中边角关系的推广，也是对三角形“大角对大边”这一定性性质的定量刻画。三角学起源于天文学。最早，古希腊天文学家希帕恰斯为了解决天文学中的计算问题，将每一个三角形都当作圆的内接三角形，这样三角形的边均变成圆的弦，对角也随之变成弦所对的圆周角。而后托勒密继承了希帕恰斯的工作，他利用圆半径及弦所对圆周角计算弦长以编制弦表，提出d=2R sin 这一关系式。几百年后，印度数学家将上式改写成=R sin ，而阿里亚哈塔首次用半弦定义了正弦，这正是正弦“Sine”的词源。

由此可见，所谓的正弦本来就源自圆的弦，而希帕恰斯将三角形看成是圆的内接三角形的方法深刻地影响了后世数学家对正弦定理乃至整个三角学的研究，这也就不难理解为什么数学家们会用作外接圆的方法来证明正弦定理。并且，16世纪以前，正弦（及一切三角函数）均为“线段定义”，而非今天所用的“比值定义”。换句话说，正弦定理的发现其实就是从直角三角形中得来的。

环节一：回忆三角形中边与角的关系。

1.回顾初中学过的三角形中的边角关系。

2.直角△ABC的三边长为a、b、c，三个角为A、B、C，其中∠C=90°，请你写出此直角三角形的边角关系。

设计意图：回顾所学知识，引导学生思考三角形边角关系的着眼点，把学生在初中已掌握的“大边对大角、小边对小角”，以及“直角三角形中的边角关系”等旧知识作为新知识的生长点。

环节二：初步感受求解三角形边角关系问题。

1.△ABC中，如果BC=12，∠A=30°，∠B=45°，如何求AC的长度？

2.△ABC中，如果BC=12，∠A=120°，∠B=45°，如何求AC的長度？

设计意图：如何找出三角形的边角关系？直接由直角三角形的边角关系去猜想正弦定理有点牵强，我们通过问题1和2，从具体的解三角形的问题出发，启发学生借助直角三角形去探求AC的长度。对这两个问题，一开始，学生可能会感到陌生。但结合环节一，教师可以引发学生的认知冲突，激起学生的求解欲望，为进一步探究正弦定理做好准备。

环节三：由特殊到一般，通过归纳猜想得到正弦定理并证明。

1.直角△ABC的三边长为a、b、c，三个角为A、B、C，其中∠C=90°，思考能不能建立边a、b与角A、B之间的某种等量关系？如果把直角△ABC改为任意△ABC，是否有类似的结论？

2.设△ABC的三边长为a、b、c，三个角为A、B、C，我们能不能建立边长a、b、c与角A、B、C之间的某种关系？

设计意图：从特殊的三角形开始探索到得出一般三角形都适用的正弦定理，引导学生经历归纳—猜想—证明的思维过程，体现了从特殊到一般的数学思想方法。

环节四：应用正弦定理再解答第二个环节中的两个问题。

设计意图：通过前面“新鲜出炉”的正弦定理，对于环节二的两个问题，学生可以直接跳过添加辅助线的过程求出AC的长，体会到正弦定理的实用性。

环节五：对正弦定理的深度认知理解。

1.从上述探究中，我们发现在△ABC中，是一个确定的比值，那么这个比值有什么几何意义吗？

2.在直角△ABC中，边和其所对角的正弦值之比的几何意义是斜边c。猜想，在一般的三角形中，边与其所对角的正弦值之比是否也等于某一固定的值，并且也具有某种几何意义呢？这个固定的比值k是由△ABC中的什么元素唯一确定的？

3.当△ABC的一条边及其所对角的大小确定时，这个三角形是不是唯一确定呢？

在这个问题的思考过程中，教师可以展示几何画板课件。当△ABC的一条边BC的大小和位置固定，BC所对的角A的大小也不变，此时△ABC是否发生变化？点A的运动轨迹是什么？

4.结合三角形的外接圆，在===k中，k等于什么？

设计意图：趣味的几何画板演示与微课视频帮助学生进一步理解正弦定理的几何意义，除对正弦定理的不同形式如=等进行呈现以外，还帮助学生理解了正弦定理的本质。因此，在对正弦定理的教学再设计时，我们设计了上面的一系列问题，帮助学生发现正弦定理中的R就是△ABC的外接圆半径。

环节六：小结及启发学生由正弦定理可以解决什么样的解三角形问题。

前面我们发现并证明了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系。那么，正弦定理能够帮助我们解决哪些问题？

设计意图：问题难度升级，体现学习递进的层次性，教师引导学生再次回到探究之中，使学生结合已有的数学知识进行重新构建，自觉运用学到的研究方法及结论解决具体的解三角形问题，指导学生学会发现问题和解决问题的方法，促进学生深度学习能力的培养。

科学架构单元知识，促进学生深度学习

有学者认为，学习深度具有三个基本标准，即知识学习的充分广度、知识学习的充分深度和知识学习的充分关联度。这三个标准也是深度学习的核心理念。研究还表明，学生的深度学习离不开教师的深度教学，在这个过程中教师应该起主导作用。

一是基于大概念教学，挖掘概念深度。对学生来讲，知识并不陌生，但对于知识结构，学生不一定十分重视。在开展课堂教学时，教师要引导学生把平时所学的零散的知识联系起来，整理成系统的知识网络，形成基于大概念的结构化知识体系，这是学生进行深度学习的起点。

二是强化知识理解，突出概念广度。深度教学的“深度”是建立在完整、深刻地处理和理解知识的基础之上的。知识的广度与知识产生的背景是密切相关的。所以课堂教学中对数学概念的再理解、再探究，不仅是对概念的内涵与外延作进一步的诠释，更是对数学概念产生的背景的探究。

三是探索校本化实施，突破知识核心。学校要“因地制宜”“因人而异”地对国家课程进行校本化开发、建设和实施，增强学生学好数学的自信心。通过《正弦定理》的校本化教学设计可以看出，引导学生多维度地理解正弦定理的丰富内涵，从数学本质的角度去理解学习正弦定理的意义，可以达到深度学习的目的，从而使数学教育逐渐向理想的目标迈进。

总之，基于不同层级学校具体学情的国家数学课程校本化，更符合学生实际，更有利于进行课堂教学。高中数学中模块的细化、知识点的建构、数学思维的培育、思维角度的转换、相关知识的渗透等，都可以是构建校本化课程的“微专题”。国家数学课程校本化可以促进学生的深度学习，提升教学质量，优化高中数学教师学科专业结构，有力地推动师生的共同成长。