关于2-扭自由素环上的右(θ,θ)-导子

◎武博汇 张 华

(1.吉林师范大学数学学院，吉林 长春 130000 2.四平市第十四中学校，吉林 四平 136000)

环论是结构数学的重要分支,也是代数学中最为深刻的一部分.它是代数几何和代数数论的基础,具有十分广泛且丰富的内容.

环上导子则是微分的代数形式的推广,是近年来环论研究的热点课题.导子即环R到自身的可加映射d,对于任意的x,y∈R,都有d(xy)=d(x)y+xd(y).

Posner证明了带有非零中心化导子的素环必为交换环.这一结论揭示了在素环或其特殊子集上具有特殊性质的导子与环结构的关系,鼓励了许多学者深入讨论在多个方向上对Posner定理加以推广.

Bell和Kappe证明了:若素环R上的导子d在其非零右理想上成为同态或反同态,则d=0.在1999年,Ashraf将Bell和Kappe的结果推广到(θ,φ)-导子上.

随着导子理论的不断发展,大量推广和衍生的导子涌现出来.把前人关于导子的结论推广到这些衍生导子上是非常有意义的.Nadeem的结论推广到素环的非零理想和广义导子上,研究了素环非零理想上广义导子成为同态或反同态的性质.本文研究了在2-扭自由素环非零理想上右(θ,θ)-导子d作为同态或反同态且d≠0，则R为可交换的.

设R为结合环,对任意的a,b∈R，若由aRb=0,必有a=0或b=0,则称R为素环.

设R为结合环,若由aRa=0,a∈R必有a=0,则称R为半素环.

环R是素环(或半素环)，满足若aRb=0，则a=0或b=0(或若aRa=0，则a=0).设环R是2-扭自由素环，任意取a∈R,若2a=0，则必有a=0.

对任意的x,y,z∈R,有：

[x,y]=xy-yx，

[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y，

xy=xy+yx，

x(yz)=(xy)z-y[x,z]=y(xz)+[x,y]z，

(xy)z=x(yz)-[x,z]y=(xz)y+x[y,z]，

[[x,y],z]=[[x,z],y]+[x,[y,z]]，

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.

设R是环,I是R的可加子群,若对任意r∈R,a∈I均有ra∈I,ar∈I，则称I为R的理想.

若J是环R的可加子群,满足jr∈U,j∈J,r∈R,则称可加子群J是环R的Jordan理想.若U是环R的可加子群,满足[u,r]∈U,u∈U,r∈R，则称可加子群U是环R的Lie理想.

设d是R上的加性映射，若对任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，则称加性映射d是环R上的导子.

设R是结合环,g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构，若对任意的x,y∈R,满足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),则称g为R上的(θ,φ)-导子.

设F是环R上的可加映射且存在导子d，若对∀x,y∈R,满足F(xy)=F(x)y+xd(y),则称可加映射F为R上的广义导子，d为R上的伴随导子.

设F是环R的加性映射，且存在(θ,φ)-导子d,若满足任意的x,y∈R，有F(xy)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y)，则称F为R上的广义(θ,φ)-导子,d是F的伴随(θ,φ)-导子.

设R是环，若映射θ:R→R满足:

(1)θ(x)∈R,x∈R,

(2)θ(x+y)=θ(x)+θ(y),x,y∈R，

(3)θ(xy)=θ(x)θ(y),x,y∈R,

则称θ为R上的自同构.

设环R，θ是R上自同态，d是R→R上的可加映射，若满足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),x,y∈I，则称d是R上的左(θ,θ)-导子.

根据左(θ,θ)-导子的定义，定义出右(θ,θ)-导子,即在相同条件下，∀x,y∈R，满足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x).本文主要把Nadeem的相关结果推广到右(θ,θ)-导子上.

引理1：若一个素环R有一个非零理想是可交换的，则R是可交换的.

引理2:设R是素环,J是R的非零Jordan理想，若a∈R且aJ=0或Ja=0，则a=0.

引理3:设R是特征不为2的素环，J是R的非零Jordan理想,若aJb=0，则a=0或b=0.

定理1:设R是特征不为2的素环，I为R的非零理想，θ是R上的自同构,d是R上的右(θ,θ)-导子,若满足d(I)=0，则d=0.

证明由已知，可得:

d(I)=0.

(1.1)

即

d(ar)=0,a∈I,r∈R.

(1.2)

即

0=d(a)θ(r)+d(r)θ(a),a∈I,r∈R.

(1.3)

由(1.1)和(1.3)，可得:

d(a)θ(r)=0,a∈I,r∈R.

(1.4)

用θ-1作用到两端,可得:

θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.5)

将(1.5)左乘θ-1(d(r))，可得:

θ-1(d(r))θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.6)

即

θ-1(d(r))θ-1I(d(r))=0,r∈R.

(1.7)

θ-1(d(r))=0,r∈R.

(1.8)

用θ作用(1.8)两端，可得:

d(r)=0,r∈R.

即

d=0.

定理2：设R是特征不为2的素环，I是R的非零理想，θ是R上的自同构，d是R上的右(θ,θ)-导子.

(ⅰ)若d在I上作为同态且d≠0,则R为可交换的.

(ⅱ)若d在I上作为反同态且d≠0,则R为可交换的.

证明(ⅰ)由d在I上满足同态，可得：

d(u)d(v)=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),∀u，v∈I.

(1.9)

在(1.9)中用uv换u，并结合(1.9)可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv),

(1.10)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.11)

d(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.12)

即

教师指导学生阅读教科书4项“问题探讨”的内容，并启发学生思考：遗传物质可能具有什么特点？教师随机提问几名学生，并在学生回答的过程中引导其完善答案：遗传物质应具有信息性、传递性、复制性和变异性等特点。

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，∀u，v∈I.

(1.13)

用θ-1作用到(1.13)两端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，∀u,v∈I.

(1.14)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，∀v∈I.

(1.15)

将(1.15)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,∀v∈I.

(1.16)

由引理得

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.17)

用θ作用到(1.17)两端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，∀v∈I.

(1.18)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，∀v∈I.

(1.19)

亦即

θ(v)d(v)=0，∀v∈I.

(1.20)

(d(v)d(v)=d(vv)=2θ(v)d(v))

Iθ-1(d(I))=0.

(1.21)

由R是素环可得:

d(I)=0.

(1.22)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，∀w∈I，∀r∈R.

(1.23)

故得到:

Iθ-1d(r)=0，∀r∈R.

(1.24)

由R是特征不为2的素环得

d(r)=0.

故d=0.

因为d≠0，所以矛盾.

综上,R是可交换的.

(ⅱ)由d在I上满足反同态，有

d(v)d(u)

=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u)

=d(v)θ(u)+d(u)θ(v)

=d(vu)

=d(u)d(v),∀u,v∈I.

(1.25)

由d在I上满足同态，有

d(u)d(v)=d(u,v)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),∀u，v∈I

(1.26)

在(1.26)中用uv换u，可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv)，

(1.27)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.28)

θ(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.29)

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，∀u，v∈I.

(1.30)

用θ-1作用到两端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，∀u,v∈I.

(1.31)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，∀v∈I.

(1.32)

将(1.32)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,∀v∈I.

(1.33)

由引理得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.34)

用θ作用到(1.34)两端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，∀v∈I.

(1.35)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，∀v∈I.

(1.36)

亦即

θ(v)d(v)=0，∀v∈I.

(1.37)

用θ-1作用到(1.37)两端可得:

Iθ-1(d(I))=0.

(1.38)

由R是素环可得：

d(I)=0.

(1.39)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，∀w∈I，∀r∈R.

(1.40)

又可得：

Iθ-1d(r)=0，∀r∈R.

(1.41)

由R是特征不为2的素环得

d(r)=0,∀r∈R.

故d=0.

因为d≠0，所以矛盾.

综上,R是可交换的.

结语：本文主要研究了2-扭自由素环上非零理想上右(θ,θ)-导子d作为同态或反同态且d≠0，则R为可交换的.把Nadeem的相关结果推广到右(θ,θ)-导子上，希望对以后研究右(θ,θ)-导子上关于同态和反同态的问题有帮助.