一类带记忆项半线性时间分数阶σ-发展方程解的爆破①
2023-01-18何鑫海陈雪丽杨晗
何鑫海， 陈雪丽， 杨晗
西南交通大学 数学学院， 成都 611756
本文研究以下半线性时间分数阶σ-发展方程的柯西问题：
(1)
(2)
这里
为Riemann-Liouville型积分， Γ(β)为Gamma函数． 算子(-Δ)σ定义为
上述时间分数阶σ-发展方程(1)在物理学、 力学和其他应用科学中有着大量应用[1-3]， 通常用于刻画具有幂律变特性的粘弹性介质中机械波的传播问题， 也可描述介于扩散和波传播模型的中间现象， 且这种现象通常发生在粘弹性介质中， 融合了表现波传播的类固体材料和支持扩散过程类流体材料的特性， 近年来关于该类方程解的适定性研究引起了不少研究者的关注[4-7].
注意到非线性项有如下性质
进而有
因此， 当指数γ→1-且参数α，σ取极限情形时， 本文所研究的非线性记忆项的柯西问题(1)可转化为非线性项为|u|p的经典问题． 探讨问题(1)与经典柯西问题解的性质之间的联系是一件很有意义的事情.
当α=0，σ=1，γ=1时， 问题(1)转化为如下半线性热传导方程的柯西问题：
当α=0，σ=1，γ∈(0， 1)时， 问题(1)则转化为如下带记忆项半线性热传导方程的柯西问题：
文献[11]证明了在
时解在有限时刻爆破， 并证明了p>på时小初值情况下存在整体解， 此处
(n-2+2γ)+=max{0，n-2+2γ}
可以看到当γ→1-时， 此时的临界指数与Fujita临界指数一致.
当α=1，σ=1，γ=1时， 问题(1)转化为如下半线性波动方程的双初值问题：
(3)
文献[12]在
和p>1，n=1时证明了解在有限时刻爆破． 根据Strauss猜想[13]， 问题(3)的临界指数p0(n)为二次方程
(n-1)p2-(n+1)p-2=0
的正根， 并且在n≥2，p>p0(n)时， 问题(3)在小初值情况下存在整体解， 在p≤p0(n)时问题(3)的解在有限时刻爆破． 文献[14-16]在超临界情况下针对不同空间维数证明了整体解的存在性， 文献[17-18]在临界情况下、 文献[19-20]在次临界情况下分别针对不同空间维数证明了解的有限时刻爆破.
对于时间分数阶方程， 当α∈(0， 1)，σ=1，γ=1时， 问题(1)转化为如下时间分数阶扩散-波动方程的柯西问题：
文献[4]得到了在小初值情况下，u1=0及u1≠0时该问题的两个临界指数， 分别为
文献[6]证明了当小初值u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn)且指数满足
时问题(1)存在唯一整体解． 那么在1 定理1当α∈(0， 1)，σ≥1，γ∈(0， 1)时， 假设初值u0∈L1(Rn)∩L2(Rn)且满足 (4) 若 (5) T≤Cε-k 其中 C是与ε无关的正常数. 定义1[21](Riemann-Liouville型分数阶积分) 令T>0，f∈L1(0，T)，α∈(0， 1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶积分分别定义为 与 此处Γ(α)为伽马函数. 定义2[21](Riemann-Liouville型分数阶导数) 令T>0，f∈AC[0，T]，α∈(0， 1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶导数分别定义为 与 对于以上微积分定义， 有如下性质成立： (6) 其中 与 此处要求 命题2[22]令T>0，α∈(0， 1)， 则对任意f∈Lr(0，T)， 1≤r≤∞， 等式 在t∈(0，T)上几乎处处成立. 此处f∧g表示存在一正常数C， 满足f≤Cg. 引理2[23]令σ≥1， 记φ=φ(x)=〈x〉-q，q>0． 对于任意R>0， 定义φR为 φR(x)=φ(x/R)x∈Rn 则(-Δ)σ(φR)满足以下伸缩变换性质 (-Δ)σ(φR)(x)=R-2σ((-Δ)σφ)(x/R)x∈Rn 在证明爆破之前， 通过Caputo型分数阶导数的定义(2)及分部积分公式(6)， 先给出问题(1)弱解的定义. 定义3令p>1，T>0，u0∈L2(Rn)． 若函数 u∈Lp([0，T]，L2p(Rn))∩L1([0，T]，L2(Rn)) 且对任意测试函数φR(x)∈H2σ(Rn)，φ(t)∈C2([0，T])， 有 (7) 则称u是问题(1)的局部弱解． 若T=∞， 则称u是问题(1)的整体弱解. 关于此测试函数， 有 且有如下求导性质： 引理3[22]令T>0，α∈(0， 1)，β>α， 对任意t∈[0，T]， 存在C=C(α，β)， 有 以及 定理1的证明 引入测试函数 φR(x)=φ(x/R)φ(x)=〈x〉-n-2sσ∈C∞(Rn) 在Rn上可积． 这里 [σ]为σ的取整． 由引理1， 可以看出对∀σ≥1， 有 |(-Δ)σ〈x〉-n-2sσ|∧〈x〉-n-2sσ 现将测试函数φR和φ带入(7)式中， 有 以及 从而有 (8) (9) 由(5)式， 当且当p 令T→∞， 可以推出 故u=0， 这与假设(4)矛盾， 所以问题(1)在次临界条件下不存在整体解. 当p=pc时， 有 此时令 由(8)式及Young不等式可得 当K足够大时， 由(5)式可以推出 同样产生了矛盾， 故问题(1)在临界条件下不存在整体解. 由(9)式可知 T≤Cε-k 其中 C是与ε无关的正常数.
