教学要教出教师的“思想”*

潘龙生 (江苏省盐城市第一中学 224005)

1 背景与问题

2021届高三江苏省盐城市第三次模拟考试考查了下面这个问题：

这道题对于教师来讲不是难题，笔者与同事交流发现，教师普遍能想到两种主要方法：一是取对数转化为等比数列，先求出数列的通项公式再证明；二是用数学归纳法证明，既可以用数学归纳法直接证明结论，也可以借助数学归纳法得出通项公式后再证明结论.当然，还有很多教师想到其他方法.

对一道常规的高中数学题，为什么学生与教师的解题水平反差如此之大？值得思考.

2 分析与对策

现在想来，这道题对学生来讲，也确实不易!新课标对数学归纳法不作要求，教师也基本没讲(笔者也是)，学生当然不能运用这种方法；对数运算的基本公式，学生虽然熟悉，但取对数这种方法平时运用较少，加之学生对“对数”的认知不足，以致特定情况下想不到取对数.

至此，也就不难理解“学生与教师为什么有如此之大的反差”了.教师是按照“课标、高考”的要求教“课本”，并没有教出教师自身的“思想”.对数运算教学，也就是分析得出基本公式，然后运算训练，没有让学生明白学习对数的意义，也没有让学生理解对数有简化运算(降次)的作用；数学归纳法不作要求，也就不讲，把精力都放在重点内容的讲解上.

本文研究的这道考题，其超低正确率的原因可能是之前没有教出教师的“思想”.就笔者而言，要反思今后的教学，要结合教材、课标、高考向学生充分展示自己的“思想”.如此反思，笔者就这道考题的教学提出自己的教学思想.

2.1 教理解

问题1同学们，本次模考的数列解答题正确率很低，其重要原因是没有想到“取对数”这一方法.想不到“取对数”，说明大家对“对数”的认识还不够深刻.因此，先请同学们思考：学习“对数”的意义是什么？

告诉学生“取对数”，他们当然能顺利完成这道数列题，但下次再碰到类似的问题，他们还能想到“取对数”吗？这就难说了.倘若能让学生深刻认识“对数”、理解“取对数”的内涵，下次再遇到类似的问题时想到“取对数”的人数肯定能多出不少！

学生都知道，学习了“对数”之后可以将指数式转化为对数式.那就要让学生思考：为什么要将指数式转化为对数式？仅仅告知学生“对数能够简化运算”肯定不行，他们将信将疑，印象不会深刻，必须要让他们体验感悟.比如，“同学们都知道250比较大，那它到底有多大？是多少位数的整数呢？”令t=250，取对数lgt=50lg 2，指数运算就转化为乘法运算，只要知道lg 2≈0.301 0，便得lgt≈15.05，即t≈1015.05=100.05×1015，显然1<100.05<10，所以250肯定是一个16位数.这个实例说明，对数能够估算较大的指数值，取对数能够降次，能够极大地简化指数运算.如果是新授课，还要给学生介绍对数产生的背景，必须要让学生明白学习对数的意义.

2.2 教方法

数学归纳法等经典数学方法，已从必修数学教材中删除，若教师不补充，学生将来在大学阶段又不学，是不是有点遗憾？教师已具备的思想方法，考虑学生的接受能力，有选择地传授给学生，有何不可？

问题2数列问题是一类正整数问题，其证明题有时能运用一种重要的方法——“数学归纳法”证明.什么是“数学归纳法”呢？小时候，你们都数过正整数吧？后来，你们说：“我已经会数数了.”请同学们思考：你怎么确定你已经会数数的呢？

学生不难说出认为自己会数数的原因：虽然数不完，但总能顺次数下去.教师追问：怎么理解“能顺次数下去”？不难得出，当数出某个数时，一定能数出下一个数.最后师生总结出会数数的原理：首先能数第一个数，其次由前一个数总能数出下一个数.

由此，教师提出：能不能借用此思路证明“正整数命题M(n)成立”呢？学生能轻松说出第一步先证n=1时成立，需与学生说明，有些命题成立的初始值不一定是n=1，要根据实际情况完成第一步；对于第二步，要让学生反复想数数的核心原理“由前一个数总能数出下一个数”，即由n=k总能推出n=k+1，也即假设n=k时命题成立，并由此推理出n=k+1时命题也成立，从而得到正整数命题M(n)成立.这就是数学归纳法，也称第一数学归纳法.对于第二数学归纳法，可讲可不讲，若讲，则要等学生对第一数学归纳法较熟练的情况下再介绍.

由于学生初次接触数学归纳法，教师需要给学生示范证明.同时教师巡视指导，并选一些完美(或有一点瑕疵)的证明过程，通过投影展示点评.此后，再多用数学归纳法，学生定能接受！不一定非要让学生找出旧课本，给他们补充这一数学知识，教师根据自己的思想，合理设计教法，就可教给学生！

2.3 教变通

问题3说明，高中数学还要重视运算教学.要重视运算公式的推导教学、要重视算理分析教学、要重视运算演练.除此之外，还要重视运算“变通”教学.有些运算问题，学生死算得到答案，但耗费时间较长，就需要教师“变通”教学，要指引学生分析代数式的结构特征、要指引学生寻求合理的运算公式、要示范合理省时的“变通”运算.

3 反思与提升

教师教学，不能仅仅是翻译课本知识，更要教出教师自己的“思想”.只有贯穿思想方法，揭示本质的教学，才是有价值、高效的教学[1].要教出教材知识的理解，要通过教师合理的理解解读，让学生更容易接受新知识；要教出教材例题方法的合理性，不能生硬评讲教材上的方法，应该要通过教师自己的合理引导得出方法；要教出教材知识的宽度和深度，要能拓宽知识面，揭示其文化背景等，要能将知识引向深入，揭示其深刻的本质.如此等等，才能体现教师教的作用，学生接受的不仅仅是课本知识，更有教师的“思想”，这能体现课程标准提出的培养学生核心素养的要求，也能提高学生应对高考的能力.