多渠道培养思维发散性 落实学生数学核心素养

［摘  要］ 高中阶段正值学生思维发展的飞跃期，教师必须抓住这个飞跃期，采用多种教学方法和教学手段来发展学生的数学思维，提升学生的数学思维品质，继而实现“教”与“学”的可持续发展. 在培养发散性思维的过程中，教师应遵循“以生为本”的教学理念，为学生提供一个自由的、广阔的自我展示的舞台，从而让不同的学生获得不同的发展，培养学生良好的学习习惯和思维品质.

［关键词］ 数学思维；思维品质；发散性思维

在实际教学中发现，很多学生因為难以适应高中阶段的学习节奏而成绩下滑，究其主因与初中的“讲授”式教学息息相关. 相比较而言，初中数学与高中数学在思维上有较大的差距. 在初中阶段，学生可以依赖讲授和模仿解决问题，但到了高中阶段，学习内容更加复杂、深刻，数学题目更加灵活多变，对思维能力提出了更高的要求. 因此，在高中阶段，教师要重视学生思维品质的培养.

思维的发散性是思维品质的重要组成部分之一，其建立于思维的广阔性和深刻性的基础上，又为思维的敏捷性和独创性创造了条件. 周知，无论是生活还是学习，若想发展就需要打破常规，开拓创新，而这些都离不开发散性思维，所以在高中数学教学中应重视学生发散性思维的培养. 在实际教学中，教师应引导学生从不同的角度去分析问题，用发展的眼光去看待问题，鼓励学生提出解决问题的新思路、新想法、新方案，这样既有利于问题的解决，又有利于学生的发展和核心素养的提升.

利用多种解法培养发散性思维

在教学过程中，教师要打破中规中矩的“讲授”模式，为学生提供一个能够平等交流的学习环境，充分发挥个体思维差异的优势，鼓励学生从不同角度思考问题，寻求不同的方案解决问题，以此培养思维的灵活性，培养发散性思维.

例1 求证：=tanθ.

例1难度不大，但是证法灵活，在证明过程中教师预留充足的时间让学生思考和交流，并鼓励学生用不同的方法加以证明. 通过生生的积极交流和教师的耐心指导，学生得到了如下证明方法：

证法1（二倍角公式）：等式左===等式右.

证法2（万能公式）：设tanθ=t，则等式左===t=等式右.

证法3（正切半角公式）：由tanθ==，利用合分比性质，命题得以证明.

给出多种解法后，教师可以引导学生对过程进行反思小结，这样既让学生理解和掌握证明三角形恒等式的基本方法，又拓展学生的思路，培养学生的发散性思维，让学生的解题能力和思维品质都得到较大程度的提升.

利用开放性问题培养发散性思维

在教学中发现，学生面对一些开放性问题时常束手无策，出现这一现象的原因与教师的“教”息息相关. 在课堂教学中，大多是教师提出问题，学生回答问题，这样以“师问生答”为主流的教学模式影响了学生提出问题能力的提升，限制了学生思维能力的发展. 在教学中，教师应为学生创设一个开放的学习环境，引导学生提出问题和解决问题，以此提升学生的自主学习能力.

例2 已知sinα+sinβ=①，cosα+cosβ=②，由此你能得到什么结论？

教师让学生独立探究，然后分享各自的发现.

生1：将①式和②式平方相加，可得cos（α-β）=-.

生2：将①式和②式相乘，再和差化积，得sin（α+β）［cos（α-β）+1］=. 结合生1的结论，可得sin（α+β）=.

生3：将①式和②式平方后作差，再和差化积，得2cos（α+β）［cos（α-β）+1］= -. 又cos（α-β）=-，代入可得cos（α+β）=-.

生4：由①÷②，再和差化积约去公因式，可得tan=，利用万能公式可求sin（α+β），cos（α+β），tan（α+β）的值.

生5：由sin2α+cos2α=1消去α，得4sinβ+3cosβ=；同理，由sin2β+cos2β=1消去β，得4sinα+3cosα=.

……

从以上过程可以看出，学生通过各种手段处理已知信息，能有效锻炼各自思维；通过对问题结论进行发散，能有效激发学生的潜能，有利于培养学生的创造力.

[?]利用多个变式培养发散性思维

变式是培养发散性、创造性和深刻性思维的重要手段. 在教学中，通过变化已知、变化结论，引导学生从不同角度思考问题，应用不同方法和不同知识解决问题，有利于提高学生的思维品质.

例如，已知等差数列的通项公式为a=a+（n-1）d，显然该公式有四个变量，如果知道三个变量可利用解方程的思路求第四个量. 如“｛a｝为等差数列，a=1，d=-2，问-9是第几项”“｛a｝为等差数列，a=1，a=22，求d”，等等. 解决问题后，教师可以引导学生改编题目. 题目改编并不是随意改值那么简单，需要学生全面掌握变量的取值范围、变量间的内在联系、公式适用条件等内容，这样才能确保问题是科学性的、合理性的，否则，若学生不进行思考、辨析，只是信手拈来，可能闹出笑话. 如有学生设计了这样一个问题：“｛a｝为等差数列，a=1，d=-3，问-9是第几项？”学生将原题中的“d=-2”改成“d=-3”，根据公式可求-9为项，显然改编该题因忽视了变量的取值范围而造成了错误. 但是，通过题目改编不仅能深化学生对等差数列公式的理解，而且能让学生站在更高的角度看待问题，有利于提高学生的学习能力和思维能力.

利用多种品质培养发散性思维

各种思维品质是相关沟通、相互联系的，比如思维的发散性建立在思维的深刻性和广阔性的基础上，又服务于思维的敏捷性和独创性，同时借助思维的发散性又能达到深化理解，培养思维的深刻性的目的，可见各种品质彼此联系，密不可分. 因此，教学中教师可以借助其他思维品质的提高来培养学生思维的发散性.

1. 思维的深刻性

思维的深刻性集中表现在透过事物的现象发现本质，揭示规律. 数学知识间存在着一定的联系，只有深刻地理解知识，认清问题的本质，才能理清问题的来龙去脉，从而灵活应用相关知识解决问题.

例3 方程sinx=lgx的解有________.

学生习惯从方程的角度出发思考并解决该问题，而该问题由此出发无法求解，故学生常束手无策. 若解题时学生能够换个角度进行思考，会获得柳暗花明的效果. 求解时可以将问题转化为求函数y=sinx与y=lgx图像的交点问题，通过数形结合法能高效快速地解决问题. 在解决问题的过程中只有揭示其本质，才能灵活地解决问题，思维发散性才有用武之地.

2. 思维的广阔性

思维的广阔性集中表现在全面考虑问题上. 解题时，学生要认真地审题，抓住问题的方方面面，继而合理调动和选择与之相关的知识解决问题.

例4 已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x=-1，在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的方程.

解决该问题时，可以根据条件“截距为3”，列一般方程y=ax2+bx+c，再结合其他条件可解a，b的值，从而得到抛物线的方程；也可以根据条件“对称轴为直线x=-1”，列顶点式方程，即y=a（x-h）2+k（a≠0），再结合其他条件求出a，k的值；还可以根据条件“x轴上截得的线段长为4”，列两根式方程求解.

解题时，要处理好整体与局部的关系，利用发散性思维调动相关知识、技能，探寻多种解决问题的方案，以此提升思维品质.

3. 思维的敏捷性

思维的敏捷性集中表现在解决问题的速度和正确率上，具有这一品质的学生往往能够缩短运算和推理的过程，高效地解决问题.

例5 相邻边长为a和b的平行四边形ABCD，绕a边旋转一周所得几何体的体积为V，绕b边旋转一周所得几何体的体积为V，则V：V=（  ）

A. a：b B. b：a C. a2：b2 D. b2：a2

若直接从一般平行四边形的角度出发，求相应几何体的体积需要引入一个变量，即设相邻两边的夹角为θ，于是有V=πab2sin2θ，V=πa2bsin2θ，V：V=b：a. 但由于本题是一个选择题，解题时不妨从其特殊性出发，将平行四边形看成矩形来处理，这样可以简化运算过程，提高解题效率.

4. 思维的独创性

思维的发散性为思维的独创性的发展提供了养料. 在日常教学中，教师要鼓励学生打破传统和习惯，善于从问题的不同方面提出解决问题的方法和意见，巧妙地解决问题，以此发展思维的独创性，提高思维的灵活性和变通性.

例6 求sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值.

解法1：sin210°+sin250°+sin10°sin50°=1-（cos20°+cos100°）+sin10°sin50°=1-cos60°cos40°+（-cos60°+cos40°）=.

解法2：構造对称式，令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50°，y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，则x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-，两式相加得2x=，即原式=.

解法1为常规解法，解法2通过构造对称式灵活地解决了问题，方法独特，简捷有效. 在解题教学中，教师要鼓励和启发学生多角度、多渠道进行联想，这样不仅可以得到巧妙的、独特的解法，而且可以加深学生对知识的理解，有利于学生思维发散性的培养，提高其学习能力.

总之，教学中教师要多为学生提供一些机会去思考、去发现、去探索，通过“多解”“多变”等多种渠道培养学生思维的发散性，提升学生思维的品质.

作者简介：缪苇伟（1986—） ，本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学研究工作.