Heisenberg型群上的一类带有余项的含权Hardy不等式

王胜军

(青海师范大学 数学与统计学院, 青海 西宁 810008)

(1)

特别地，a=b=0，上式中的常数是最佳的。

1 预备知识

文献[6]提出Heisenberg型群，它是Heisenberg群的推广，是一类与亚椭圆问题相联系的Carnot群。作为满足Hörmander条件的一般向量场的重要模型，Heisenberg型群被更多学者广泛研究，并得到许多重要结果[7-10]。

设G是具有李代数G=V1⊕V2的一个2步Carnot群，且G被赋予内积<·,·>，定义映射J:V2→End(V1):

若∀ξ2∈V2,|ξ2|=1,映射J(ξ2):V1→V1是正交的，则称G是一个Heisenberg型群，简称H型群。

设X={X1,X2,…,Xm},Y={Y1,Y2,…,Yn}分别是V1,V2的基底，x=(x1,x2,…,xm)∈Rm,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn分别是ξ1、ξ2在基底X={X1,X2,…,Xm},Y={Y1,Y2,…,Yn}下的坐标。通过文献[8]，有

△pu=divG(|Gu|p-2Gu),

(2)

其中p>1。

设ζ=(x,y)∈G,在Heisenberg型群G上得到一个拟距离为

(3)

相应于(3)式的非迷向伸缩为

δτ(x,y)=(τx,τ2y),τ>0,(x,y)∈G。

(4)

与伸缩(4)相应,G的齐次维数是Q=m+2n。

通过(2)、(3)式直接计算知道

(5)

由文献[11]中的极坐标变换可以得到下列Heisenberg型群的极坐标变换(x1,x2,…,xm,y1,y2，…,yn)→(ρ,θ,θ1,…,θm-1,γ1,γ2,…,γn-1)。若u(x,y)=ψpv(d),Ω=BR2BR1,0≤R1

(6)

另外，定义中心在0∈G，半径为R的拟开球为BR(x,y)={(x,y)∈G|d(x,y)

2 两个重要引理

(7)

对于一个任意小的ε>0，定义下列函数:

Vε(x,y)=φ(x,y)ωε,

γ=pθ-2;

(8)

引理1对于ε>0，下式成立：

i)cε-1-γ≤Jγ(ε)≤Cε-1-γ,γ>-1;

ii)Jγ(ε)=pε/(γ+1)Jγ+1(ε)+Oε(1),

γ>-1;

iii)Jγ(ε)=Oε(1),γ<-1。

(9)

易知,

(10)

(11)

同样，在(11)式中，利用(10)式证得i)左边不等式成立。

易知

(12)

从而，利用(12)式，得到

(γ+1)Jγ(ε)。

(13)

又由于

pεJγ+1(ε)。

(14)

通过(6)、(7)式知

(γ+1)Jγ(ε)=pεJγ+1(ε)+Oε(1)。

这样,ii)得证。

利用极坐标变换(6)，有

(15)

当γ<-1时，通过(10)式可知(15)式是有限的，从而在(15)式两边取ε→0，证得iii)成立。

引理2∀ε→0，下式成立：

|A|pJpθ(ε)+Oε(ε1-pθ)。

证明已知GVε(x,y)=φ(x,y)Gωε+ωεGφ,有

ΠA+ΠA1+ΠA2。

(16)

利用引理1的ii)知,ΠA1、ΠA2=Oε(1),ε→0。

结合(16)式有

|A|pJpθ(ε)≤ΠA-|A|pJpθ(ε)+Oε(1)=

ΠB+Oε(1)，

(17)

其中

这样

ΠB≤ΠB1+ΠB2+ΠB3，

(18)

其中

以下证明

ΠB1,ΠB3=Oε(1),ε→0。

(19)

在引理1的ii)中，取γ=-1+pθ，得到

ΠB1=-pA|A|p-2(εJpθ(ε)-θJpθ-1(ε))=

-pA|A|p-2(εJpθ(ε)-

εJpθ(ε)+Oε(1))=Oε(1)。

而

ΠB3≤cε3Jpθ(ε)+cJpθ-3(ε),ε>0。

由1-1后，再次取γ=pθ-2>-1，有

(20)

结合(17)～(20)式，得到引理2的i)。结合(17)、(20)式及引理2的i)，有

|A|p-2Jpθ-2(ε)+Oε(1)≤

|A|pJpθ(ε)+Oε(ε1-pθ)。

因此，引理2的ii)成立。

3 一类带有余项的含权Hardy不等式

(21)

特别地，在(21)式中取a=b=0，有下列带有余项的权Hardy不等式：

(22)式中的常数是最佳的。

证明为方便证明(21)式成立，首先令

Λ1=Λ1(η)=1+

从而当R足够大时，在Ω上有Λ0>0,Λ1>0。

(23)

(24)

(25)

利用(23)～(25)式，得

T1(s)-(p-1)AT2(s)T3(s)=

(26)

A|A|p-2d-α|Gd|β(pAΛ1+Λ2-

(27)

通过(26)、(27)式，得到

(28)

又由于

即

(29)

将(28)式代入(29)式，利用(5)式，得到(21)式。

以下证明(22)式中常数的最佳性。

1)通过引理2的ii)，得到

已知当ε→0时，有Jpθ(ε)→∞，所以当ε→0时，有

2)通过引理2的i)，得到

综上，完成(22)式中常数的最佳性证明。