基于高斯投影特性的独立坐标系建立方法

张福友

(广东省水利电力勘测设计研究院有限公司，广州 510170)

1 概述

在描述地球上某一点的具体位置时，通常使用坐标来表示。相同一个位置，在不同坐标系中有不同坐标值。为了更好地描述某点的位置、方位、角度等地理信息，产生了许多坐标系，如空间直角坐标系、大地坐标系、平面直角坐标系[1]等。在实际工程建设中，大部分采用高斯投影平面坐标[2]系。由于地球表面是曲面，将曲面通过投影变为平面，势必存在变形，这便是投影变形[3]。因此，我们使用的平面地图均存在投影变形，当变形值超过了一定限度后，我们需要建立独立坐标系[4]，将变形值减少到可接受范围内以满足工程建设的要求。本文通过分析高斯投影的特点、变形特性等，从根本上探索独立坐标系建立的必要性，同时提出一种基于投影变形分析的独立坐标系建立的方法，从源头解决投影变形问题，并通过实例数据检验该方法的可行性。

2 高斯投影及高斯正反算

地图的制作过程离不开投影，即所谓的地图数学投影，是将地面上的元素按照一定的数学法则投影到平面上的过程[5-6]。常用的投影方法有墨卡托投影、高斯投影、斜轴等面积方位投影、双标准纬线等角圆锥投影、等差分纬线多圆锥投影、正轴方位投影等。

高斯投影是工程建设中用的最多的一种投影，全称高斯-克吕格投影(Gauss-Krüger)，属于等角横轴切椭圆柱投影。它是将假想的椭圆柱面横套在椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将椭圆柱面展开即成为投影面，我国规定按经差6°和3°进行投影分带，特殊情况下有1.5°分带或任意分带[7-8]。高斯投影存在以下特点[5]：① 中央子午线投影后为直线；② 中央子午线投影后长度不变；③ 投影具有正形性质，即正形投影条件(柯西—黎曼条件)。

由上面条件进行推导，可以得出高斯投影正算公式如下[9]：

(1)

(2)

式中:

ρ″=206 264.806;t=tanB;η2=e′2cos2B;

N——卯酉圈曲率半径;

X——自赤道至纬度B的子午线弧长，正算公式换算精确至0.001 m。

同样，通过上述条件推导出高斯投影反算公式[9]：

(3)

(4)

反算公式换算精确至0.000 1″。

由上可知，某点的高斯平面坐标值依附于中央子午线的取值，中央子午线的选择不同，即所在带不同，坐标系便不同，坐标值自然不一样。中央子午线无论选取值是多少，任何两个高斯平面坐标系的点都可以通过数学法则进行转换。通过上面的高斯投影正反算公式可以实现高斯换带计算，实现不同带的坐标之间的转换。

3 投影变形分析

在投影过程中引起投影变形因素包含两方面[10]：一是投影面高差造成的。当地面与投影面间存在高差时，投影后便发生变形。在图1中，AB为地面测距边，A′B′为投影边，可以看出，当投影面低于地面时，投影后边长缩短，反之则伸长。二是高斯投影由参考椭球面到高斯投影面引起的变形。从图2可以看出，投影后中央子午线不变，其他经度线向两侧外凸，纬度线向赤道凸出，离中央子午线越远变形越大。

图1 投影面高差引起的投影变形示意

图2 参考椭球面到高斯投影面引起的变形示意

由投影面高差引起的变形值计算如下：

(5)

式中：

S——地面实际边长；

hm——测距边平均高程;

Rm——地球曲率半径。

由参考椭球面到高斯平面引起的变形值计算如式(6)(7)所示:

(6)

(7)

式中：

ym——测距边两端点到中央子午线的平均距离；

Δy——测距边两端点横坐标之差；

Rm——参考椭球面上测距边中点的地球曲率半径；

Bm——测距边平均纬度。

总投影变形值：

S=S1+S2

(8)

根据公式(8)，绘制投影变形趋势如图3所示，其中纵轴ym的取值为0～150 km，计算间隔为5 km,横轴Hm取值为0～3 000 m,计算间隔为10 m，ΔS的大小由灰度值表示，颜色越深，变形越大。在下图中，负变形最大为右上角，约-48 cm/km，正变形最大为左下角，约28 cm/km。之间白色部分为变形值在-5～5 cm/km之间。

根据《水利水电工程测量规范》(SL 197—2013)[11]要求，长度投影变形值不应大于5 cm/km，否则应建立独立坐标系，优先采用挂靠在国家坐标系下、测区平均高程面上的独立坐标系。由图3可看出：投影面高差引起负变形，远离中央子午线引起正变形，两者可以相互抵消，但只有约1/5区域投影变形符合规范要求。所以，为了消减投影变形，独立坐标系的建立在工程建设当中显得非常重要。

4 独立坐标系建立

独立坐标系建立的总原则为减少投影变形至限差范围内。独立坐标系的建立方法有多种，如“1.5°带投影”、“任意带投影”、“一点一方位”[12-14]等。其中在工程项目中使用较多的为“一点一方位”加实测边长值作为起算数据建网，这种方法是利用外部实测边长数据来约束投影变形。本章节将阐述从内部通过公式计算投影变形值的大小，利用“一点一方位一边长+投影抵偿面”法抵消投影变形来建立独立坐标系的方法。

图3 投影变形趋势示意

该方法和“一点一方位”一样，需要选取控制网中一个点作为起算点(该点尽量在测区中央或者重要区域，在此用A点表示)、该点到另一个点(在此用B点表示)的方位角作为起算方位角，同时采用测区平均高程面或者特定高程面作为投影抵偿面[15-17]，起算边长的距离可通过上面公式精确计算得出。

对于投影面高差造成的变形，可以通过公式(5)进行归算，最大限度地减少它带来的影响。对于高斯投影由参考椭球面到高斯投影面引起的变形，由公式(6)可以看出，当测距边与中央子午线重合时，ΔS2为0，因此正好可以利用该特点来获取精准边长。这个需要我们在控制点布设时，将测距边的两个控制点布设在相同经度的位置上且在测区中央或者重要区域的中央，通过换带计算(新带的中央子午线取该两点的平均经度)得出该测距边的精准距离，同时该测距边应尽可能长以提升边长的相对精度。这里需要注意的是，该测距边不可能完全在同一经线上，但应尽可能实现，让ΔS2尽量小。在实际操作当中，首先可以通过常规的GNSS控制网静态平差解算出一套国家统一坐标，取A点平面坐标作为起算坐标，A到B的方位角作为起算方位角。然后通过换带计算，将A、B两点的坐标进行换带计算，新带中央子午线取A、B两点的平均经度，算出A′、B′并求出两点的平面距离，将该距离归算到投影抵偿面上作为起算边长。至此，一点一方位一边长+投影抵偿面起算数据准备完毕。最后利用这些起算数据对控制网重新平差，解算出来的结果即为独立坐标。

5 实例检验

某抽水蓄能电站项目位于37与38带之间，平均经度约为112°47′，离114°子午线距离约125 km，平均高程约为200 m，通过上面公式计算，投影变形值约为16 cm/km，超出规范要求，需要对该项目建立独立坐标系，控制网布设如图4所示。

图4 控制网布置示意

按照国家统一坐标系，中央子午线114°解算一套38带的坐标，选取最靠近测区中心的“2620”作为起算点，选择与“2620”经度尽量相等且距离较长的点作为方位点，从图4中可以看出点“ZSZF”较为合适。“2620”到“ZSZF”的方位角α约为182°46′作为起算方位角。对“2620”、“ZSZF”两点的平面坐标进行换带计算，新带的中央子午线取两点的平均经度，为112°47′2.8″，投影抵偿面取测区平均高程值，约为200 m。利用两点换带后的平面坐标计算其平距为16 306.035 5 m，作为起算边长。利用上述起算数据对该控制网重新平差，算出独立坐标。对GNSS基线边长与独立坐标反算边长进行对比，得出边长相对误差统计见表1所示。

表1 独立坐标系边长相对误差统计

独立坐标反算长度是用独立坐标的三维坐标计算出来的长度，GNSS基线长度是由GNSS控制网自由网平差后的空间直角坐标计算出来的长度。从表1可以看出，所有边长相对误差均在5 cm/km以内，符合规范要求。为了检验通过高斯正反算方式抵消的投影变形值的准确性，下面通过国家统一坐标系反算的边长，加上公式(6)的距离归化改正后的距离的长度值与GNSS基线长度进行比较(见表2所示)。

表2 国家统一坐标系加距离改化边长相对误差统计

从表2可以看出，改化距离的投影变形相对误差也均在5 cm/km以内，符合规范要求。表1与表2之间的相对误差存在一定差异，是由于独立坐标系残存的投影变形导致的，这是不可避免的，投影变形只能减少，不能消除。但该差异值均小于1/5限差，可以认为通过高斯正反算方式抵消投影变形建立独立坐标系的方法是可行的。

6 结语

本文通过分析高斯投影变形特点，利用中央子午线无变形的特性，应用于独立坐标系的建立，并通过实际项目数据，检验了该方法的可行性，得出结论如下：

1) 本文提出的独立坐标系建立的方法，属于“一点一方位一边长+投影抵偿面”的挂靠坐标系，挂靠在国家统一坐标系下，中央子午线、椭球参数等均不变。所有成果数据，如地形图、断面等均能与国家统一坐标系下的数据衔接。

2) 该方法中的边长获取是通过高斯正反算得到的，无需采用全站仪实测，可以减轻外业工作量。同时，外业实测边长时由于多种因素的限制，不能测取较长测距边的边长。加上内业虽然经过一些列改正，但会残存大气折光、地球曲率、温度、湿度、气压等造成的影响。另外，独立坐标系更多考虑的是相对位置精度，而非绝对位置精度。

3) 采用该方法时需要注意将起算边长的两个控制点尽量布设在相同经度上以最大限度减少换算时残存的投影变形，且距离尽量长以提高边长的相对精度，从而提升整个控制网的相对精度。但投影变形还是会残存的，无法消除，只能尽量减少。

4) 该方法适用范围也是有限的，遇到东西跨度大或者高差大的测区，应根据实际情况进行分区建立独立坐标系。

5) 遇到旧的控制网数据，也可采用该方法进行独立坐标系建立。