挖掘教材资源 拓展数学思维

⦿北京中学 申海东

1 引言

在传统数学教学中过于强调“练”的作用，使整个数学学习过程都与题为伴，试图利用“刷题”来提升解题能力，那么这样做是否真的有效呢？过多的练习势必会固化学生的思维，消耗学生数学学习的兴趣，将数学学习当作任务，缺乏主动学习意识，影响学生探究的热情.另外，因为过多的“练”使学生忽视了对教材的关注.殊不知，中考为了体现教学的公平性和基础性，其考核的内容源于教材，而学生因为对教材的钻研不够，导致基础题频频失分.可见，若教学偏离教材，学生不仅消耗了精力而且成绩没有得到实质性的提高，得不偿失.因此，在教学中，教师必须将目光和精力放置于教材的钻研上，关注例习题的拓展和应用，引导学生通过自主探究来挖掘例习题的典型性功能，使学生练就成火眼金睛，可以透过现象发现问题的本质，提升解决问题的能力[1].笔者通过例题，带领学生进行知识点的挖掘和拓展，以期优化学生的认知，锻炼学生的思维.

2 研读教材，深挖内涵与外延

教材是知识点的浓缩和升华，是教学实施的依据，是设置教学活动的方向标.教师对教材的掌握程度决定了数学教学的高度.新课标实施后，教材内容更加丰富化，生活化，开放化，为教学带来了新的机遇和新的挑战.教材是浓缩的精华，其语言言简意赅，其内容简洁精炼，从而使学生感觉数学知识抽象、乏味.另外，部分教师因对教材研读不足，上课内容空洞；对概念和公式的探究主要依赖例习题进行巩固，缺乏概念、公式、定理的分析和讲解.这样势必会影响学生对知识的建构和迁移.因此，为了让学生更好地体验教材并与教材顺畅地沟通，教师要充分发挥其协调者的作用.教师要精心研读教材，领会其丰富的知识内涵，充分挖掘例习题中所隐藏的数学思想和数学内涵，通过对教材的再开发实现夯实基础、有效拓展的目的.

图1

例1如图1，AD是△ABC中∠BAC的平分线，它与△ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC.

为了发挥例题的示范作用，教师板演解题过程.因学生对本节课的重点内容已经精准把握，因此在讲解时非常顺畅，为了发挥学生的主体作用并调动学生的积极性，教师讲解后提出问题：若将“AD是△ABC中∠BAC的平分线”改为“AD是△ABC的外角∠EAC的平分线”，该如何证明呢？

图2

例2如图2，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC.

(学生板演证明过程.)

证明：∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠DAC=∠DAE.

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠BAD+∠DCB=180°.

∴∠DCB=∠DAE.

又∠DAC=∠DBC,

∴∠DBC=∠DCB,

∴DB=DC.

通过新的问题引出例题，既调动了学生的积极性，又将学生的眼光由三角形内引导至三角形外.对比的教学手法让学生深入思考，形成完善的知识体系.另外，本题主要考查圆的内接四边形的性质，题目简单，学生合作探究后，由学生板演解题过程，进而通过暴露学生的思维过程来培养学生的实践能力和创新能力.

教学反思：通过研读教材，教师才能提出有效的问题，从而用问题将新旧知识串联，让学生通过猜想、分析、对比逐渐形成完善的知识体系，有利于学生从特殊中总结出一般规律，有利于学生的发展.

3 变式引申，关注知识迁移

在初中数学学习中，变式教学是常用的教学方法之一，其以基础知识为源，通过改变条件引导学生从不同角度思考问题，有利于拓展学生的知识面.同时，因变式后题目更加新颖别致，更能反映问题的本质特征，有助于学生加深对知识点的理解，进而通过变化培养思维的多样性和创新性.

为了让学生深化理解，关注知识点间的联系，笔又结合图2将题目做了这样的拓展：

例3如图2，△ADB和△ADC是圆O的内接三角形，AD边公共，BD=CD，∠ABD=∠ACD，那么△ADB与△ADC是否全等呢？

通过对图形的直观观察并结合三角形全等条件可以判断两三角形不全等.在之前的学习过程中学生主要关注性质的应用，对“为什么”的探究很少，在对“边边角”和“角角角”不全等的探究过程仅局限于举出反例.研读教材后发现，本题就是一个很好的反例.笔者通过结合图形特点，过点D作DF⊥BE，DM⊥AC，垂足分别为F，M，引导学生进行探究，去发现隐藏在已知中的奥秘.

图3

探究过程：如图3，根据已知很容易证明△DFA≌△DMA，△DFB≌△DMC.通过探究惊奇地发现，△ADB与△ADC作垂线后即将△ADC多出的三角形△ADM补给△ADB，得到了两个全等三角形.若AD与DM重合，且两个三角形为直角三角形时，可以直接用HL定理来判断其是否全等.另外，通过观察还可以发现BA+AM=MC，即M是折线BAC的中点.

经过探究学生收获了意外的惊喜，尤其BA+AM=MC为常见的几何证明题结论，之前解题时常会感觉过于抽象无从下手，这样从新知联想到了旧知，引导学生经历动手实践的过程加深了对旧知的理解，有利于学生将新知内化至已有认知中，进而形成完整的知识体系.

教学反思：数学题目千变万化，更换一个已知条件或一个数字就变成了一个新的题目.若仅靠机械练习而不注重总结、归纳和拓展，不但增加了学生的课业负担，而且无法形成解题能力，不利于学生的持续发展.因此，在数学教学中要充分发挥变式的功能，借助“变”让学生厘清问题的来龙去脉，找到问题的本质，总结出解决问题的通性通法，这样才能具备以不变应万变的能力，从而真正地提升解题效率.为了更好地设计恰当的变式，教师必须认真钻研教材，结合学生学情和已有认知，借助教材中的“言外之意”来开阔学生的视野，培养学生的创新精神.

4 寻根求源，提升解题能力

经过实践验证，提升学生解题能力的法宝不是“题海战术”，而且“寻根求源”的能力.虽然中考题目千变万化，但万变不离其宗，只有抓住了问题的本质，解决问题才能游刃有余.在教学中，教师要引导学生对问题进行剖析，寻找已知与结论的联系，挖掘已知和结论的隐藏条件，借助已有认知进行重新建构，最终形成解题思路.

将例2的探究过程进行简化和重建，得出了以下两个证明题：

图4

例3如图4，点D是弧BAC的中点，点A是弧上任意一点，若DM⊥AC于点M，求证：M是折线ABC的中点.

例4如图4，AB>BC,点D是弧BAC的中点，点A是弧上任意一点，若DM⊥AC，M为垂足，求证：BA+AM=MC.

例3和例4是由例2的探究而来，经过仔细分析发现其是阿基米德折弦定理.至此学生自然会联想到定理的证明和应用，尤其补短法、截长法和垂线法这三个方法的应用在几何证明中发挥着不可估量的作用.

教学反思：在实践中可以发现，大多数习题都是由典型题目演变而来的.因此要提升解题能力，“寻根求源”才是关键，找到问题的原型，解题思路自然豁然开朗.在教学中不要盲目追求“多”“新”“难”，而应引导学生关注“变”，要对典型题目进行仔细推敲，找到问题的“前世”，这无疑会大大提升学生的解题能力.

5 追问与联想，建构新的知识体系

由对圆内接四边形的探究延伸至对“边边角”的思考，借助“边边角”的反例又延伸至对“阿基米德折弦定理”的思考，这样一点点拓展，一点点编织，形成了一个巨大的知识网络，方便学生记忆、运用.

为了让学生进一步拓展，教师又提出问题：通过“边边角”你还能联想到哪些相关的内容呢？

在问题的指引下，学生想到了HL定理、平行四边形的判定，以及解直角三角形，这样由点及面的构造，使学生知识网络不断丰富、完善.

数学教学要改变传统“以练代思”的机械模仿模式，要给学生足够的时间进行教材的挖掘，通过对典型题目的挖掘而深入了解知识的内涵和外延[2].同时，也要给学生足够的空间去联想和交流，教师可以通过问题的引导，让学生在联想、反思、总结中不断完善认知，提升自我.