分数型Marcinkiewicz算子在加权Morrey空间的有界性

叶晓峰，余 标，杨 丹

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)

0 引言

设Sn-1是n(n≥2)中的单位球面，其上诱导的Lebesgue测度dδ=dδ(x′)，这里x′=x/|x|(对任意x≠0)。设Ω∈L1(Sn-1)是n上的零阶齐次函数，且满足消失条件：

设0<α

设b(x)是n上的局部可积函数，由μΩ,α和b(x)生成的交换子[b,μΩ,α]定义为：

文献[1]定义了n维Marcinkiewicz算子μΩ=μΩ,0，证明了当Ω∈Lipβ(Sn-1)，0<β≤1时，μΩ是强(p,p)有界，其中1

文献[9]在研究二阶椭圆偏微分方程解的局部正则性问题时，引入了Morrey空间Lp,λ，其相应的基本性质和应用，参见文献[10-12]。算子的加权估计在调和分析中是非常重要的研究内容。文献[13]结合Morrey空间和加权Lebesgue空间，定义了一类加权Morrey空间Lp,κ(w)，并研究了调和分析中一些经典算子在其上的加权有界性问题，例如，Hardy-Littlewood极大算子、Calderón-Zygmund奇异积分算子以及分数次积分算子。此后，关于加权Morrey空间的研究引起了许多数学家的注意[14-17]。

在上述研究的启发下，本文讨论分数型Marcinkiewicz算子μΩ,α及其交换子在加权Morrey空间Lp,κ(w)上的有界性。

1 定义和引理

定义1[18]一个权函数w属于Muckenhoupt类Ap，1 1，使得：

(1)

记不等式(1)中常数C的下确界为[w]Ap。

当p=1时，称w∈A1，如果存在常数C> 1，使得：

(2)

当p=∞时，定义A∞=∪1≤p<∞Ap。

定义2[19]一个权函数w属于Ap,q类，1 1，使得：

(3)

其中，1/p+1/p′=1。记不等式(2)中常数C的下确界为[w]Ap,q。

当p=1时，称w∈A1,q，11，使得：

(4)

定义3[20]一个权函数w属于反向Hölder类RHr，如果对任意方体Q⊂n，存在常数C>0和r>1使得下面的反向Hölder不等式成立：

(5)

若w∈Ap，且1≤p<∞，则对于所有的r>p，有w∈Ar以及对于某个11,使得w∈RHr。利用Hölder不等式可知，当w∈RHr时，对于所有的11，对于某个ε>0，有w∈RHr+ε成立。因此，记rw≡sup{r>1:w∈RHr}来表示w关于反向Hölder条件下的临界指标。

引理1[20]设w∈Ap，p≥1，则对于任意方体Q⊂n，存在常数C>0使得：

w(2Q)≤Cw(Q)。

(6)

一般来说，对于任意λ>1，有：

w(λQ)≤Cλnpw(Q)，

(7)

其中：C是与Q和λ无关的常数。

引理2[20]设w∈Ap∩RHr，p≥1且r>1，则对任意可测集E⊂Q，存在常数C1,C2>0，使得：

(8)

(9)

特别地，

(10)

为了研究分数阶的情形，需要考虑带双权的加权Morrey空间。

定义4[13]设1≤p<∞，0<κ<1，以及u,v是两个权函数，则加权Morrey空间定义为：

其中：

(11)

则称f是BMO函数，记作f∈BMO(n)，其中，Q为n中与坐标轴平行的方体。

引理4[22]设b∈BMO(n)，如果1≤p<∞，则有：

(12)

引理5[23]设w∈A∞，00，使得：

(13)

定义6 设Ω是Sn-1上的连续函数，若对0<β≤1，及任意x1,x2∈Sn-1，有：

(14)

则称Ω满足β阶Lipschitz条件，记作Ω∈Lipβ(Sn-1)。

其中：0<α

定义10 对于∀δ>0，定义如下与δ相关的极大函数：

其中：M是Hardy-Littlewood极大算子。

等价地，可以用球体代替方体来定义加权Morrey空间、极大函数、反向Hölder类RHr和Ap权等。根据实际需要，本文将使用这两种等价的定义。为了证明本文的结论，还需要下列不等式和引理。

引理6[14]设0<δ<1，1

(15)

对于所有使得左边式子为有限值的函数f来说都成立。

引理7[13]设0<α

引理8[4]设0<α1，s′

引理9[24](广义Minkowski不等式)设(X,dμ)，(Y,dν)是两个测度空间，F(x,y)是乘积空间X×Y中关于测度μ×ν的可测函数。若对于几乎所有的y∈Y，F(·,y)∈Lp(X,μ)，其中1≤p<∞，则有：

引理10[24](Kolmogorov不等式)若T是弱(p,q)型，其中1≤p,q<∞且0

(16)

2 定理的证明

引理11[25]设0<α

是弱(L1(w),Lq(wq))有界的，即对所有λ>0，存在一个与f无关的常数C>0，使得：

引理12 设0<α

证明由广义Minkowski不等式有：

再利用Iα的弱(L1(w),Lq(wq))有界性即可得证。引理12证毕。

引理13 设0<α0，使得：

对于任意的x∈n和任意具有紧支集的光滑函数f都成立。

证明设x∈n，B=B(x0,r)为包含x的球，B*=B(x0,2r)，要证该结论，只需要证明：

将f分解为f=f1+f2，其中f1=fχB*，χB*表示球体B*的特征函数，C=(μΩ,αf2)B，利用不等式(a+b)s≤Cs(as+bs)，其中Cs=max{1,2s-1}，00，

根据引理12，μΩ,α是弱(1,q)型算子，则利用Kolmogorov不等式，有：

下面估计I2，利用Hölder不等式，有：

下面估计|μΩ,αf2(y)-μΩ,αf2(ω)|，记

J:=|μΩ,αf2(y)-μΩ,αf2(ω)|≤J1+J2+J3，

因为J1与J2类似，所以只要对J1进行估计。注意x0,y,ω∈B(x0,r)，z∈n/B*，易知|x0-z|～|y-z|～|ω-z|，又Lipβ⊂L∞，故Ω(x)是本性有界的，再由广义Minkowski不等式和中值定理，有：

同理可得J2≤CMαf(x)。最后估计J3，利用广义Minkowski不等式，有：

下面分别对J31，J32进行估计，已知|x0-z|～|y-z|～|ω-z|，则：

故

因为Lipβ⊂L∞，故Ω(x)是本性有界的，再利用中值定理，有：

故

结合J1，J2，J3的估计，可得：

综合上面对I1,I2的估计，可得：

引理13证毕。

定理1 设0<α

证明应用引理13得到的Sharp极大函数估计结果，以及引理6和引理7，有：

定理1证毕。

定理2 设0<α

‖[b,μΩ,α]f‖Lq,κq/p(wq/p,w)≤C‖b‖‖f‖Lp,κ(w)。

证明固定一个球体B=B(x0,r)，B*=B(x0,2r)，要证该定理，只需要证明

将f分解为f=f1+f2，其中f1=fχB*，

由Ap,q权的定义，容易验证

w∈Ap,q，当且仅当wq∈A1+q/p′。

(17)

因为wq/p∈A1，利用式(17)，可以推出w1/p∈Ap,q，又由引理8，交换子[b,μΩ,α]是从Lp(wp)到Lq(wq)有界的，只要w∈Ap,q。根据这一结果和引理1，有：

(18)

在估计K2之前，先对[b,μΩ,α]进行处理：

利用广义 Minkowski不等式，可得：

(19)

利用Hölder不等式和Ap权条件，可得：

(20)

将式(20)结果代入到式(19)，有：

因此，

因为wq/p∈A1，由引理3，有w∈A1∩RHq/p，由此推出：

(21)

此外，通过引理5可知：

(22)

运用式(21)和式(22)的结果，因此：

因此，

(23)

对于Ⅱ1项，利用Hölder不等式，有：

(24)

设ω(y)=w-p′/p(y)=w1-p′(y)，因为wq/p∈A1,由引理3,有w∈A1∩RHq/p，进而推出ω∈A∞。由引理5可得：

(25)

将式(25)代入到式(24)，有：

因此，

(26)

现在估计最后一项Ⅱ2。因为b∈BMO(n)，通过简单的计算可得：

|b2j+1B-bB|≤C·j‖b‖BMO。

(27)

根据式(27)和式(20)，可以推出

因此：

(28)

结合式(26)和式(28)的估计，得到：

(29)

综合式(18)和式(29)的估计，然后关于所有的球体B⊆n取上确界。定理2证毕。

定理3设0<α0和任意球体B，存在一个与f无关的常数C>0使得：

证明借鉴文献[13]中定理3.6的证明思想。对于任意给定的λ>0和任意的球体B，同样分解f=f1+f2，其中f1=fχB*，

wq({x∈B:|μΩ,αf(x)|>λ})≤

wq({x∈B:|μΩ,αf1(x)|>λ/2})+wq({x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2})=:L1+L2。

根据引理12，μΩ,α是弱(L1(w),Lq(wq))有界的，再利用引理1推出：

(30)

对于L2项，应用广义 Minkowski不等式可得：

因为w∈A1,q，由A1,q权条件可得：

因为w∈A1,q，则一定存在某个r*>1，使得wq∈RHr*。进一步，根据引理2可知：

因此，

(31)

在不等式(31)中，级数收敛是因为

如果{x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2}=∅，则

显然成立。

如果{x∈B:|μΩ,αf2(x)|>λ/2}≠∅，则根据不等，式(31)有：

这等价于

因此，

(32)

结合式(30)和式(32)的估计，定理3证毕。