对偶拉格朗日视角的CPI权重

黄秀海 张奥迪 徐振宇

（浙江财经大学数据科学学院，浙江 杭州 310018）

一、引言

由于种种原因，我国目前未公开CPI 权重数据。这使社会各方与学术界研究CPI 各项目权重大小，力求准确预测CPI[1]。从CPI 编制方法来说，大部分发达国家和地区使用“一次性加权平均法”，我国使用的是“多阶段加权平均法”，通过层层汇编，最终得到全国CPI[2]。因此，CPI 权重对CPI 准确性有重要影响。

世界各国目前使用《消费者价格指数：国际劳工组织手册（1989）》中的“按照目的划分的个人消费分类”（COICOP）[3]对居民消费商品与服务进行分类。COICOP 将住户最终的消费品与服务划分为12 个大类、47 个中类、117 个小类、200 多个基本分类。中国总体参照COICOP，将我国居民消费商品与服务划分为8个大类，并从2016年起，对大类项目进行较大调整。

对于中国来说，影响CPI 准确性的最大因素无疑是各分类项目的权重，特别是中国CPI 居住类权重的大小[4]。我国CPI 权重数据来源于全国12 万户城乡居民家庭各类消费商品与服务项目的家庭支出情况。根据国家统计局编制CPI 的相关规定，这些权重每5年调整一次，每年又进行一定程度的微调[5]。

显然，要正确编制与理解CPI，必须对我国CPI 权重进行估算。目前，国内实证方面的文献成果比较少，一些计量方法在模型设计、系统性方面均存在需要完善的地方。

本文从我国CPI 编制理论出发，提出CPI 权重测度方法，进行数学论证，并结合样本数据进行测度。

二、CPI 权重测度方法的数学证明

CPI 本质上是分类价格指数的加权平均，是8 个大类的分类价格指数与对应权重的加权算术平均数，与8 个大类之间为线性关系。相关的计量模型可写成如下形式：

其中，αi为待估计的参数，即权重；t 为时间，εt～iid N（0，σ2）。对于式（1）的设计要注意不包含常数项，同时，由于是统计测度，模型必须含有扰动项。当然，作为权重，对于式（1）来说，待估计参数存在一些限制条件。

显然，在这样的约束条件下，CPI 权重的测度本质上是一个条件极值问题。利用拉格朗日函数方法，可求解极值时对应的函数参数。现对提出的计量方法进行数学证明与推导。

引入拉格朗日乘子λ，相应的拉格朗日函数如下：

接下来，拉格朗日函数对参数W 求取一阶导数，令其等于零。

根据式（4），可以求得参数W：

将式（5）代入式（3），求取拉格朗日函数的对偶函数，将包含参数W、λ 的条件极值问题转化为仅包含拉格朗日乘子λ 的最大值问题。

这样，式（6）对偶拉格朗日函数仅包含乘子，并且是仅包含偶拉格朗日乘子的一元二次函数。对式（6）求导，并令其等于零，有：

得到参数为：

现将式（7）代入式（5），即可得到参数，即CPI 权重向量为：

三、权重测度及实证分析

（一）样本选择

根据CPI 编制理论，结合公开发布的统计数据，选取CPI 分类指数与CPI月度环比指标。中国CPI 自2001年开始按照GDDS 要求正式编制，因此，样本时间应该从2001年开始。但国家统计局网站发布的CPI分类价格指数最早始于2006年1月，因此选取2006年1月至2020年12月中国CPI 分类价格指数与月度环比指标，所有数据均来源于国家统计局网站（https：//data.stats.gov.cn/）。美国、日本、德国的CPI月度环比指数、权重数据及分类指数来源于世界经合组织网站（https：//stats.oecd.org/），样本时间为2015年1月至2020年12月。

（二）部分发达国家CPI 权重验证性测度

为了验证CPI 权重测度方法的合理性，对部分发达国家CPI 权重进行验证性分析。由于发达国家基本上按照GDDS 要求，公布CPI 的同时，各分类项目的权重也公开，透明度较高。运用本文提出的CPI 权重测度方法，对发达国家的CPI 权重进行测度，与公布的CPI真实权重进行对比分析，验证本文CPI 权重测度方法的合理性。这里选取美国、日本和德国的CPI 权重数据进行对比。

日本、德国的CPI 权重每5年更新一次，美国的CPI 权重每年更新。考虑到中国的CPI 权重每5年更新一次，因此，本文测度日本、德国2016—2020年的CPI 权重；美国对比2020年的真实CPI 权重，考虑到统计测度的稳定性，权重预测值的时间同样为2016—2020年。相关测度结果见表1。

由表1可知，日本、德国、美国对偶拉格朗日函数乘子分别为12.47、9.61、8.12。测度权重与真实权重利用成对双样本进行均值分析，双侧检验的概率均为1，说明不能拒绝无差别的原假设。显然，运用CPI月度指标对分类价格指数进行回归，对比测度的权重与公布的真实权重发现它们之间差异不显著，因此提出的CPI 权重测度方法具有可信度与科学性。

表1 2016—2020年部分发达国家CPI 权重真实值与测度值的比较 单位：%

（三）中国CPI 权重测度

通过对部分发达国家CPI 权重的测度结果与公布的真实权重进行对比分析可知，本文运用CPI 编制原理提出的CPI 权重测度方法具有一定的可行性。现在，运用这一方法对中国CPI 权重进行计量分析。相关测度结果见表2。

表2 中国CPI 权重测度结果 单位：%

由表2可知，在2006—2010年、2011—2015年、2016—2020年这三个期间，对偶拉格朗日函数乘子分别为19.49、41.68、4.94。从消费方面分析，在这三个期间，体现居民消费水平的食品占比分别为34.70%、32.79%、31.03%，呈稳步减少趋势。在医疗保健用品方面的占比分别为8.63%、14.68%、9.93%，有所提高。同样，在交通和通信方面的占比有上升趋势。大家广泛关注的居住类占比分别为14.61%、17.71%、19.48%，虽然显著提高，但是不管与表1所示发达国家住房类项目的占比相比，还是与大家期望比重相比，仍有很大的争议性。可见，如何正确计量我国居民居住类比重问题，仍待深入研究。当然，这应该是一个统计核算的基础问题，而不是一个计量问题。

（四）权重的比较分析

为了更好地了解中国与发达国家的CPI 相关项目情况，现在对它们进行对比分析，相关指标汇总见表3。表3中发达国家的CPI 权重为真实权重（其中美国的CPI 权重为2020年的权重值，中国的CPI 权重为测度值）。

由表3可知，发达国家对居民消费商品与服务的分类比中国更加细致，发达国家居民消费在食品烟酒方面的消费占比（食物与酒精等2 项占比相加）分别为20.9%、13.47%、8.88%，远远小于中国居民的食品烟酒消费占比。发达国家居民在住房类方面消费占比分别为27.6%、32.47%、36.63%，远远高于中国居民在住房类方面的占比。发达国家居民在家具、医疗、交通、通信、娱乐等方面的消费占比要远高于中国居民的消费占比。可见，发达国家居民的消费结构优于中国居民的消费结构。

表3 2016—2020年中国与部分发达国家CPI 权重对比情况 单位：%

在中国与发达国家CPI 权重对比中，争议最大的当属居住类权重。美国公布的2020年CPI 中居住类权重高达36.63%，而中国2006—2010年CPI 中居住类权重仅为14.61%，2011—2015年的居住类权重上升到17.71%，2016—2020年的居住类权重上升到19.48%，难以匹配房价上涨给消费者带来的消费压力。中国的住房自有率相比于很多国家都偏高，2005年中国城镇居民中自有住房率高达83%，美国同期为68.3%。在计算自有住房租金时，中国国家统计局采用的是“城镇及工矿区个人建房单位面积工程造价”而不是“商品房销售价格”，从而有可能严重低估自有住房虚拟租金，进而低估自有住房消费权重。使用成本法计算自有住房支出，对住房类消费的权重进行修正，得到居住类消费的权重在20%—50%之间。

目前对居住类价格变化主要是从“房租、建房及装修材料、物业费、房屋维修费、自有住房贷款利息、水电燃气以及其他与居住相关的服务费用”等方面考虑，这些对于农村居民来说，他们对于房租、物业费、自有住房的贷款利息、水电燃气等项目价格变化陌生，或者感受不准确。因为农村居民居住房屋多数是自有住房，不需要考虑这些项目，许多建筑材料自给自足。例如，对于农村居民来说，许多建房材料是自己山上采伐的树木，自己打制的砖，水是自家的井水，烧的是木材等，外加购买有限的水泥、钢材等材料，所以他们对于居住价格的感受差别很大。

四、结论

综合以上的实证分析，可得出如下结论：一是利用CPI 编制理论，发现约束条件下我国CPI 权重的测度问题是一个凸优化问题，通过构建拉格朗日函数与对偶拉格朗日函数，可以得到测度约束条件下的CPI权重。二是对本文提出的计量方法进行横向检验分析，通过与西方国家公布的CPI 真实权重进行对比分析发现，本文提出的计量方法能够准确计量发达国家CPI 权重，验证了本文计量方法的科学性与有效性。并且发现西方发达国家居民的消费结构优于中国居民的消费结构，体现在食品烟酒等方面的消费权重小于中国居民的消费权重，而在家具、医疗、交通、通信、住房类等方面消费权重高于中国居民的消费权重。三是从测度结果的对比分析发现，中国居民在住房类方面的消费权重明显偏低，结合中国目前的高房价情况，住房类权重具有较大的争议性。这是中国今后CPI 编制工作需要深入研究的问题。

本文研究价值在于，对约束条件下的中国CPI 权重问题，根据CPI 编制原理，通过构建拉格朗日函数与对偶拉格朗日函数，提出在极值处求解CPI 权重的新方法，并对这一方法进行了严谨的数学证明。通过验证性分析后，利用样本数据，对中国CPI 权重进行了系统性测度，指出今后CPI 编制工作需要解决的关键问题。◆