巧构空间坐标系,妙解立体几何题

臧永建

(济南市章丘区第五中学)

我们知道,建立空间直角坐标系,利用向量法可以判断与证明空间中点、线、面之间的位置关系,求解空间角(包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角的平面角等)问题.此外,还可以用它巧妙解决立体几何中的数量积问题、距离问题、外接球问题以及轨迹问题等.

1 数量积问题

例1已知MN是长方体外接球的一条直径,点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别是1,1,,则的取值范围为( ).

解析根据题意,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图1所示.

图1

点评在解决一些立体几何体中的向量数量积问题时,可以通过建立空间直角坐标系,利用坐标法求解,其中正确构建合适的空间直角坐标系是解题的关键.

2 距离问题

例2(多选题)如图2所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上 的一个动点,若由点A,E,F构成的平面为α,则( ).

图2

A.平面α截正方体的截面可能是三角形

B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为

C.点D到平面α的距离的最大值为

D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形

解析如图3 所示,建立空间直角坐标系,延长AE与z轴交于点P,延长PF与y轴交于点M,则平面α由平面AEF扩展为平面APM.由此可知A 错误,D 正确.

图3

点评在利用坐标法解决一些立体几何中的距离问题时,正确地构建空间直角坐标系并利用一些常用的距离公式是解决问题的关键.

3 外接球问题

图4

即三棱锥A-BCD外接球的表面积为S＝4πR2＝52π,故选B.

点评在解决一些简单几何体的外接球问题时,通过建立空间直角坐标系利用坐标法求解,可以很好地回避确定外接球的球心位置或球的半径等繁杂的图形处理与逻辑推理.

4 轨迹问题

例4如图5所示,斜线段AB与平面α所成的角为为斜足.平面α上的动点P满足∠PAB＝,则点P的轨迹为( ).

图5

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

解析建立如图6 所示的空间直角坐标系,设B(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),则＝(0,1,－1),＝(x,y,－1),所以

图6

变形整理可得3x2＋(y－2)2＝3,所以点P的轨迹是椭圆,故选B.

点评在解决一些立体几何中的轨迹问题时,回顾平面解析几何中求解轨迹问题的技巧与方法,通过建立空间直角坐标系,设出动点的坐标,借助坐标法,利用题目条件合理构建相关的关系式,进而变形整理得到动点的坐标所满足的代数关系式,从而结合关系式的特征确定轨迹类型.

建立空间直角坐标系求出空间相关点的坐标以及向量的坐标等,利用坐标法确定线段的长度、向量的夹角、空间点线面的位置关系,解决一些相关的数量积问题、距离问题、外接球问题以及轨迹问题等,可以实现问题的突破,全面提升数学能力,提高数学思维品质,培养数学核心素养.

(完)