整式概念学习中常见错误例析

⦿湖南省长沙市特殊教育学校 陈赛兰

整式分为单项式与多项式，对单项式与多项式的有关概念，教材中都作了严格的界定.但由于学生对概念的内涵理解不透彻、不到位，导致做题时出错；抑或对概念的外延所包含的特殊对象了解不够，认识不足，导致做题时出错.以下笔者结合实例，作一分析！

1 在区分单项式和多项式时出错

单项式与多项式只有一字之差，但意义却完全不同.单项式是数与字母的乘积组成的代数式，它包括三种类型：单独的数字；单独的字母；数与字母的乘积.单独的数字可以看作字母指数为0的单项式，单独的字母可以看作系数是1或-1的单项式.当整式里的单项式不止一个时，这时的整式就称为多项式，多项式实际上是多个单项式的组合体.

错解：单项式有②⑥；多项式有③⑤.

正解：单项式的有①④⑥；多项式的有②③.

例2下列判断错误的是( ).

B.2 020是单项式

C.-a不是单项式

错解：AD.

正解：C.

评注：正确理解单项式与多项式的概念是解决问题的前提条件.在区分单项式与多项式时，应着重观察整式中是否含有加号或减号，若含有则是多项式，若没有则是单项式.

2 在确定单项式的系数和次数时出错

在合并同类项时，参与运算的是几个同类项的系数，不变的是字母与字母的指数.而同类项也是单项式，所以确定单项式的系数很重要，它是正确合并同类项的前提.单项式的次数是单项式的一个重要特征，其对于多项式次数的确定至关重要.

错解：①4；②6.

例4已知(m-3)x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，则m2-2m+2=.

错解：5或17.

剖析：单独的一个数也是单项式，如数0，它的系数是0，次数也是0；15，它的系数是15，次数是0.既然例4中的单项式的次数不是0，那么就必须保证字母的存在.保证字母存在需要满足单项式的系数不能为0，并且所有字母的指数和不为0.根据题意，可得3+|m|+1=7且m-3≠0，解得m=-3.所以m2-2m+2=9+6+2=17．

正解：17.

评注：在确定单项式的系数时，先要把式子写成乘积的形式，然后再找数字因数；在确定单项式的次数时，只关注其中的字母，然后把字母的指数相加即可.

3 在确定多项式的项时出错

多项式的项是指其中的每一个单项式，弄清多项式里的每一项尤为重要.在进行多项式的升降排列时，需要对多项式的某些项重新调整位置，只有理清了每一项，才不会出错；在整式的加减运算中，去括号及合并同类项，都需要变动其中某一项的位置，这也要求学生知道多项式的每一项.

例5多项式2a-3a2b3+4ab2-16的最高次项是，常数项是.

错解：最高次项是5,常数项是16.

剖析：多项式的项是指多项式中的每一个单项式，每个单项式都包括它系数的正负号，所以例5中的多项式的最高次项是-3a2b3，而5是最高次项的次数.常数项是-16，不能丢掉它前面的符号.

正解：最高次项是-3a2b3，常数项是-16.

例6关于多项式-x3y+xy-7，下列说法错误的是( ).

A．是四次三项式 B．最高次项系数是-1

C．不含二次项 D．常数项是-7

错解：AD.

剖析：多项式的项是指多项式中的每一个单项式，每个单项式都包括它系数的正负号.所以例6中的多项式由三项组成，分别是-x3y，+xy，-7.其中-x3y是最高次项，它的系数是-1，次数是4；+xy是二次项，系数是+1，次数是2；-7是常数项.

正解：C.

评注：注意“最高次项”“最高次项的次数”“最高次项的系数”这几个名词的不同,它们主语分别是“项”“次数”“系数”，前面的文字是主语修饰词.虽然研究的是同一项，但所关注的要素不同.

4 在确定多项式的次数时出错

多项式的次数是指在多项式中，比较各单项式项的次数，将次数最高的项的次数作为多项式的次数.多项式的次数是多项式的重要内容，当我们说某个多项式是几次几项式时，首先要确定它的次数；在确定整式方程是几次方程时，实际上也是依据多项式次数的概念进行定义的.

例7若m，n均为自然数，且m

错解：n=4.

剖析：π是圆周率，是一个常数，所以-πn+2也是一个常数.多项式中常数项因为不含字母，所以它的次数为0，从而常数项的次数最低.因为m

正解：n=5.

例8已知关于x，y的多项式x4+(m+2)xny-xy2+3．

(1)当m，n为何值时，它是五次四项式？

(2)当m，n为何值时，它是四次三项式？

错解：(1)n=4，m为任意实数；(2)m，n均为任意实数.

剖析：(1)多项式x4+(m+2)xny-xy2+3中，第一、二、三、四项的次数分别是4，(n+1)，3，0，要使这个多项式的次数为5，则n+1=5，解得n=4.但是第二项的系数是m+2，当它为0时，则不合题意，因此m+2≠0，即m≠-2.(2)要把原来的四项式变为三项式，必须让其中的一项为0，观察多项式可以发现，第一、三、四项都不可能为0，只有第二项有这个条件，因为它的系数是m+2.因此，当m+2=0时，即m=-2，多项式变为三项式，此时n为任意实数.

正解：(1)n=4，m≠-2.

(2)m=-2，n为任意实数.

评注：在确定多项式的次数时，只观察含字母的项，在含字母的项中，次数最高的项的次数就是所求多项式的次数.特别注意的是“π”也表示一个数，只不过它是我们将来要学习的无理数.它不是字母.

“人非圣贤，孰能无过”！在新知识的学习过程中，由于学生对问题的认识角度及侧重点不同，因此犯一些错误也是正常的.随着错误的纠正，学生对知识的认识会更加深刻，同时，也提高了自身的思辨能力.人生不就是在不断的犯错纠错中成长起来的吗？