OFDM 系统中基于最优阈值ACE 的PAPR 抑制

吴 群，周 晓，王成优

山东大学机电与信息工程学院，威海 264209

正交频分复用(Orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术作为5G 移动通信的关键技术之一，因其优越的性能和较高的频谱效率[1]在现代无线通信系统中得到了普遍应用[2].但其也存在不足之处，例如具有较高的峰均功率比[3-4](Peakto-average power ratio,PAPR)，尤其是在子载波数较多的情况下[5].OFDM 调制是将子载波信号在时域进行叠加，若子载波的相位相同，则会产生较高的时域峰值，从而导致PAPR 过高，过高的PAPR 会使发射机的功率放大器工作在非线性区域，引起信号互调干扰[6].目前，OFDM 系统中降低PAPR 的方法有：选择映射(Selected mapping,SLM)法[7-8]，部分传输序列(Partial transfer sequence,PTS)法[9-10]和子载波预留(Tone reservation,TR)法[11-12].如今5G 带给人们生活便利的同时面临着频谱资源匮乏的问题[13]，而SLM 法需要将扰码序列告知接收端才可恢复信号，PTS 法要向接收端发送分块方式和相位因子信息，TR 法只能选择一部分子载波传输数据信息，其他子载波插入预定的冗余数据，这都会额外增加系统的开销，浪费频带资源.随着深度学习的广泛应用[14]，也出现了一些基于深度学习的抑制PAPR 方法的研究[15-16]，但该类方法需要耗费大量时间训练网络模型[17].动态星座图扩展(Active constellation extension,ACE)法[18-22]不会额外占用带宽，且操作方便，是一种直接有效降低PAPR 的方法.

ACE 是将星座空间中最外层的星座点动态地向外扩展，增大该星座点与其他星座点之间的距离，从而降低信号的PAPR.该方法的缺点是信号的平均功率会因星座点之间距离的增大而变大，但由于其实现简单且在接收端不需要进行额外操作，因此被广泛应用于降低信号的PAPR.Jones等[18]提出一种求次优解的凸集映射(Projection onto convex sets,POCS)方法，用来解决使用ACE方法降低信号PAPR 时二次优化复杂度较高的问题，POCS 算法能够绝对收敛，但收敛速度较慢.在POCS 算法的基础上，Samayoa 等[19]提出了修正后的ACE 算法，在迭代时对扩展之后的频域信号与初始信号之差引入一个修正因子进行优化.针对POCS 算法收敛速度慢的问题，Krongold 等[20]提出了智能梯度投影(Smart gradient projection,SGP)方法，SGP 算法比POCS 算法收敛速度快且简化了迭代，在一定程度上降低了计算复杂度.Li 等[21]提出了一种基于ACE 和联合时空选择性映射的低复杂度SLM 方法，用于降低空时分组码多输入多输出OFDM 系统的PAPR.Liu 等[22]提出了一种凸集到凸集的ACE 方案用来优化迭代过程，从而降低计算复杂度.

基于ACE 抑制PAPR 的算法主要有两个部分：限幅和星座扩展.限幅阈值的大小决定了限幅后信号的优劣，若取值过大，则无法有效抑制PAPR；若取值过小，又会使信号引入过多的限幅噪声，从而导致信号失真严重.现有的ACE 算法大多是设置固定的阈值[18-20]，但迭代后信号的统计特性会发生改变，因此设置固定阈值在一定程度上限制了抑制PAPR 的性能.针对这一问题本文提出了最优阈值ACE(Optimal threshold ACE,OTACE)方法，在每次迭代时动态改变信号限幅阈值，构建一个优化问题并求解得到可以取得的最小阈值，在提高ACE 算法降低信号PAPR 的能力的同时，尽可能少地提升信号的平均功率.以正交相移键控(Quadrature phase shift keying,QPSK)调制为例，采用互补累计分布函数(Complementary cumulative distribution function,CCDF)来描述系统PAPR 的分布概率，在单输入单输出OFDM(Single input single output-OFDM,SISO-OFDM)系统中针对使用OTACE算法前后对系统误码率(Bit error rate,BER)的影响进行仿真实验，并采用最小二乘(Least square,LS)算法[23]和线性最小均方误差(Linear minimum mean square error,LMMSE)算法[24]进行信道估计，实验结果表明该算法能够在有效抑制OFDM 系统PAPR的同时提高系统的BER 性能.

1 OFDM 系统模型

带有抑制PAPR 模块的OFDM 系统框图如图1所示.在发送端，先将输入比特流调制为不同的复数符号，然后运用ACE 算法抑制调制信号的PAPR，再对信号进行串并转换(Serial to parallel,S/P)，插入导频子载波，经快速傅里叶逆变换(Inverse fast Fourier transform,IFFT)后，在每一个OFDM 符号前添加循环前缀(Cyclic prefix,CP)以抑制符号间干扰，最后对信号进行并串变换(Parallel to serial,P/S)，发送到具有加性高斯白噪声(Additive white Gaussian noise,AWGN)的多径信道中.在接收端，接收到的信号经S/P，去除CP，快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)后，提取导频用于信道估计，根据估计出的信道信息对接收符号进行均衡，最后解调得到输出比特流.

图1 具有PAPR 抑制的OFDM 系统模型Fig.1 OFDM system model with PAPR reduction

假设一个OFDM 系统有N个子载波，调制到第k个子载波上的复数符号为Xk，N个子载波上的信号相加得到OFDM 调制后的时域信号为：

其中，j 表示虚数单位，n表示时域的第n个采样点.信号的PAPR 可表示成[4]：

其中，max{·}表示取最大值运算，E{·}表示取均值运算.

2 传统ACE 算法

2.1 POCS 算法

POCS 算法可看成在两个凸集C1和C2之间通过不断迭代寻找最优解的过程.第i次迭代的算法流程图如图2 所示.

图2 POCS 算法流程图Fig.2 Specific process of POCS algorithm

集合C1的作用可看成图2 中的限幅和FFT 变换.限幅是将所有大于阈值A的信号幅值都缩小到A，同时相位保持不变，即[19]：

其中，x(i)(n)=|x(i)(n)|ejθ(n)，θ(n)表示辐角，x(i)(n)和分别表示第i次迭代时限幅前、后的第n个OFDM 符号.在对进行FFT 运算时，可令[19]：

集合C2的作用可看成图2 中的星座扩展和IFFT 变换.星座扩展是将所有内部星座点还原到原始位置，外部星座点移动到可扩展区域内.扩展后的信号经IFFT 变换后再次映射到C1进行限幅，直至达到最大迭代次数或所有时域信号的幅值都小于阈值A时停止.

2.2 SGP 算法

POCS 算法收敛速度较慢，SGP 算法通过设置加权因子 μ对削掉的信号进行缩放，从而加快收敛速度，即[20]：

获取 μ的具体步骤[20]为：

(1) 计算时域信号x的幅度最大值及其对应位置，即：

其中，式(8)表示找到使|x(n)|取最大值的n.

(2) 计算c(n)在x(n)上的投影cp(n)，即：

其中，Re(·)表示取实部，(·)*表示取共轭.

(3) 根据cp(n)计算加权因子集合β(n)，即：

(4) 选择最小的β(n)作为加权因子 μ，若μ小于零，则停止算法.

3 OTACE 算法

由于信号的统计特性在迭代后会发生改变，使用同一个限幅阈值会降低抑制PAPR 的能力，为此本文提出一种在迭代时寻找最优阈值的OTACE方法，构建一个关于阈值A的函数，通过求解该函数得到每次迭代时所需的最优阈值.目标函数可表示成：

其中，Aopt表示A的最优解；E{·}表示取均值运算；z(i)(n)表示一个复数，且有：

求解Aopt的具体过程如算法1 所示.

对信号进行限幅的目的是消除信号的尖峰，所以阈值A可能取到的最大值是信号的峰值，若阈值小于信号的均值，则信号会因削波过多而导致严重失真，因此A可能取到的最小值是信号的均值.OTACE 算法在每次迭代时选择最小的A作为阈值，能够尽可能较少地提升传输信号的平均功率.

4 仿真结果与分析

4.1 评价指标

本文采用CCDF 曲线描述系统抑制PAPR 的能力.令N表示系统的子载波数，T表示某一确定的门限PAPR 值，rPAPR表示信号的PAPR，P[rPAPR(sk)＞T]表示第k个符号sk的PAPR 大于T的概率，则CCDF 可定义为[22]：

采用BER 曲线描述系统的误码率性能，BER可表示为：

其中，NE为错误比特数，NT为发送比特数.

4.2 CCDF 性能分析

图3 给出了在N=256时OTACE 算法在不同迭代次数下的CCDF 曲线，从图3 可知，迭代次数越多，抑制PAPR 的性能越好，但运算所需时间也会变长.通过MATLAB 拟合得到PAPR 增益gPAPR与迭代次数i之间的函数关系大致可表示为：

图3 不同迭代次数下的CCDF 曲线Fig.3 CCDF curves under different iteration times

由式(16)可知，gPAPR是关于i的单调递减函数，且当i＞7时，gPAPR＜0.2，PAPR 增益增长得尤为缓慢，权衡程序运行时间与PAPR 增益，本文选定迭代次数为7.

对使用OTACE、POCS 和SGP 抑制PAPR 的效果进行仿真实验，采用QPSK 调制方式，仿真的OFDM 符号数为5000，子载波数N=256、512、1024和2048 时的CCDF 曲线仿真结果分别如图4(a)～(d)所示.

当pCCDF=10-2时，对比POCS 和SGP 算法，在图4(a)中，OTACE 的PAPR 增益分别为5.41 dB 和3.1 dB，图4(b)中，OTACE 的PAPR 增益分别为5.54 dB和3.23 dB，图4(c)中，OTACE 分别获得5.66 dB 和3.29 dB 的PAPR 增益，图4(d)中，OTACE 分别获得5.74 dB 和3.4 dB 的PAPR 增益.

图4 不同子载波数下的CCDF 曲线.(a) N=256;(b) N=512;(c) N=1024;(d)N=2048Fig.4 CCDF curves under different subcarriers: (a) N=256;(b) N=512;(c) N=1024;(d)N=2048

4.3 BER 性能分析

将OTACE 算法用于OFDM 系统，测试它对BER性能的影响，并与POCS 和SGP 算法进行对比.为了进行客观、公正、全面的评价，以上三种算法中均采用LS 和LMMSE 算法进行信道估计.仿真实验的具体参数设置见表1，在广电1(China digital television test 1st,CDT 1)[25]、广电6(China digital television test 6th,CDT 6)[26]和巴西A(Brazil A)[27]三种信道下的BER 性能曲线分别如图5、图6 和图7所示，其中图5、图6 和图7 中的LS-ORI 和LMMSEORI 曲线分别代表在发送端不进行PAPR 抑制的曲线.

表1 系统仿真设置Table 1 System simulation setting

从图5、图6 和图7 可知，在信噪比(Signal-tonoise ratio,SNR)rSNR≤14 dB时，使用三种算法对BER 的影响不大，但当rSNR＞14 dB时，使用SGP 算法抑制PAPR 会降低系统的BER 性能，这是由于随着rSNR的增大，信号的功率占比变大，系统中因限幅而引入的误差增大，但SGP 算法不能改变限幅阈值，所以导致整个OFDM 系统的BER 性能下降.

图6 动态CDT 6 信道下BER 性能曲线.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.6 BER performance curves under the CDT 6 dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

采用LS 信道估计时，在图5(a)的rBER=2.5×10-3处，采用OTACE 算法降低信号的PAPR 与采用POCS 降低信号的PAPR 和原信号相比，SNR 增益分别为1.27 dB 和0.90 dB；在图5(b)的rBER=7×10-3处，采用OTACE 算法降低信号的PAPR 与采用POCS 降低信号的PAPR 和原信号相比，SNR 增益分别为1.23 dB 和0.92 dB.采用LMMSE 信道估计时，在图5(a)的rBER=1.5×10-3处，采用OTACE算法降低信号的PAPR 与采用POCS 降低信号的PAPR 和原信号相比，SNR 增益分别为1.68 dB 和1.02 dB；在图5(b)的rBER=5×10-3处，采用OTACE算法降低信号的PAPR 与采用POCS 降低信号的PAPR 和原信号相比，SNR 增益分别为1.32 dB 和0.90 dB.

图5 动态CDT 1 信道下BER 性能曲线.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.5 BER performance curves under the CDT 1 dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

由图6 和图7 可见，CDT 6 和Brazil A 信道的BER 性能与CDT 1 信道的结果类似，OTACE 算法比POCS 算法和不进行PAPR 抑制有微弱的SNR增益，这是因为OTACE 使用最优的阈值对信号限幅，与其他算法相比，因限幅而引入的噪声较少，且OTACE 在发送端增大了外部星座点与相邻星座点之间的距离，一定程度上增强了信号的抗干扰能力.

图7 动态Brazil A 信道下BER 性能曲线.(a) 20 Hz;(b) 60 HzFig.7 BER performance curves under the Brazil A dynamic channel: (a) 20 Hz;(b) 60 Hz

4.4 复杂度分析

分析一个N点OFDM 符号的计算复杂度，只考虑复数乘法和复数加法操作.OTACE 算法主要包括：限幅、求加权因子μ、寻找最优阈值、FFT 运算和IFFT 运算.限幅是比较信号星座点的幅值与阈值，复数加法复杂度为N；求μ，主要包括式(9)和式(10)，复数加法和复数乘法复杂度都为N；寻找最优阈值的复数乘法复杂度为N；FFT 运算和IFFT 运算的复数加法复杂度都为Nlog2N，复数乘法复杂度都为(N/2)log2N.综上，OTACE 的复数乘法复杂度为2N(1+log2N)，复数加法复杂度为N(2+log2N).为了进一步比较，表2 给出了OTACE 与文献[18-22]的计算复杂度对比.由表2 可知，OTACE的复数乘法复杂度与改进的动态星座图扩展(Modified active constellation extension,MACE)[19]和SGP[20]算法相等，略高于POCS[18]、动态星座扩展和联合空时选择性映射(Active constellation extension and joint space time-selective mapping,ASTSLM)[21]和凸集上的扩展投影(Extension projection onto the convex sets,EPOCS)[22]算法；OTACE 的复数加法复杂度高于POCS、MACE 和SGP 算法，低于AST-SLM 和EPOCS 算法.当子载波数N较大时，N相较于Nlog2N可忽略不计.因此整体而言，OTACE 的计算复杂度在可接受范围内，其主要优点是在合理的计算复杂度下大幅度提高抑制PAPR 的能力，且能够获得更高的BER 性能.

表2 计算复杂度对比Table 2 Computational complexity comparison

5 总结

针对现有ACE 算法设置固定阈值而限制抑制OFDM 系统PAPR 的能力，本文提出了一种动态寻找限幅阈值的OTACE 算法，结合仿真和数据拟合得到迭代次数.在此基础上将OTACE 与POCS和SGP 算法在CCDF 方面进行了对比，仿真结果表明，OTACE 抑制PAPR 的效果最好，其次是SGP，POCS 的性能最差.在三种动态衰落信道中比较了PAPR 抑制算法对信道估计精度的影响，结果显示，相较于POCS 和SGP 抑制PAPR 以及不抑制PAPR，采用OTACE 抑制PAPR 能够为OFDM系统的BER 性能带来1 dB 左右的SNR 增益.