改进的压缩感知限幅噪声消除方案

2021-07-27叶华双

系统工程与电子技术 2021年8期

庄陵, 叶华双

(1.重庆邮电大学通信与信息工程学院, 重庆 400065; 2.移动通信教育部工程研究中心,重庆 400065; 3.移动通信技术重庆市重点实验室, 重庆 400065)

0 引言

由于正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术共有高传输速率、对抗频率选择性衰落的鲁棒性、高频谱效率的特点，易于被广泛用于多种无线通信系统。但OFDM信号的较高峰均功率比(peak to average power ratio, PAPR)很大程度上限制了其使用[1-3]。

通常PAPR抑制技术被划分为3类:信号失真技术[4-5]、编码技术[6]及多信号概率类技术[7-8]。编码技术和多信号概率类技术易带来较高的系统复杂度及额外冗余。信号失真技术中的限幅技术根据信号幅值预设限幅门限,对信号直接剪切,由于其复杂度低、易操作,被广泛用于PAPR抑制。限幅虽可有效抑制OFDM信号的PAPR值,但会引入带外泄露与带内失真即限幅噪声[9]。带外泄露可在发射端通过频域滤波消除[10],但限幅噪声无法通过滤波消除,导致系统误码率(bit error rate, BER)性能显著下降。

为消除限幅噪声,文献[11-12]利用决策辅助重建方案在接收端迭代消除限幅噪声,补偿了限幅过程系统性能的下降,但迭代过程以及额外引入的快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)和逆FFT(inverse FFT, IFFT),带来较高计算复杂度。

另外,由于OFDM符号的包络在时域上服从瑞利分布,较大峰值只出现在少数的采样点,对少数的采样点限幅处理,产生噪声在时域上具有稀疏特性,这种稀疏特性使压缩感知(compressed sensing, CS)算法在消除限幅噪声中得到广泛研究[13-17]。

文献[13-14]中提出预留空子载波的CS算法,该算法预留空子载波作为CS观测向量,但会降低数据传输速率。文献[15]提出改进的CS算法,利用导频信号作为CS的观测值,但导频子载波对载波间干扰敏感,且易受信道噪声干扰,会影响CS算法的重构性能。文献[16]整体量化限幅和功率放大器产生的非线性失真,利用CS算法恢复总的非线性失真,但是从提高CS算法重构精度的角度来说,引入功率放大器产生的失真会破坏限幅噪声固有的稀疏特性。文献[17]选取受信道噪声影响小的子载波作为可靠观测值,在接收端利用CS算法对限幅噪声重构,该算法不需要预留空子载波，所以不会降低数据传输速率,但该方法无法避免信道以及多径效应对限幅噪声的干扰,仍会破坏限幅噪声在发射端固有的位置分布特点及幅度特性,影响CS观测向量选取,使CS算法重构精度降低。

通常研究者都与以上文献相同,在接收端对限幅噪声进行重构,但噪声折叠现象[18]严重影响限幅噪声的重构性能。且传统利用CS算法重构噪声,选取压缩观测值精度低,需要较多的观测值才能达到预期的BER性能,这会增加计算复杂度。基于以上考量,本文将在发送端而非接收端对限幅噪声重构。首先,对限幅噪声的统计特性进行理论推导;其次,根据推导出的统计特性,在预设的限幅比下估计出限幅噪声采样点分布位置,选取被限幅的采样点作为CS观测值的储备池,从而给出改进的CS模型;然后,结合预估计稀疏自适应匹配追踪(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法消除限幅噪声,并给出所提改进方案的复杂度分析;最后仿真验证所提方案的有效性。

1 改进的发送端系统模型

1.1 发送端限幅噪声的统计特性

N维向量表示一个OFDM符号序列,序列中每一个元素首先通过M进制的星座映射,X(k)(0≤k≤N-1)表示第k个子载波携带的频域信息,在过采样因子为L的情况下得到时间离散OFDM复信号表示为

(1)

X(k)统计独立且同分布,均值为0,方差可表示为E[|X(k)|2]=E[|x(n)|2]=2σ2,由中心极限定理可得当OFDM系统有较大子载波数目N,则x(n)包络服从瑞利分布,过采样下OFDM信号序列的PAPR表示为

(2)

在OFDM系统中常用互补累积函数(complementary cumulative distribution function, CCDF)描述信号的PAPR。因此过采样下OFDM时域信号幅度大于预设门限值z的概率定义为

CCDF(z)=1-(1-e-z2)LN

(3)

发送端对时域OFDM符号进行过采样处理,很好地避免了限幅信号经过D/A转换器峰值再生,限幅信号表示为

(4)

式中:A是限幅阈值;θ是xL(n)的限幅角度限幅比,定义为

(5)

根据限幅信号时域特性,限幅信号可以描述为原始信号与限幅噪声之和：

(6)

当OFDM系统子载波数目足够大时,xL(n)的包络服从瑞利分布,则限幅后信号平均功率可表示为

(7)

限幅信号经由时域进行LN点的傅里叶变换至频域信号,当过采样因子大于1,为消除限幅引入的带外泄露,需要对限幅后的OFDM频域序列进行滤波处理,滤波后的限幅信号表示为

(8)

式中:C(k)是限幅噪声的频域表示。为描述C(k)的统计特性,根据Bussgangs理论,限幅信号可描述为

(9)

式中:dL(n)为过采样下的限幅噪声；f为衰减因子,可表示为

(10)

结合式(8)和式(9)推导出滤波后限幅信号为

D(k)=C(k)-(f-1)X(k),0≤k

(11)

(1-e-γ2-f2)E{|X(k)2|}

(12)

(2-2f-e-λ2)E{|X(k)2|}

(13)

当L>1时,上述限幅噪声第k个子载波对应方差可以表示为

(14)

式中:SD(k)是限幅噪声每个子载波对应的功率谱,与限幅噪声的互相关函数互为傅里叶变换。限幅噪声的互相关函数及自相关函数分别表示为

(15)

(16)

1.2 改进的发送端CS模型

由限幅噪声的统计特性推导可知,无论在奈奎斯特采样还是过采样下,限幅噪声的方差、平均功率及信号衰减因子均和限幅比有关。因此,当采样点的包络超过预设阈值,对该点的幅值限幅处理,可预估计出噪声的位置,即分布于原始信号出现极大峰值的采样点附近,将这些限幅后的采样点作为压缩感知的输入,在发送端重构限幅噪声,改进CS模型如图1所示。

图1 改进CS模型

在不考虑滤波对限幅噪声分布影响的前提下,限幅噪声可描述为

(17)

由于对OFDM时域序列过采样处理,使离散信号类似于连续时间信号,故用一系列抛物脉冲描述限幅噪声,因此式(17)可以改写为

(18)

式中:fi(·)为第n个子载波处产生的第i个限幅噪声脉冲;Np为产生脉冲总数,即限幅噪声的稀疏度,其平均值描述为

(19)

2 CS重构算法

2.1 SAMP算法

发射端确定了限幅噪声的位置及限幅采样点数目,可通过选择矩阵T从限幅噪声选取部分观测向量作为CS的待估计信号为

(20)

式中:T的维度为R×LN,由LN×LN单位阵I的R行组成;Φ=TF是M×LN的传感矩阵,拥有良好的严格等距特性;A为传感矩阵;F是LN×LN傅里叶变换矩阵,记

(21)

算法1 SAMP算法输入:(1)Mmin×LN的传感矩阵A=Φ(2)Mmin×1的观测向量C^(n)=θA,该观测值选取与预估计的限幅噪声位置有关,选取范围为R={n|‖x(n)‖2>λE{x(n)}}(3)步长S输出:(1)信号稀疏表示系数(2)Mmin×1维残差rM=^c(n)-θ^MA处理过程:步骤1 初始化r0=c^,Λ0=ϕ,L=S,t=1;步骤2 计算u=abs[ATrt-1],选取u中L个最大值,将这些对应A的列序号j构成列序号集合Sk;步骤3 Zk为Λk∪Sk,At={aj},其中j∈Sk;步骤4 求解c^=θtAt的最小二乘解 θt=argminθt‖c^-θtAt‖=(ATtAt)-1ATtc^;步骤5 从θ^t中选出绝对值最大的L项记为θ^tL,对应的At中L列记为AtL,对应的A列序号记为ΛtL,令F=ΛtL;步骤6 更新残差rnew=^c-AtL(ATtLAtL)-1ATtL^c;步骤7 当残差的值为0则停止迭代进入步骤8;如果‖rnew‖2≥‖rt-1‖2,更行步长L=L+S返回至步骤2继续迭代;若前面两个条件均不满足,则令Λt=F,rt=rnew,t=t+1,如果t≤Mmin则停止迭代直接进入步骤8,反之返回至步骤2继续迭代;步骤8 重构所得θ^在ΛtMmin有非0值,其值即为最后一次迭代的θ^tMmin;步骤9 重构信号为c=θ^tMmin。

发射端恢复出限幅噪声,去噪OFDM时域限幅序列表示为

(22)

去噪OFDM时域限幅序列通过高斯信道,接收信号y(n)首先通过模数转换器(D/A),移除循环前缀,经由FFT后得到频域表达式为

Y(k)=H(k)Xnew(k)+W(k),0≤k≤N-1

(23)

式中:H(k)表示信道频域响应;W(k)为加性高斯白噪声;Xnew(k)为去噪OFDM频域限幅序列。假设信道频域响已知且精准同步,迫零均衡信道量化可得

H-1(k)Y(k)=Xnew(k)+H-1(k)W(k)

(24)

将式(23)代入式(9)和式(11)推导出X(k)最大似然估计值(maximum likelihood, ML)为

(25)

Mmin=min(Ne-γ2lnN,0.8N)

(26)

2.2 改进方案的复杂度分析

(1)基于CS限幅噪声观测值向量的选取。本文对限幅噪声的位置进行了预先估计,在选取的观测值向量包含了确定位置的噪声,其大小记为Mq,Np

(2)执行IFFT/FFT相应的计算复杂度为O(LNlog2LN);

综上可得基于改进方案的SAMP算法复杂度可表示为O(LNlog2LN+KMqLN)。与传统的CS算法相比,所提方案选取CS观测值是来自预估计出位置的限幅采样点,缩小了可靠观测值的选取范围,在较小的Mq下,该方案拥有较低计算复杂度。

3 仿真结果与分析

为验证改进CS算法对系统性能的提升,本文采用Matlab软件分别在高斯信道下做3个方面的仿真及分析:① 不同限幅比下,信号PAPR抑制程度及限幅噪声稀疏特性;② 比较所提改进方案、传统SAMP算法以及文献[17]中OMP算法在压缩观测值数目不同时对限幅噪声的重构概率影响;③ 对比3种算法在不同限幅比下的系统BER性能。具体参数如表1所示。

表1 仿真参数

3.1 限幅比与PAPR分析

如图2所示,分析不同的限幅比对信号PAPR影响,当CCDF(PAPR>PAPR0)=0.1时,r=0.8对应的PAPR值约为4.5 dB,r=1.6对应的PAPR值约为7.5 dB,而原始信号对应PAPR值约为14.3 dB。

图2 不同限幅比下OFDM信号的PAPR性能分析

由此可见,无论是低限幅比还是高限幅比,限幅操作对信号的PAPR值都有良好抑制效果。由式(19)可知,限幅比越小则引入的非0元素越多,为保证限幅噪声在时域中具有稀疏性,满足改进CS算法对限幅噪声重构条件,也要同时满足对信号的PAPR充分抑制,因此第3.2节和第3.3节选取限幅比取值范围为 1.3≤r≤1.6进行仿真。

3.2 3种算法的限幅噪声重构概率对比

本节选取r=1.4,对比3种算法的限幅噪声重构概率。如图3所示,当压缩观测值数目为70时,所提改进方案(s=1,5,10)的重构概率分别为0.967、0.959、0.947，SAMP算法(s=1,5,10)的重构概率分别为0.873、0.864、0.795,而文献[17]所提方案的重构概率仅为0.688。由此可见,所提改进方案在步长s分别为1,5,10时,对应的限幅噪声重构概率总是好于SAMP(s=1,5,10)算法以及文献[17]所提算法。文献[17]中所提算法及SAMP算法为获得更高的重构概率,需增加CS观测值,由复杂度分析可知,该方法虽获得重构概率上的增益,但付出高计算复杂度的代价,而本文在较少的压缩观测值下,便可拥有较高的的重构概率,原因有以下两方面:① 式(20)中用于重构限幅噪声的观测值来自于被限幅的采样点,使落在该采样点下的限幅噪声作为CS的的储备池,缩小了CS观测值的选取范围;② 发送端对限幅噪声重构,避免了信道及多径效应对限幅噪声幅值和位置产生干扰。

图3 不同压缩观测值的重构概率

另外,由图3可知,当s=1时,在相同的观测值数目下,所提改进方案拥有更高的重构概率,但算法收敛速度慢;当s=10时,所提改进方案提升了算法收敛速度,却降低重构概率。为兼顾该算法的收敛速度及重构概率,后文选取参数s=5,M=80,用所提改进方案对限幅噪声重构。

3.3 不同限幅比下3种算法的系统BER对比

由第3.2节可知,在同一限幅比下,相同数目的CS观测值对限幅噪声重构,所提改进算法的重构概率最高。为进一步说明所提方案的有效性,本节对比不同限幅比下,SAMP算法、文献[17]的OMP算法以及本文所提改进方案的BER性能。如图4所示,在相同限幅比下,所提改进方案的BER性能总是优于SAMP算法及文献[17]的BER性能。信噪比为14 dB,且发送端限幅比分别为1.4、1.6时,文献[17]的BER分别为1.8×10-3、5×10-4;SAMP的BER分别为7×10-4、5.1×10-4;本文所提改进方案的BER分别为4×10-4、2×10-4。