束腰半径对高能电子与激光脉冲对撞辐射峰值的影响

孔春明，靳亚盛，黄茗涵，田友伟

(1.南京邮电大学贝尔英才学院，南京 210023；2.南京邮电大学理学院，南京 210023)

1 引言

自1960年第一台激光器问世以来，学者们一直致力于提高激光的强度和性能。20世纪60年代中期，调Q技术[1,2]和锁模技术[3,4]的出现在一定程度上满足了人们对于高峰值功率、窄脉宽激光脉冲的需求。20世纪80年代末期，G.Mourou等人提出啁啾脉冲放大(Chirped pluse amplification，缩写：CPA)技术[5]，啁啾技术的出现使得激光脉冲的品质得到了快速的提升，激光脉冲的宽度现已可以被压缩至飞秒(fs)量级，峰值功率也可达到TW-PW量级[6-7]。

近年来随着超短超强啁啾激光脉冲的不断发展，电子在相对论光强的激光作用下产生的非线性汤姆逊散射引起了人们极大的关注。现今已有不少理论和实验的研究，讨论了激光脉冲与电子相互作用的空间辐射特性[8-14]。Salamin和Faisal[15]在研究非线性汤姆逊后向散射产生的阿秒和则秒X射线脉冲时发现激光束束腰的变化会影响该过程的脉冲形状和单色性。近年来Yu[16]和Wu[17]等人也对激光束腰半径的变化对汤姆逊散射特性的影响进行了一些探究。

但值得注意的是，Yu等人研究的是线偏振激光，吴悦等人虽然研究的是圆偏振激光，但是对空间辐射特性的研究局限于某一个特定的θ角(90°)。本文在二人研究的基础上，根据洛伦兹方程、电子能量方程、电子辐射基本方程和圆偏振电子场中高能电子对撞过程中的全时间运动方程探究了高能电子的全空间运动，并在此基础上用MATLAB模拟了不同束腰半径下高能电子与激光脉冲对撞的辐射，分析了束腰半径对电子辐射峰值功率的影响。深入探究了圆偏振激光束腰半径的改变对高能电子与激光脉冲在全空间对撞产生的辐射峰值功率的影响。旨在寻找不同的束腰半径值对电子辐射峰值功率所产生影响的规律，以及观测的最佳角度。

2 电子与激光作用模型

2.1 圆偏振聚焦高斯脉冲的矢量势

在三维坐标系中[18]，圆偏振聚焦激光脉冲的相位φ可以表示为

φ=η+c0η2+φR-φG+φ0

(1)

聚焦高斯脉冲激光电场的归一化矢势a通常可以用下面的式子表示[19]：

(2)

2.2 电子运动的基本方程

(3)

其中θ=π-tan-1(z/zf)，假设激光的传播方向与z轴正方向一致，电子的运动方向与z轴的负方向一致，两者的对撞图如图1所示。

图1 单电子与圆偏振激光对撞示意图

电子在电磁场中的运动可以用拉格朗日方程和电子的能量方程描述：

dt(p-a)=-∇a(u·a)

(4)

dtγ=u·∂ta

(5)

其中u是用光速c归一化的电子速度，a是用mc2/e归一化的矢势，p=γu是用mc归一化的电子动量，γ=(1-u2)-1/2是相对论因子，也是用mc2归一化的电子能量，方程(4)中的∇a只作用于a上。

结合式子(4)和(5)及进行相关代数运算，可以得到电子运动的微分方程：

(6)

其中ux，uy，uz是电子在x，y，z方向上的速度分量，通过MATLAB不断迭代计算，求解出上面的四个偏微分方程的解，就可以得到电子在激光场中的坐标、速度、加速度以及能量随时间的变化过程。

2.3 电子辐射的基本方程

由动力学知识可知，做相对论加速运动的电子会放出电磁辐射，单位立体角内的辐射功率为

(7)

t=t′+R0-n·r

(8)

其中R0是观察点和电子与激光脉冲作用点之间的距离，我们认为观测点离作用区域足够远。

电子与激光脉冲相互作用的过程中，其单位立体角单位频率间隔的辐射能公式可以用下列公式表示：

(9)

3 数值模拟结果及讨论

前面已经提到，做相对论加速运动的电子会放出电磁辐射，通过MATLAB绘制了束腰半径b0=λ0的情况下全空间电子辐射功率的分布，如图2所示。可以看出，辐射功率在空间中的分布是不均匀的，尤其是在θ方向上，辐射功率主要集中在120°～180°之间，且不同θ角之间的功率差异也较大。本文主要针对最大峰值辐射功率进行研究，将激光束腰半径在λ0到10λ0的范围内每次变化1λ0，然后分别用MATLAB进行数值计算，记录各自的最大峰值功率。数据显示，当激光束腰半径从λ0变化到3λ0时，辐射功率值由3.1511×109先增加至3.2163×109然后又回落到3.2136×109，而在束腰半径从3λ0增加至10λ0的过程中，电子辐射峰值功率值呈现缓慢下降的趋势。

图2 b0=λ0时全空间电子辐射功率的分布

我们对最大辐射功率所对应的束腰半径很感兴趣，将其记为b0m。由现有数据推断出，当束腰半径从λ0增加到10λ0时，该范围内的最大辐射峰值功率所对应的束腰半径bm必定处于λ0～3λ0的范围中。于是，进一步将束腰半径的变化步长精细化，在λ0～3λ0的范围内每次变化 0.1λ0，然后用MATLAB计算峰值功率值，结果如图3所示。

根据图3和MATLAB模拟得到的数据可以得到b0m=1.7λ0，同时可以得出这样的结论：考虑激光脉冲的束腰半径在1λ0～10λ0的范围内的情况，当激光脉冲的束腰半径小于最大辐射功率所对应的束腰半径b0m时，电子的辐射峰值功率随着入射激光束腰半径的增大而增大，且增长的幅度在不断减小。当束腰半径取b0m=1.7λ0时可以获得最大电子辐射峰值功率。而在激光脉冲的束腰半径较大时，束腰半径的变化对电子辐射峰值功率的影响相对较小，电子辐射峰值功率会随着束腰半径的增大而缓慢减小。理论上而言，这意味着较小的束腰半径就可以获得最高的辐射峰值功率。该结论对于实际的激光实验具有一定的借鉴意义。

图3 不同束腰半径下最大辐射功率的详细分布

为了进一步探究，将峰值辐射功率所对应的观测方向(θ,φ)定义为最大能量辐射方向，记为(θmax,φmax)。数据显示b0=1.7λ0所对应的最大能量辐射方向为(146.25°,358.5°)。我们绘制了b0=1.7λ0情况下最大辐射方向上电子辐射时间谱和频谱图如图4所示。

图4 a.(146.25°,358.5°)方向上单位立体角电子辐射功率的时间谱;b.图4(a)中最高峰的放大;c.(146.25°,358.5°)方向上单位立体角电子辐射功率的频谱。其他参数:b0= 1.7λ0

由于我们的数值模拟都是为了实验探究提供全时间、全空间的数值模拟依据，考虑到实验器械角度的偏差和操作的便利性，结合全空间电子辐射功率的分布特点，我们决定寻找一个最佳的观测角度区间以方便观测。我们发现φ的微小变化对辐射功率并不会产生较大的影响，故最佳观测角度区间主要针对θ角来进行研究。对最佳观测θ角区间定义如下：使得观测者在该观测角度区间内均能观测到单个电子与圆偏振激光脉冲的正面碰撞所产生的超短阿秒脉冲，并且电子辐射功率能够大于(或接近)在最大能量辐射方向上电子辐射功率的一半。

图5 不同θ角对应的峰值辐射功率的时间谱。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他参数:b0=1.7λ0,φ=358.5°

分析时间谱可以发现θ=144°时，时间谱基本和146.25°时类似，只是最高峰的数值只有146.25°时的一半左右。θ=151.5°时时间谱的三峰结构仍然存在，但是主峰高度反而远低于左右两次峰，辐射能量有所分散，不过通过数值模拟我们可以发现在该角度观测到的辐射功率为1.5924×109，接近在146.25°观测到的最大功率的一半。

图6 图5中最高峰的放大图。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他参数与图5一致

图7 不同θ角对应的峰值辐射功率的频谱。a.θ=144°;b.θ=146.25°; c.θ=151.5°.其他参数与图5一致

通过以上分析，我们可以得出这样的结论：束腰半径为1.7λ0时，在φ为358.5°的情况下，以俯仰角146.25°去观测得到的电子辐射功率是最大的。同时我们发现在φ为358.5°，θ∈[144°,151.5°]这一观测范围内，电子与圆偏振激光脉冲的对撞同样也能产生超短阿秒脉冲，且观测到的最大电子辐射功率均很可观。所以我们认为实际实验时在极角φ为358.5°，俯仰角θ∈[144°,151.5°]这一观测范围内去进行观测电子与圆偏振激光脉冲的对撞的效果是比较好的。

4 结论

本文建立了单个逆流电子与圆偏振激光脉冲的对撞模型，并基于理论和数值模拟研究了特定初始条件下不同束腰半径下的电子辐射峰值功率(采用的激光的归一化振幅a0=6，电子的归一化初始能量γ0=10)。研究结果显示，当激光脉冲的束腰半径在1λ0～10λ0的范围内变化时，存在着一个b0m使得电子辐射峰值功率达到最大。在本文的条件下，激光脉冲的束腰半径小于1.7λ0时，电子的辐射峰值功率随着入射激光束腰半径的增大而减速增大。当束腰半径取1.7λ0时可以获得最大电子辐射峰值功率。而当激光脉冲的束腰半径大于1.7λ0时，束腰半径再增大时对电子辐射峰值功率的影响较小，电子辐射峰值功率会随着束腰半径的增大而缓慢减小。进一步研究发现，在束腰半径等于1.7λ0时，(146.25°,358.5°)为最大能量辐射方向，而φ为358.5°左右，θ∈[144°，151.5°]为最佳观测角度区间，可以观测到一个持续时间为阿秒级别的超强脉冲。通过本文的研究，研究人员能够在实验中通过使用合适束腰半径的激光脉冲来产生较好的阿秒脉冲，为进一步的汤姆孙散射研究和需要超短X射线的行业带来一些帮助。未来，我们将进一步研究不同初始条件对最大电子辐射峰值功率所对应的束腰半径的影响规律。