复合压电水平悬臂梁振动俘能特性试验及机电耦合模型研究

薛晓敏， 马强力， 王佳佳

(西安交通大学 人居环境与建筑工程学院，西安 710049)

近年来，由于压电材料优良的机电转换性能，其振动能量回收能力受到了极大的关注[1]。为了尽可能提高压电振动能量回收的能力，众多学者提出了各种提高压电俘能效率的方案，包括研发新型压电材料与结构、能量收集接口电路和存储电路优化设计等[2-4]。针对压电材料俘能结构而言，最为常见的即为单、双晶压电陶瓷悬臂梁形式[5]。例如，Fang等[6]设计了一种自由端部设置镍质量块的压电陶瓷悬臂梁俘能器，可以从1g振动环境下俘获2.16 μW的电能，且显示振动共振频率为609 Hz。Shen等[7]设计了类似的压电陶瓷悬臂梁俘能器，为了降低共振频率，在自由端部设置了硅质量块，平均收集功率和功率密度分别为0.32 μW和416 μW/cm3，共振频率降低到183.8 Hz。总体而言，压电悬臂梁俘能结构振动能量回收能力还非常微弱，仅为若干毫瓦；且结构振动主频过高，这与环境振动频率的低频现象相互矛盾(振动环境一般一百赫兹以内甚至更低)[8]。此外，现有试验研究主要着眼于压电陶瓷俘能器的能量回收能力，主要关注采用何种方法或技术使得俘能器俘获最大电能，然而，有关于力-电物理特性研究甚少涉及，实际上，机电耦合特性是振动能转换电能的本质内在属性，其深入研究对了解压电俘能结构的内在特性并进一步提高能量转换效率至关重要。

另外，值得注意的是，俘能器的电学能量输出与振动能量输入的关系复杂，且随环境振动频率、电路阻抗、阻尼比等因素均有密切关系[9]。为清楚描述压电悬臂梁俘能结构机电关系，很多学者开展了相关模型研究。早期模型研究采用了集中参数下单自由度解法[10]预测压电能量收集器耦合系统的动力学特性，该方法仅局限单个振动模态，无法精确描述多物理场耦合问题。作为一种改进的方法，Sodano等[11-12]基于Euler-Bernoulli理论提出Rayleigh-Ritz离散形式可以对无限自由度分布系统描述为有限自由度离散系统。最近，Erturk等[13]改进了双压电晶片悬臂模型，并找出了双压电晶片配置的串联和并联连接的闭合形式解析解，并通过与有限元仿真对比，结果显示与解析解吻合。经试验数据对比显示，以上模型验证可较好预测能量回收能力，即，电功率的峰值或总体均值。实际上，模型验证还应该对压电俘能器的本质特性——机电耦合特性进行对比验证，应当反映实际系统机电耦合特性的重要现象。唯有此，才能充分说明模型的正确性和精确性。然而现有模型还甚少进行机电耦合特性试验验证，其精确性和有效性还有待于在试验或实际工程中获得进一步验证。

鉴于以上背景，本文将对压电单晶悬臂梁俘能片的能量转换特性进行相关试验和理论研究。设计并搭建复合压电悬臂水平梁振动电能回收电路系统，并在悬臂梁自由端配重质量块，以此改变俘能结构振动特性。通过试验观测，探讨外接电路负载、激励频率和质量块质量对俘能效率的影响规律，为压电俘能器优化设计提供基础依据；通过试验观测，探究不同加载条件下的压电俘能系统的机电耦合特性及其变化，为后续模型验证提供重要基础；以试验研究结果为基础，提出有限元模型和机电耦合数学模型用以模拟压电悬臂梁的能量收集重要耦合特性；最后，将仿真结果与试验结果进行对比，验证了所提机电耦合数学模型的有效性。

本文的试验和理论研究对进一步挖掘压电材料振动-电能收集能力具有重要意义，为压电俘能结构及优化电路设计提供重要参考。

1 压电单晶悬臂薄梁俘能性能试验

PPA(piezo protection advantage)是美国美德公司以压电陶瓷为原材料制成的商业化系列产品，包括作动器、传感器、俘能器等。其中1001型号是最为典型的压电单晶薄片的振动俘能器产品之一，如图1所示。该压电片为多种材料复合黏结而成，除压电陶瓷外还包括聚酯、金属铜、不锈钢和聚酰亚胺，如表1所示。以上多种材料的复合有效改善了压电陶瓷脆性特性并适当提高结构刚度。

图1 PPA压电俘能片实物Fig.1 PPA piezoelectric harvester patch

表1 PPA压电俘能片结构及参数

1.1 试验方法

为探究压电俘能片的俘能特性，本文开展其悬臂梁结构的振动能量回收电能的特性试验研究。试验装置实物如图2(a)所示。激振路径为：通过信号发生器输送激励信号，经功率放大器对信号放大，继而输入到激振器用以激振俘能片进行电能俘能。试验数据测试对象包括振动应变(悬臂梁固定端中心处)、俘获电压和电流，均由数据采集器进行采集。本试验中采用的仪器如表2所示。

表2 压电悬臂梁俘能试验仪器

1.1.1 电路设计及测试

根据电功率公式(即P=i·v，其中：v和i分别为电压和电流；P为功率)设计振动能量俘获电路：PPA与电阻箱串联形成回路，数据采集器电压通道与电阻箱并联用以测量回路电压，数据采集器电流通道与电阻箱串联用以测量回路电流。根据数据采集器采集的电流和电压即可换算得出PPA俘获的电能功率。

1.1.2 结构设计及测试

在激振器顶杆通过夹具将PPA俘能片夹持，形成悬臂梁俘能器结构，如图2(b)所示。此外，为了探究结构振动特性(自振频率)的变化与电能回收能力的关系，还在悬臂梁自由端配重不同质量的质量块(0，12.5 g，18.5 g和25 g)。

图2 PPA悬臂梁振动俘能试验系统Fig.2 Test system for energy harvest from PPA cantilever

1.2 试验测试结果

基于1.1节试验系统，本文考虑不同的加载工况：电路负载为0～90 kΩ(间隔为5 kΩ)，简谐激励频率为0～150 Hz(间隔5 Hz)，自由端配重0，12.5 g，18.75 g，25 g。典型工况(电路负载30 kΩ，激励频率30 Hz和配重12.5g)试验测试结果，如图3所示。图3(a)～图3(c)为应变、电压和电流时程响应，其响应频率均与激励频率一致。其中，应变峰值1.905×10-9、电压峰值17.99 V和电流峰值0.619 4 mA。图3(d)～图3(f))为特性关系曲线，其中，图3(d)和图3(e)显示电压-应变和电流-应变关系曲线呈现近似椭圆形回线，这是因为能量转换存在时滞现象致使应变与电压(电流)同频异相导致的。图3(f)显示功率-应变关系曲线呈现近似“蝴蝶形”回线，这是因为欧姆定律导致应变与功率存在倍频关系。

需要指出的是，图3(a)应变幅值向上明显偏置了0.362×10-9，为其半幅的23%。应变的偏移导致电压和电流也发生偏置，其中电压偏置7.4%，电流偏置6.4%；以上应变、电学响应的偏置现象普遍存在于所有试验结果中，仅表现为不同工况的偏置程度有差别而已。比如，配重为0的工况(激励频率120 Hz和负载10 kΩ)，其应变偏置11%，电压偏置2.5%和电流偏置2.2%。总体而言，当悬臂梁自由端配重加大时偏置现象更显著。由此判断，悬臂梁自身和配重的重力效应是导致俘能器在简谐振动环境下，应变响应、电学响应仍存在一定程度偏置的主要原因。

图3 典型工况的试验结果Fig.3 Typical test results

为进一步探究不同加载工况(电路负载、激励频率和配重)对压电俘能器机电转换关系的影响规律，本文对各种加载条件下电能回收能力进行了观测分析。

1.2.1 变激励频率分析

预设激振器一定加速度幅值(增益)，由0均匀增大激振频率至150 Hz，观察俘能器应变响应的变化规律，即扫频试验。一般而言，当频率接近自振频率时将产生谐频共振现象，此时的应变、电学响应幅值将达到峰值，其对应的频率即为结构主频。当悬臂梁无配重时，扫频至123.3 Hz，单变应变振幅谱峰值为2.696 2 Hz-1，说明结构配重为零时俘能片谐振频率为123.3 Hz。

汇总试验结果，结构配重为0，12.5 g，18.75 g和25 g时，其谐振频率分别为123.2 Hz，31.2 Hz，25.75 Hz和21.94 Hz，显然较大的配重可显著降低结构主频，如图4所示。图4的纵坐标功率谱幅值进行归一化处理在0～100%内，便于各工况的对比分析。

图4 激励频率对俘能性能影响Fig.4 Influence of excitation frequency on harvesting capacity

1.2.2 变电路负载分析

除了振动环境的影响，俘能器内部电路负载的大小也会对能量采集效率产生影响。于是此次设定特定激励频率和末端配重，仅通过调整负载电阻值观察其对压电系统能量俘获能力的影响规律。

试验结果显示电阻负载对应变、电学响应幅值具有明显影响，与激振频率类似，俘能器俘能效率与内在电阻数值显著相关，只有将电路负载调整到最佳数值附近，才能为俘能器挖掘潜在最大电能提供重要保证。比如，当激振频率20 Hz、配重25 g条件下，电阻调整到50 kΩ时获得功率峰值为2.249 mW。

汇总试验结果，当配质量为0，12.5 g，18.5 g和25 g，电阻负载分别在10 kΩ，30 kΩ， 35 kΩ和50 kΩ时，俘能器达到功率峰值，如图5所示。图5的纵坐标功率进行归一化处理在0～100%内，便于各工况的对比分析。

图5 电阻负载对俘能性能影响Fig.5 Influence of excitation frequency on harvesting capacity

1.2.3 最佳配置分析

通过研究，发现压电单晶悬臂梁俘能器的激励频率、电路负载对悬臂梁俘能结构的能量俘获能量有重要影响。基于以上结果，接下来将探讨俘能结构优化(配重)问题。值得一提的是，为了保证试验条件的统一性，激振器增益设定了相同数值，但由于开环电路特性使得各个工况加速度激励幅值并非保持同一水平。鉴于此，本文将各工况下的电功率换算为单位加速度幅值(1 m/s2)下的数值，便于比较分析。

单位加速度幅值加载条件下，不同配重俘能结构在各自最佳电阻负载设置下，获得的电功率随激励频率的变化，如图6所示。图6中不同配重俘能结构在各工况下的转换功率峰值和功率均值，如表3所示。通过对比分析，发现配重为18.75 g的俘能结构，其在近似谐频25 Hz和最佳电阻负载35 kΩ下，获得了最大的功率峰值35.42 mW和最大的功率均值5.589 8 mW。说明了压电悬臂梁结构俘能系统的最佳配重应为18.75 g，而并非是越大的配重应获得更大的电能。

图6 俘能性能综合对比Fig.6 Comprehensive comparison of harvesting capacity

表3 俘能性能综合对比

总而言之，电路负载、激励频率和结构配重需要综合考虑，寻求系统的最佳匹配是激发其潜在电能俘获能力的重要途径。

2 压电悬臂梁俘能有限元建模

有限元分析软件ABAQUS具有强大的多物理场分析能力，同时还可做系统的分析和研究，本文采用该软件对压电单晶复合悬臂梁进行实体建模。通过仿真分析探讨压电悬臂梁的机电转换关系和特性。

依据实际情况设定分层材料特性参数、几何尺寸，设定一端固定一端自由边界条件，并于固定端施加加速度简谐激励。在模型中，采用六面体八节点压电单元(C3D8E)模拟压电陶瓷层(PZT-5H)；采用六面体八节点实体单元模拟非压电材料(聚酯、金属铜、不锈钢和聚酰亚胺)。层间连接采用“TIE”约束命令以此模拟封装的PPA制品。本次仿真可实现无质量块压电悬臂梁俘能特性计算。ABAQUS的PPA悬臂梁模型，如图7所示。

图7 PPA压电悬臂梁ABAQUS模型Fig.7 ABAQUS model of PPA piezoelectric cantilever

为了验证仿真方法的正确性，本文对工况一致的仿真与试验结果进行对比。频率50 Hz简谐激励下的俘能压电片的电压时程响应，其中试验电路负载为10 kΩ，如图8所示。该工况下的仿真电压时程响应与试验测试结果幅值和频率均吻合较好，幅值误差为8%(见图8(a))。该工况下的电压-应变曲线关系，试验曲线呈现椭圆形，而仿真结果为线性关系(见图8(b))。对比所有工况，仿真电压幅值预测与试验结果吻合良好，误差保证在15%以内；仿真电压与应变关系均为线性，与试验回线不同，但其斜率与试验回线的平均斜率基本保持一致。

出现以上结果的原因解释如下：①仿真计算获得的电压为俘能片内部电压vp，而试验中很难直接测得内部电学响应，通常需通过连接外部电路测得，因此，试验结果实际上为外部(电路)电压v。根据本文试验电路情况，vp与数据采集获得v为并联关系，即v=vp，因此内、外电压的幅值和频率应一致。仿真和试验的电压响应幅值和频率一致性吻合良好，验证了有限元仿真计算的正确性，见图8(a)；②有限元仿真对象是俘能片在振动环境下由于电荷发生偏移集中继而产生电位差的过程，该vp与结构应变同频同相，而试验中由于外接了电路，使得v与结构应变存在同频异相的现象；内外部电压相位差为0.005 s(=0.087～0.074)，见图8(a)；仿真(内部)电压-应变的同频同相，使得特性曲线为线形关系，而试验的(外部)电压-应变的同频异相，使得特性曲线呈现椭圆形，见图8(b)。

总之，有限元模型法可较好的预测俘能器的内部电压，但要获得俘能器外接电路的电学响应和俘能效果，还需借助压电悬臂梁俘能数学模型进行预测。

图8 典型工况的ABAQUS模型与试验结果对比Fig.8 Typical response comparison of ABAQUS model with test data

3 压电悬臂梁俘能数学建模

鉴于有限元模型模拟压电单晶悬臂梁俘能特性的缺陷，提出一种机电耦合数学模型。

3.1 不考虑重力效应的机电模型(原模型)

3.1.1 耦合振动方程

基于Euler-Bernoulli假设，在基础激励下，有末端配重的均质单晶悬臂梁受迫振动方程如下

(1)

图9 PPA压电悬臂梁俘能机电模型示意Fig.9 Schematic diagram of energy harvest system for PPA cantilever

(2)

式中：qk(t)为模态坐标；φk(x)为模态函数；vp为压电材料产生的内部电压；ωk为第k阶模态无阻尼固有频率；ξk为模态机械阻尼比；fk为激励模态力函数和λk为耦合项[14]。

3.1.2 耦合电路方程

压电本构方程定义了应变(S)或应力(T)，电荷密度位移(D)和电场(E)之间的相互作用。于是，压电本构的张量(应力-电荷形式)可简化表示如下：

(3)

(4)

式(3)中压电的轴向应变分量在复合梁中的子结构层与梁在位置x处的曲率成正比，由此可以计算出由于该应变引起的电场分量。由于外部电路导纳为1/R，根据Gauss定律积分形式可获得输出电压为

(5)

式中：R为电阻负载两端的电压；A3为x-z平面的电极面积。将式(4)代入式(5)，并结合压电层平均弯曲应变曲率关系，获得式(6)

(6)

然后，根据Kirchhoff定律，内部电流ip表达式如下

(7)

式(6)和式(7)右端相同，于是合并两式求解内部电流。一般而言，试验中很难直接测得内部电流ip，通常都是测试获得外部回路的电流i。于是，根据欧姆定律则可获得外部电路电流

i(t)=vp(t)/R

(8)

根据电路情况，内部电压vp与数据采集获得外部电压v为并联关系，即v=vp。

此外，为便于求解，式(6)按模态展开形式如下

(9)

3.2 考虑重力效应的机电模型(修正模型)

机电耦合模型以简谐振动为假设，依此求解获得的电压和电流响应也为简谐振动。然而，在1.2节特性试验过程中，发现简谐激励振动下的悬臂梁俘能电学响应存在明显偏置现象，而且该现象会随着自由端配重的增加而更加显著。鉴于此，本文将充分考虑配重重力效应对压电悬臂梁俘能响应的影响，对机电耦合模型进行改进，进一步提高模型精度，使其适应更广泛的悬臂梁俘能系统。

基于Gauss理论，自由端质量块m对悬臂梁产生附加应变，见图9。接着引发的额外电压如下

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3.3 机电模型求解

耦合振动方程和耦合电路方程综合形成机电耦合方程，即式(2)和式(9)的联立。实际上，它们为一对微分方程组，但要获得该微分方程组的解析解非常困难。频率响应函数(frequency response function,FRF)可用来表征测试系统在给定频率下的稳态输入个输出的关系，其具有直观反映测试系统在各个不同频率简谐输入信号的响应特性。为获得稳态解，本文将采用FRF对机电耦合微分方程组进行数值求解。

假设悬臂梁固定端激励简谐力函数fk(t)=Fkeωtj，其幅值Fk可由式(15)表达

(15)

式中：A0为固定端横向位移幅值；ω为激励频率；j为虚部数值。

基于线性系统假设，模态坐标写成幅值为Qk的复数qk(t)=Qkeωtj，电压响应写成幅值为V的复数v(t)=Veωtj，于是机电耦合方程可以表达如下

(16)

(17)

求解式(16)、式(17)，即可获得外部/内部电压v/vp和内部电流ip响应

v(t)/vp(t)=eωtj×

(18)

ip(t)=eωtj×

(19)

4 机电模型验证

为便于误差分析，本文对所有算例根据配重组合特定电阻分类4组。第一组配重为0和电路负载10 kΩ下的算例；第二组配重为12.5 g和电路负载为45 kΩ下的算例；第三组配重为18.75 g和电路负载45 kΩ的算例；第四组配重为25 g和电路负载50 kΩ的算例。每组则通过变化激励频率获得各种不同工况。

4.1 误差分析

为了验证模型对特性曲线模拟的精确性和有效性，定义特性曲线误差百分比如下

Err(k)=

(20)

式中：Err(k)为特定电路电阻和质量块配置下，第k工况(激励频率为变量)模型误差；vexp/vsim为测试/模型结果的电压响应；iexp/isim则表示测试/模型结构的电流响应，由于电流和电压对功率的贡献为等效的，因此公式中它们的权重各占50%。

采用FRF法，对同样工况的试验算例进行了对应机电耦合方程的求解，并获得一系列仿真结果。负载50 kΩ，频率10 Hz，配重25 g工况下的原模型和修正模型仿真效果对比，如图10所示。发现两种模型均可对应变-电压椭圆曲线有效描述，其中，修正模型更为有效，还可对该回线的偏置(向右下)趋势进行准确预测(见图10(a)和图10(b))；类似地，修正模型除有效描述应变-功率蝴蝶曲线之外，还可对该回线的偏置(向右)现象有效模拟(见图10(c)和图10(d))。直观而言，修正模型对压电单晶悬臂梁机电特性描述更灵活、更有效。

图10 模型与修正模型拟合典型试验数据的效果对比Fig.10 Simulation comparison between model and improved model with typical test data

通过观察所有工况下的仿真结果，采用原模型及修正模型模拟试验数据的特性曲线误差百分比，如图11所示。总体而言，误差基本集中在20%以内，但不可否认，误差范围随着工况不同有所变化，越接近最佳工况(最佳频率)，其误差呈现递减趋势，均小于10%；当工况逐渐远离最佳工况时，误差也逐渐增大。以第一组为例(见图11(a))，在120 Hz(最接近谐振频率123.2 Hz)下，采用原模型和其修正模型的误差比较接近，误差分别为8.09%和7.80%；而当20 Hz(最远离共振频率)下，采用原模型和修正模型误差则差别加大，误差分别为84.63%和49%。为了观测模型整体精度，将第一组的10个工况的模型误差进行平均，则显示原模型和修正模型平均误差分别为29.37%和23.2%，采用修正模型平均误差比原模型明显提高21%。类似地，第二组、第三组、第四组的误差分布规律基本类似，(见图11(b)～图11(d))。

图11 模型与修正模型误差对比Fig.11 Error comparison between model and improved model

4.2 等效误差分析

对于振动俘能器而言，振动环境为其能量转换的主要来源，而振动环境非简单特定频率和幅值的简谐激励，而是具有不可预测的各种幅值和频率的随机激励。当环境振动频率与结构主频接近时，俘能能力大大提升，反之，当环境振动频率远离结构主频时，俘能能力大大减弱。因此，模型的有效性不但和特性曲线描述误差有关，还应和相应工况的能量占比相关。基于此，本文提出“等效误差百分比EErr”，用以衡量模型预测能量回收能力的评判指标。

以前述不同配重分类组别为例，定义组内第k工况下获得的功率响应幅值为N(k)，组内所有工况获得的总功率响应幅值为∑N(k)，于是第k工况的能量占比NR(k)为

(21)

于是，该g组采用模型获得的等效误差百分比为

EErr(g)={∑NR(k)·Err(k)}×100%

(22)

等效误差百分比EErr(g)综合体现了模型对g结构在各频率外激励下的能量俘获能力的有效评判。原模型和修正模型在4个分组中的等效误差，如表4所示。其中原模型平均等效误差为16.93%，模型经过改进后，其平均等效误差减小到12.98%，精度整体提高了23.33%。验证了修正模型的精确性和有效性，说明改进模型可用于精确预测压电单晶悬臂梁回收能量数值以及机电特性曲线的描述。

表4 原模型与修正模型等效误差对比

5 结 论

本文对压电单晶悬臂水平梁的俘能特性进行了试验和模型研究。

(1)通过压电俘能悬臂梁俘能性能试验，发现其力-电转换呈现复杂特性；发现悬臂梁的自由端配重、外部激励频率以及内部电路负载对系统能力回收均具有重要影响，其最佳匹配下才可为俘能器挖掘潜在最大电能提供重要保证。

(2)提出压电俘能悬臂俘能力电耦合数学模型用以预测其振动能量俘获的电能。通过与有限元模型对比，验证了其不但可以精确模拟力、电响应幅值和频率，还可有效拟合应变-电压、应变-电流和应变-功率等复杂特性曲线；通过与试验结果的误差对比分析，同时验证了考虑重力效应的修正模型还可较好预测特性曲线的偏置现象，充分验证所提修正模型描述俘能特性更为全面、更为有效。

以上试验研究和模型研究成果对探究压电悬臂梁俘能系统振动能量回收能力及其在工程上的有效应用提供重要的理论基础。