一类Riesz空间分数阶对流弥散方程的差分方法

张治国，陈豫眉，梁 倩

(西华师范大学a.数学与信息学院 b.公共数学学院，四川 南充 637009)

0 引言

分数阶偏微分方程已被广泛应用于生物、化学和物理等领域[1-6].由于应用背景广泛并且分数阶微分方程难以获得精确解，故求其数值解尤为重要.目前有不同的数值方法用于求解Riesz空间分数阶方程.Meerschaert等[7-8]应用移位的Grünwald-Letnikov公式逼近Riesz分数阶导数，提出了无条件稳定的一阶差分格式.Celik等[9]使用分数阶中心差分公式近似了Riesz分数阶导数，提出了无条件稳定的二阶隐式差分格式.刘桃花等[10]研究了带有分数阶边界条件的Riesz分数阶对流扩散方程，他们利用分数阶中心差分公式离散Riesz分数阶导数, 对边界条件中的左侧Riemann-Liouville分数阶导数使用标准的Grünwald-Letnikov公式离散.林海欣等[11]研究了带左侧Rieman-Liouville分数阶导数边界条件的对流扩散方程，他们利用分数阶中心差分算子离散Riesz分数阶导数,同时对于边界条件则是使用加权和移位的Grünwald-Letnikov公式进行离散.尹修草[12]和曾宝思等[13]研究的分数阶对流扩散方程中含有带整数阶的Robin边界条件，利用中心差分公式离散Riesz分数阶导数.古传运等[14]推广了含Rieman-Liouville导数的分数阶微分方程的比较定理.

给定如下带有分数阶边界条件的Riesz空间分数阶对流弥散方程：

(1)

u(x,0)=q(x),0

(2)

(3)

(4)

定义中Γ(·)为Gamma函数.

本文主要讨论β>0时的情况.

1 差分格式构造及理论分析

均匀剖分给定区域

(N，M∈Z+)分别为空间及时间步长，则xi=ih(i=0,1,…,N)，tm=mΔt(m=0,1,…,M).再令φi=φ(xi)，

Celik等[9]定义如下分数阶中心差分算子：

(5)

其中

利用(5)式对(4)式在点(xi,tm)进行近似处理，即：

(6)

利用向后Euler差分近似一阶时间导数，得：

(7)

林海欣等[11]利用加权和移位的Grunwald-Letnikov公式对(3)式中的分数阶导数进行离散，得到

(8)

其中

在时间层t=tm(m=1,2,…,M)，及(6)-(8)式可以得到(1)-(3)式的如下隐式差分格式：

(9)

由此可知，差分格式(9)与原方程(1)-(3)是相容的.

(10)

将(10)式改写成矩阵形式：AXm=Xm-1+Fm,1≤m≤M，其中

A是一个N×N系数矩阵：

定理1.1隐式差分格式(9)的解满足存在唯一性.

证明结合引理1.1可知：

结合引理1.2可知，当i=N时，

即矩阵A是严格对角占优的，由其可逆性可得：差分格式(9)的解存在且唯一.

定理1.2差分格式(9)是无条件稳定的.

(11)

(12)

(13)

(14)

运用(14)式(m-1)次,得

‖εm‖∞≤‖εm-1‖∞≤…≤‖ε0‖∞.

(15)

由(11)-(15)式可以得到，差分格式(9)无条件稳定的.

证明由em的定义可以得到：

(16)

由引理1.2和Stirling定理，有

(17)

(18)

运用(18)式(m-1)次,得

(19)

由(16)-(19)式可以得到：

‖em‖∞≤C(Δt+h2).

通过(16)-(18)式可以知道差分格式(9)是收敛的，其收敛阶为O(Δt+h2).

2 数值算例

考虑以下方程：

其中

初边值条件为：

该方程的准确解是u(x,t)=e-tx2(1-x)2.这里β=1，α=1.5.

图1 数值结果

表1 最大误差和时间收敛阶，其中

表2 最大误差和空间收敛阶，其中

表3 文献[10]中的最大误差和收敛阶

3 结论

本文研究了带有分数阶边界条件的一类Riesz分数阶对流弥散方程，通过中心差分算子离散Riesz分数阶导数，对右边界点x=b处的分数阶导数采用二阶加权和改进的Grunwald-Letnikov公式离散，从而构造出隐式有限差分格式.理论分析了隐式差分格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性，并通过数值算例验证了差分法的可行性.