含参正规形对参数的依赖性

唐 林

(重庆师范大学 数学科学学院, 重庆 401331)

0 引言

在非线性动力系统的定性理论研究中,正规形理论是有效的分析工具[1].正规形理论在非线性动力系统的分支理论及稳定性理论中有着重要作用,同时也广泛运用于各个学科[2].正规形理论的基本思想是寻找合适的变换,将一个系统化成另一个形式相对简单的系统,并且变换前后两个系统局部拓扑共轭或光滑共轭(简单地说,变换前后两个系统具有相同的局部动力学行为).因此,我们可以通过分析简化后系统的动力学行为[3]得到原系统的动力学行为.

最早提出正规形理论的是Poincare[4],他研究出了著名的解析正规形理论. Arnold[5]后续又进行了深入的研究,为完善正规形理论做出了巨大的贡献.目前为止,正规形的计算方法主要有：李代数法、矩阵表示法、共轭算子法等[6].虽然已经有这么多的计算方法,但是正规形的计算过程还是相当复杂.Chuo等[7]给出了非线性向量场正规形的基本概念,为现代理论奠定了基础.Hartman[8]证明了双曲系统在不动点附近可以等价于其线性系统,所以得到正规形更简单的形式,正规形理论也因此而迅速发展.

正规形在分岔问题中有着重要的作用.在分岔问题中,我们研究类似连续族Vε和Wε,可以求出共轭Cr微分同胚的连续族Hε.更具体地说,我们想研究Hε在Cr拓扑中,对Vε和Wε的连续依赖性[9].所以本文将对二维向量场系统进行这个问题的研究.

针对向量场部分二维幂这一情形已有结论[10].运用矩阵表示法表明系统

的二次正规形为

需要说明的是,整篇文章中的h.o.t.表示系统的高次项.本文将运用上述矩阵分析法来研究正规形中的近似恒同变换对参数的连续依赖性.

定理1考虑二维向量场

(1)当ε→0 时,Gε(x)→G(x),

(2)Hε连续依赖于ε.

定理2考虑二维向量场

由于定理2的系统为双曲系统,等价于一个线性系统,而此时的近似恒同变换是不连续依赖的,则选取一个特殊的中间系统作为其正规形研究近似恒同变换的连续依赖性.

在第一节,我们给出本文需要使用的预备知识.在第二节中,给出定理1和定理2的证明.

1 预备知识

为n元k次齐次多项式空间.

{xαej||α|=k,1≤j≤k},

|α|:=α1+α2+…+αn=k,

定义2[11]两个以0为奇点的形式向量场V,W称作形式等价,如果存在一形式变换H,H(0)=0,满足

2 主要结果证明

定理1的证明.

首先用矩阵法求出

span{e1-ε2e3+2εe4-ε2e5,
e2-2εe3+2e4-εe5}.

因此二次正规形为:

根据定义2,我们已知

因为要探究变换H,所以我们通过对比系数法来研究H,设

可以得到

通过对比二次项系数,得

解得此线性方程组的基础解系为

设

则可得到

通过对比系数法可得

解得基础解系为

且

则Hε的二次项系数为k1β1+k2β2(k1,k2∈R)的分量组成.当ε→0时,β1→α1,β2→α2,a1→a,b1→b.

探究H对ε的连续依赖性.同样的, 令

设

则可以得到

同理可得

解得基础解系为

且

则Lε的二次项系数为k1η1+k2η2(k1,k2∈R)的分量组成.当ε→0时,η1→α1,η2→α2,a2→a,b2→b.