圆锥曲线中“焦顶三角形”三边斜率的探究

贵州师范大学数学科学学院(550025) 刘远桃

过焦点的直线与圆锥曲线交于两点(异于顶点),圆锥曲线的一个顶点(顶点与焦点处于同一坐标轴上)与这两个交点连接,构成的三角形称为焦顶三角形.关于焦顶三角形的题型多样,比较经典的是三边斜率问题,此类问题构思巧妙,内涵丰富,具有一定的研究价值.下面以2023 届江苏省南通市高三上学期第一次质检考试中的圆锥曲线试题为例,探究试题的本质,从而得到几个一般性的结论.

1 试题呈现

分析我们知道,圆锥曲线中很多试题都可以进行不同程度的一般性探究,尤其是涉及到三角形问题和斜率问题.此题难度适中,而试题第(2)问中的几何结构比较特殊,正是标准的焦顶三角形,为此,下面探究在一般情形下是否有相关结论成立.约定: 以下探究中用e表示圆锥曲线的离心率.

2 结论推广

结论1已知椭圆C:=1(a>b>0),A(λa,0),F(µc,0) 分别是椭圆C的顶点和焦点,过点F做直线l(斜率存在且与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,则当λµ=1 时,k1k2=−(1+e)2;当λµ=−1 时,k1k2=−(1−e)2.

评注结论3 是通过观察归纳得到的,证明从略.以上结论都是基于椭圆模型,那么,在双曲线和抛物线中是否也有类似结论? 下面进一步探究.

评注结论4 是将两直线AM,AN的斜率之积为定值、三条直线AM,AN,l的两个斜率关系共三个结论统一进行叙述,其证明思路与结论1 完全一致.另外,通过观察以上结论可以发现,椭圆和双曲线模型的结论具有统一性.

结论5 已知抛物线C:y2=2px(0),O,F分别是抛物线C的顶点和焦点,过点F做直线l(斜率存在且与x轴不重合) 与抛物线C交于M,N两点,设直线OM,ON,l的斜率分别为k1,k2,k,则当p >0 时,k1k2=−4,k1+k2=−;当p <0 时,k1k2=4,k1+k2=

评注前面我们总结了椭圆和双曲线模型结论的统一性,但抛物线模型的结论与椭圆和双曲线模型的结论从形式上看并不统一.为此,能否将结论5 改写成关于离心率的式子? 结合椭圆和双曲线模型结论式子特点,发现通过抛物线离心率为常数1 恰好可以达到目的,可以将结论5 写成“当p >0 时,k1k2=−(1+e)2,k1+k2=−且;当p <0 时,k1k2=(1+e)2,k1+k2=

以上所有结论中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的方程形式都是焦点位于x轴上,当焦点位于y轴上时,同样有类似结论成立,大家不妨类比探究.另外,基于以上结论的探究,我们可以自己编制相关的题目.

3 题目编制

题目1设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±(1)求双曲线C的方程;(2)A为双曲线C的右顶点,过点F做直线l(斜率存在且与x轴不重合)与双曲线C交于M,N两点,设直线AM,AN,l的斜率分别为k1,k2,k,求证:k1k2为定值,并判断k1,k2,k三者之间的关系.

题目2设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过点F的直线l与抛物线C交于M,N两点,当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l的斜率存在且与x轴不重合,直线OM,ON,l的斜率分别为k1,k2,k,求证:k1k2为定值,并判断k1,k2,k三者之间的关系.

评注这两道题目的命题思路正是双曲线和抛物线模型中焦顶三角形的三边斜率问题,证明思路与前面结论的探究相同.

4 结束语

一个有意义的题目的求解和由此得到的结论和见解,不仅可以加深对问题本身的认识和理解,而且可以在探究中产生新问题和新方法,以及最重要的获得发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,进而提高探究意识、促进思维发展[1].通过以上探究,我们得到了焦顶三角形中两直线斜率之积为定值和三条直线的斜率关系,并且得到的结论证明思路完全相同.这给我们以启发,圆锥曲线的解题教学必须要学会归纳题型,剖析命题思路,掌握解决此类题型的一般性方法,达到“做一题,归一类,得一法”的效果;同时,应注重变式教学和多题归一,挖掘问题间的本质和内在关系,做到将同种题型、变式题型和创新题型熔于一炉.这样,即使面对没有做过的类似题目,甚至是陌生的题目,我们仍然会有所思考和见解,而不至于毫无头绪.