揣摩问题细节，优化数学教学——以《椭圆的标准方程》的教学为例

王培先（山东省青岛市城阳第一高级中学 266108）

随着新课改的推进，广大教师在日常的教研活动中，通过听课、说课与议课等方式共同探讨数学教学设计方案，以期进一步提升自身的教学水平与学科素养。调查发现，有些教师虽然注重教学目标与教学结构的设计，但提出的课堂问题在细节上总欠些火候，导致课堂教学少了点“数学味”，这也使学生的数学核心素养的培养难以落地生根。细节虽小，却能折射出教师教学的大理念、大智慧。细节是可以预设的，陶行知先生说过：“发明千千万，起点是一问。”“智者问的巧，愚者问的笨。”好的提问方式和精心设计的问题能飞到学生的心坎上，引发学生深度思考与积极探究。因此，教师在设计有效的教学活动时，应从学生学习的角度入手，从问题细节处着手，践行行知理论，从细节上优化数学教学，提升学生的数学核心素养。

一、教学前的分析

椭圆的标准方程是从椭圆的定义出发，通过与圆方程的类比推导而来，推导过程离不开直角坐标系与点坐标数量关系（方程）的支持。这部分教学内容在整个高中阶段起着至关重要的作用，其中有很多细节值得教师去推敲。精妙的细节设计能帮助学生更好地理解知识本质。因此，本文结合个人的执教经验，对本节课教学过程中的一些问题细节进行分析和探讨。

二、问题细节的思考

问题1假设椭圆的两个焦点F1与F2的距离是2c，那么椭圆上的任意一点P与F1、F2之间的距离之和是2a(2a＞2c)，为什么不设F1F2=c，PF1+PF2=a呢？

不少教师对于这个问题的第一反应就是：这么设是为了便于运算，无须跟学生解释具体的理由。其实，这是一个值得深究的问题，对于学生而言，解决这个问题，便能达到知其然且知其所以然的境界。

此问至少能从四个方面阐述理由：①按照标准方程建立直角坐标系后，设点方便，可以避免出现分数表示点坐标的现象；②因为根号里都是整式，没有分数，化简方程时运算更加便捷；③运用a、b、c来表达，几何意义明确；④如此获得的椭圆方程形式简单，更利于用标准方程来研究其主要性质。

若在推导出标准方程之后，提出“设F1F2=c，PF1+PF2=a”这个假设，将标准方程与设点坐标、化简的方程以及方程的最后形式相对比，学生很快就会感知到哪种方式的运算更加合理、简洁。用双曲线的标准方程推导时，学生会不由自主地联想到设焦距与实轴长。

为什么推导抛物线的标准方程时，将焦点与准线的距离设为P，而非2p呢？因为这种设法并不会减小抛物线方程的化简难度。原假设获得的结果y2=2px(p＞0)为整系数的形式，倘若将焦点与准线的距离设为2P，那么标准方程式则为y2=4px(p＞0)，此时的系数变大，违背了最简原则。

通过这个细节的分析，可以让学生由小见大，明确数学假设必须科学、合理，且表达要清晰，遵循最简原则，让结论最简化。

问题2建立直角坐标系时，为什么要将椭圆的两个焦点所在的直线定为x轴，以F1F2的垂直平分线作为y轴呢？

观察圆的方程的不同形式，可以发现圆的方程形式与圆在坐标系中的位置有着直接的关系。圆心位于原点的圆的方程是最简化的，半径为R、圆心为原点的圆的方程为x2+y2=R2。那么，椭圆方程的最简形式是什么呢？为了探寻这个问题，就需要建立合适的直角坐标系，从最简原则出发，用最简单的形式表达点坐标与曲线方程。

对椭圆而言，通过圆心类比椭圆的中心不可取，但从另外一个角度分析，如果以其中一个焦点作为原点建立直角坐标系，显然会出现两焦点不对称的现象，若取两焦点的中点为原点，则恰到好处。

从整式方程看，若曲线图形关于x轴对称，那么曲线方程就不包含y的奇次项；若曲线同时关于x、y轴对称，那么方程不包含x、y的一次项；若曲线恰好经过原点，那么方程则没有常数项。椭圆给人的第一感觉就是匀称，此特点为建立坐标系带来感性的帮助。这种建系方法于双曲线来说同样适用，而且在建立抛物线标准方程时能再次得到验证。

问题3怎么化简椭圆方程?

直线和圆的方程式都比较简单，椭圆的方程相对复杂，我们当然希望化简得越简单越好。看到此式，首先就想该怎么去根号，不少教师为了提高教学效率，会直接告知学生，将一个根号移到另一边进行平方，即可达到化简的目的。

细细琢磨这种方法，就会产生不少疑点：①如果不移动一个根号，而是选择直接平方，是否可行？②想要化简这个方程，有什么办法？③化简成什么样子，才是最简的式子？对于此式，教师可从以下几点进行思考。

从视觉上看，移项之后进行平方的方式使等式两侧各有一个根号，比较协调，且平方后的项数又比较少，最高次也只有2次，化简方便，因此这是一种比较妥当的化简方法。

2.从化简的基本要求考虑，算式尽可能不要含有根号，项数越少越好，不要包含分式等，与直线截距方程和圆的方程进行类比，就能获得化简椭圆方程的终极目标。若提前设置一个推导椭圆方程的任务，启发学生通过与直线截距式方程的类比，明确化简目标，通过逐步推导，亦可达成教学目标，获取知识本质。

3.究竟该向学生呈现哪种推导方法？是多讲几种，还是只选择一种呢？这要结合学生实际与课堂动态情况来确定。一般首选教材上呈现的方法，让学生经历算式运算、推导策略与过程等。在学生的接受能力范围内与理解能力较好的基础上，教师可拓展推导方法，或将其他推导方法作为课后研究的课题供学生思考。

问题5在研究椭圆的性质以及标准方程的过程中，涉及哪些数学思想方法？

数学思想方法是数学的灵魂，但有些教师常常忽视这方面的研究与思考，尤其对一些隐含的数学思想方法置之不理。其实，解析几何由代数与几何结合而来，堪称数形结合思想的典范，椭圆标准方程则淋漓尽致地揭示了这些几何性质。类比思想也是研究几何问题最常用的方法之一，本节课借助圆的研究方法，类比出椭圆的性质，包括后续双曲线和椭圆研究方法的类比等，无不凸显类比思想的普遍性与重要性。另外，方程思想、等价转化思想等在本节课中无处不在。

三、结语

课堂教学举手投足间都存在着丰富的内涵，每一个看似漫不经心的问题背后都暗藏着不少玄机，这就需要教师用心揣摩、体会、实践、显化，从细节上优化数学教学，引导学生深度思考、积极探究，让学生在深度学习中培养和发展学科思维与数学核心素养，促进学生数学能力的成长。