APP下载

揣摩问题细节,优化数学教学
——以《椭圆的标准方程》的教学为例

2022-12-30王培先山东省青岛市城阳第一高级中学266108

教学管理与教育研究 2022年22期
关键词:根号化简椭圆

王培先(山东省青岛市城阳第一高级中学 266108)

随着新课改的推进,广大教师在日常的教研活动中,通过听课、说课与议课等方式共同探讨数学教学设计方案,以期进一步提升自身的教学水平与学科素养。调查发现,有些教师虽然注重教学目标与教学结构的设计,但提出的课堂问题在细节上总欠些火候,导致课堂教学少了点“数学味”,这也使学生的数学核心素养的培养难以落地生根。细节虽小,却能折射出教师教学的大理念、大智慧。细节是可以预设的,陶行知先生说过:“发明千千万,起点是一问。”“智者问的巧,愚者问的笨。”好的提问方式和精心设计的问题能飞到学生的心坎上,引发学生深度思考与积极探究。因此,教师在设计有效的教学活动时,应从学生学习的角度入手,从问题细节处着手,践行行知理论,从细节上优化数学教学,提升学生的数学核心素养。

一、教学前的分析

椭圆的标准方程是从椭圆的定义出发,通过与圆方程的类比推导而来,推导过程离不开直角坐标系与点坐标数量关系(方程)的支持。这部分教学内容在整个高中阶段起着至关重要的作用,其中有很多细节值得教师去推敲。精妙的细节设计能帮助学生更好地理解知识本质。因此,本文结合个人的执教经验,对本节课教学过程中的一些问题细节进行分析和探讨。

二、问题细节的思考

问题1假设椭圆的两个焦点F1与F2的距离是2c,那么椭圆上的任意一点P与F1、F2之间的距离之和是2a(2a>2c),为什么不设F1F2=c,PF1+PF2=a呢?

不少教师对于这个问题的第一反应就是:这么设是为了便于运算,无须跟学生解释具体的理由。其实,这是一个值得深究的问题,对于学生而言,解决这个问题,便能达到知其然且知其所以然的境界。

此问至少能从四个方面阐述理由:①按照标准方程建立直角坐标系后,设点方便,可以避免出现分数表示点坐标的现象;②因为根号里都是整式,没有分数,化简方程时运算更加便捷;③运用a、b、c来表达,几何意义明确;④如此获得的椭圆方程形式简单,更利于用标准方程来研究其主要性质。

若在推导出标准方程之后,提出“设F1F2=c,PF1+PF2=a”这个假设,将标准方程与设点坐标、化简的方程以及方程的最后形式相对比,学生很快就会感知到哪种方式的运算更加合理、简洁。用双曲线的标准方程推导时,学生会不由自主地联想到设焦距与实轴长。

为什么推导抛物线的标准方程时,将焦点与准线的距离设为P,而非2p呢?因为这种设法并不会减小抛物线方程的化简难度。原假设获得的结果y2=2px(p>0)为整系数的形式,倘若将焦点与准线的距离设为2P,那么标准方程式则为y2=4px(p>0),此时的系数变大,违背了最简原则。

通过这个细节的分析,可以让学生由小见大,明确数学假设必须科学、合理,且表达要清晰,遵循最简原则,让结论最简化。

问题2建立直角坐标系时,为什么要将椭圆的两个焦点所在的直线定为x轴,以F1F2的垂直平分线作为y轴呢?

观察圆的方程的不同形式,可以发现圆的方程形式与圆在坐标系中的位置有着直接的关系。圆心位于原点的圆的方程是最简化的,半径为R、圆心为原点的圆的方程为x2+y2=R2。那么,椭圆方程的最简形式是什么呢?为了探寻这个问题,就需要建立合适的直角坐标系,从最简原则出发,用最简单的形式表达点坐标与曲线方程。

对椭圆而言,通过圆心类比椭圆的中心不可取,但从另外一个角度分析,如果以其中一个焦点作为原点建立直角坐标系,显然会出现两焦点不对称的现象,若取两焦点的中点为原点,则恰到好处。

从整式方程看,若曲线图形关于x轴对称,那么曲线方程就不包含y的奇次项;若曲线同时关于x、y轴对称,那么方程不包含x、y的一次项;若曲线恰好经过原点,那么方程则没有常数项。椭圆给人的第一感觉就是匀称,此特点为建立坐标系带来感性的帮助。这种建系方法于双曲线来说同样适用,而且在建立抛物线标准方程时能再次得到验证。

问题3怎么化简椭圆方程?

直线和圆的方程式都比较简单,椭圆的方程相对复杂,我们当然希望化简得越简单越好。看到此式,首先就想该怎么去根号,不少教师为了提高教学效率,会直接告知学生,将一个根号移到另一边进行平方,即可达到化简的目的。

细细琢磨这种方法,就会产生不少疑点:①如果不移动一个根号,而是选择直接平方,是否可行?②想要化简这个方程,有什么办法?③化简成什么样子,才是最简的式子?对于此式,教师可从以下几点进行思考。

从视觉上看,移项之后进行平方的方式使等式两侧各有一个根号,比较协调,且平方后的项数又比较少,最高次也只有2次,化简方便,因此这是一种比较妥当的化简方法。

2.从化简的基本要求考虑,算式尽可能不要含有根号,项数越少越好,不要包含分式等,与直线截距方程和圆的方程进行类比,就能获得化简椭圆方程的终极目标。若提前设置一个推导椭圆方程的任务,启发学生通过与直线截距式方程的类比,明确化简目标,通过逐步推导,亦可达成教学目标,获取知识本质。

3.究竟该向学生呈现哪种推导方法?是多讲几种,还是只选择一种呢?这要结合学生实际与课堂动态情况来确定。一般首选教材上呈现的方法,让学生经历算式运算、推导策略与过程等。在学生的接受能力范围内与理解能力较好的基础上,教师可拓展推导方法,或将其他推导方法作为课后研究的课题供学生思考。

问题5在研究椭圆的性质以及标准方程的过程中,涉及哪些数学思想方法?

数学思想方法是数学的灵魂,但有些教师常常忽视这方面的研究与思考,尤其对一些隐含的数学思想方法置之不理。其实,解析几何由代数与几何结合而来,堪称数形结合思想的典范,椭圆标准方程则淋漓尽致地揭示了这些几何性质。类比思想也是研究几何问题最常用的方法之一,本节课借助圆的研究方法,类比出椭圆的性质,包括后续双曲线和椭圆研究方法的类比等,无不凸显类比思想的普遍性与重要性。另外,方程思想、等价转化思想等在本节课中无处不在。

三、结语

课堂教学举手投足间都存在着丰富的内涵,每一个看似漫不经心的问题背后都暗藏着不少玄机,这就需要教师用心揣摩、体会、实践、显化,从细节上优化数学教学,引导学生深度思考、积极探究,让学生在深度学习中培养和发展学科思维与数学核心素养,促进学生数学能力的成长。

猜你喜欢

根号化简椭圆
Heisenberg群上由加权次椭圆p-Laplace不等方程导出的Hardy型不等式及应用
灵活区分 正确化简
例谈椭圆的定义及其应用
“实数”检测题
巧用点在椭圆内解题
组合数算式的常见化简求值策略
椭圆的三类切点弦的包络
揭开二次根式双重非负性的神秘面纱
“实数”易错题专练
“巧去根号”求解不定积分