Ornstein-Uhlenbeck型算子的长时间热核估计

过筱添, 侯月文, 解龙杰*

(1.江苏理工学院 数理学院,江苏 常州 213001; 2.江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116)

0 引言

热核在概率论、偏微分方程、数学物理和几何等领域有着广泛的应用.特别地,在偏微分方程中,热核是方程所对应算子的基本解;在概率论中,热核是算子所对应随机过程的转移密度函数.因此,热核估计不仅基础而且重要[1].

考虑如下随机微分方程:

(1)

其中d≥1为空间维数,b:Rd→Rd为可测函数.由It公式可知,方程(1)的解Xt(x)的无穷小生成子为

(2)

算子L称为带梯度扰动的Ornstein-Uhlenbeck型算子.当漂移系数b(x)≡0时,算子L即为经典的Ornstein-Uhlenbeck算子,此时,所对应的方程(1)的解Xt(x)即为Ornstein-Uhlenbeck过程[2].

目前,关于经典二阶微分算子及所对应的由布朗运动驱动的随机微分方程的热核估计的研究,已经取得丰富的结果[3-5],但这些研究多集中于整体漂移系数为有界可测的情形.然而,方程(1)、式(2)中算子L的主要特点是漂移系数中包含一项线性增长的函数,因此,其热核估计与经典的高斯型热核估计不再相同.文献[6-7]研究了当漂移系数满足线性增长条件时所对应算子的有限时间内的热核估计.记p(t,x,y)为Xt(x)的转移密度函数,本文将进一步研究当时间t→∞时,p(t,x,y)的渐进极限,并研究极限关于漂移系数b(x)的连续依赖性,得到过程Xt(x)的不变测度μ(dy)的估计以及关于系数的连续依赖性.

1 预备知识

1.1 Ornstein-Uhlenbeck过程

定义1考虑随机微分方程

其解Ut(x)有如下显示表达:

称Ut(x)为Ornstein-Unlenbek过程.

由上述表达式可知,Ut(x)为一类特殊的Gaussian过程，通过计算其均值及方差，可得

Xt～N(xe-t,(1-e-2t)Id).

记z(t,x,y)为Ut(x)的转移密度函数,则

(3)

z∞(y)=(2π)-d/2e-|y|2/2,

此即为Ornstein-Unlenbek过程不变测度关于Lebesgue测度的Randon-Nikodym导数[8].

引理1对任意的t>0,x,y∈Rd,有

证由于z(t,x,y)为Ut(x)的转移密度函数,因此,满足Chapman-Kolmogorov方程,即对任意的t>s>0,x,y∈Rd,有

两边同时关于时间取极限,并根据z∞(y)的定义,可得

化简可得结论.

1.2 热核的构造

根据Duhamel公式[4],算子L的热核p(t,x,y)满足如下积分方程:

(4)

其中z(t,x,y)由(3)式给出.为求解积分方程(4),令p0(t,x,y)=z(t,x,y).对任意的k≥1,根据递归定义

(5)

则方程(4)的解p(t,x,y)可以通过下面的级数求和给出:

(6)

因此,热核p(t,x,y)的估计可以通过先证明pk(t,x,y)的估计,再证明上面的级数求和收敛得到[6].

2 主要结论及证明

2.1 热核的梯度估计

为了证明长时间热核估计,先给出如下形式的热核梯度估计,该结论对任意时间都成立.

引理2对任意的t>0,x,y∈Rd,存在常数C>0,使得

其中

证对(6)式两边关于x求导,可得

(7)

由(5)式可知

当k=1时,由(5)式及Chapman-Kolmogorov方程,有

其中C0>0为常数,B(·,·)为Beta函数.利用数学归纳法,同样可得,对任意的k≥1,

代入(7)式,有

2.2 长时间热核估计

定理11)假设b(x)∈L∞(Rd),则极限

存在,并且存在常数C1>0,使得对任意的y∈Rd,有

|p∞(y)|≤C1e-|y|2/4.

则存在常数C2>0,使得对任意的y∈Rd,有

证1)(4)式两边取极限,可得

(8)

由引理1,2,有

≤C1e-|y|2/4.

代入(8)式,可得

|p∞(y)|≤C1e-|y|2/4.

2)与(8)式类似,有

(9)

(8)，(9)式相减,可得

因此,可得

根据定理1的结论,可以得到随机微分方程(1)的解的不变测度关于系数的连续依赖性[9].

其中‖·‖TV为测度的全变差范数.

3 结语

文献[6-7]中研究了具有线性增长的漂移系数的二阶微分算子的热核估计,得到了有限时间内热核的相关性质.本文通过Duhamel公式,证明了一类Ornstein-Uhlenbeck型过程(带有线性增长漂移系数)的长时间热核估计、梯度估计以及极限关于系数的连续依赖性.