HPM视角下的学历案课例开发对策研究

摘 要：在新教材新课标不断推进的环境下，传统的教案、学案教学已经较难适应新时代学生的学习需求，学历案应运而生。基于HPM（数学与教学史教育）视角下的学历案从学生的角度出发，更加尊重学生的认知习惯，能够帮助学生构建所学知识的框架体系，针对性和可操作性强，能极大地提高学生学习的自主性，真正地提高学生的数学核心素养。

关键词：学历案；HPM教学法；高中数学

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）43-0099-04

教无定法，但教应有常法，构建以学生的学为中心的课堂教学模式，从学生学的角度，为学生的学习设计一种方案是必须的，笔者认为在课堂教学中采用学历案是一种很值得关注和研究的课堂教学模式。这种教学模式符合人本主义学习理论，教师课堂教有教案，学生学有学历案，体现了高中数学课堂教学中师为主导、学为主体的教学原则，在课堂建立起学与教的桥梁，还学生数学课堂的主体地位。

学历案是指教师在班级教学背景下，围绕一个具体的学习单位（主题、课文或单元）从期望“学会什么”出发，设计并展示“学生何以学会的过程”，以便于学生自主建构或社会建构经验或知识的专业方案。这个角度是以学生为本，教师自己设计学生从哪些方面来学会东西，并有相应的评价任务。

高质量的学历案设计能够引导学生确立正确地学习目标，增强学生学习的主动性和积极性，培养学生的主动探索精神和自主学习能力，真正让数学课堂动起来并能最终提高学习效率和教学效果，达到落实数学核心素养的教学目的。如何培养学生的主动探索精神，帮助学生自主建构知识或经验？数学与教学史教育（HPM）案例就是学历案学习的好素材。因为任何数学知识都是人类对数学不断进行实践、思考、总结，从简单到复杂，从直观到抽象，从经验概括到形式构造，经历了漫长的历史过程，是若干代数学家对数学进行独特而深邃的思考形成的成果。而这，正好与学历案的教育理念不谋而合，让学生在学习中经历知识发生的过程，将知识逐渐内化为自身的学习经验，形成知识的脉络和认知地图，真正地提高學生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等高中数学核心素养。下面以“幂函数的概念”为例谈学历案的实践与思考。

一、 “幂函数的概念”的学历案的课堂教学实践

（一）学习主题与课时

学习主题为“幂函数的概念”，选自《普通高中数学教科书·数学》（上海教育出版社）必修1第四章第一节。设计1课时完成教学任务。

（二）课标要求和学习目标

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节提出了以下要求：“以简单幂函数为例，研究它们的性质，体验研究函数性质的过程与方法，能根据不同问题灵活的用列表法、图像法来表示变量之间的关系和研究函数性质，领悟数形结合的思想。”基于以上内容，制定学习目标，形成原有教学目标与新制定学习目标对照表，如表1所示。

（三）评价任务

评价任务是指为检测学生的学习目标达成情况而设计的检测项目。有效的评价任务必须符合三条标准：与目标匹配、看得明白、实施可行。对已有的5个学习目标，均采取“一对一”的设计方法，从评价形式、任务内容两方面进行考量，设置5个针对性任务。

1. 完成探究1，回答思考2、3，完成考察。（检测目标1）

2. 回答思考3，完成例1、探究2。（检测目标2）

3. 完成知识应用。（检测目标3）

4. 完成探究3，回答思考4、5。（检测目标4）

5. 完成例2。（检测目标5）

（四）学习过程

1. 课前准备

回顾之前在初中学习过哪些初等函数，并上网查阅有关幂函数的数学发展史。预习《普通高中数学教科书·数学》必修第一册第82～87页。

完成探究一：

嘉定人杰地灵，物阜民丰。嘉定马陆的葡萄更是闻名遐迩，请同学们阅读以下材料并思考问题：

问题1：如果李阿姨购买了价格为1元的葡萄包装盒x个，那么她支付的钱数y=________________________（元）。

问题2：如果一个正方形的葡萄园边长为x米，那么葡萄园的面积y=________________________（平方米）。

问题3：如果正方体的葡萄包装盒棱长为x厘米，那么包装盒的体积y=________________________（立方厘米）。

问题4：如果正方形葡萄园的面积为x平方米，那么葡萄园的边长y=________________________（米）。

问题5：如果李阿姨去买葡萄，经过x秒骑车行进了1千米，那么她骑车的平均速度y=   （千米/秒）。

2. 课堂学习

（1）课题引入

共同探讨探究1相关问题的答案。

问题1：以上函数有何共同的特征？

生：底数是自变量，指数是常数，幂的系数为1。

师：我们把具有这种形式的函数叫作幂函数。

最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂。同学们不妨一试，把它作为一个研究性课题进行研究，了解我们今天学习幂函数的意义。

（2）幂函数的概念

问题2：幂函数的定义是什么？

生：一般地，当指数a固定，等式y=xa确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数（power function）。

考查：1. 判断下列函数哪些是幂函数。

（1）y=x4；（2）y=4x；（3）y=x0（x≠0）；（4）y=1x2；（5）y=（x-1）2；（6）y=3x2+1。

生：（1）、（3）、（4）是幂函数。

2. 如果函数f（x）=（m2-m-1）xm是幂函数，求实数m的值。

生：由幂函数定义得m2-m-1=1，解得：m=2或-1。

思考1：已对幂函数的概念有了些比较深刻的认识，根据前面所学经历，我们该如何继续研究？

生：图像和性质。

师：为了更好地研究幂函数的性质，我们还需要了解一下幂函数的定义域这个概念。

思考2：幂函数的定义域是什么？

生：使得y=xa有意义的x的取值范围，称为此幂函数的定义域。幂函数的定义域是不同的，它和指数a有关。

问题3：指数幂的相关运算性质有哪些？

生：amn=（am）1n=nam，a-mn=1amn=1nam（a>0，m，n∈N*，n>1）。

【例1】 求下列函数的定义域。

（1）y=x3；（2）y=x12；（3）y=x13；（4）y=x-12；（5）y=x-23

生：（1）定义域为R。（2）定義域为［0，+∞）。（3）定义域为R。（4）定义域为（0，+∞）。（5）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。

（3）几个常见幂函数的图像和性质

德国数学家莱布尼茨在1673年的一篇手稿里指出：像曲线上的点变动而变动的几何量，如点的横、纵坐标，切线的长度，法线的长度等都称为函数，并强调这条曲线是一方程式给出的。这种用函数表示几何量，被后人称为“函数概念的几何起源”，是函数图像表示法定义之始。

问题4：作函数图像的步骤？

生：列表，描点，连线。

探究二：在同一坐标系内画出函数y=x13和y=x-12的图像并探究幂函数的图像和性质。

师：请以四位同学为一小组，画出函数y=x3、y=x13、y=x12、y=x-12的大致图像。（几何画板展示）

思考3：能否根据它们的图像的形状，更细分一下，从而找出它们的共同特点呢？

生：（1）当a<0时，

①过点（1，1）；

②在第一象限内，图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

当a=0时，函数为y=x0（x≠0），图像为两条以（0，1）点为端点的分别平行于x轴正半轴和负半轴方向的射线。

当a>0时，

①只有a>0时，图像才与坐标轴相交，且交点一定为原点。

②当0<a<1时，函数在第一象限的图像上升幅度较小；

③当a>1时，函数在第一象限的图像上升幅度较大；

④当a=1时，图像是一、三象限的角平分线。

（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限。

（3）幂函数的图像在y轴和直线x=1之间时，指数越大，图像越低，指数越小，图像越高；而在直线x=1右侧，情况正好相反。

探究三：通过对上述函数图像的分析发现幂函数的图像存在对称性，幂函数图像的对称性是什么？

思考4：点（x0，y0）关于原点对称得到的点为________________________，点（x0，y0）关于y轴对称得到的点为________________________。

生：点（x0，y0）关于原点对称得到的点为（-x0，-y0），关于y轴对称得到的点为（-x0，y0）。

思考5：若点（2，8）在幂函数y=x3的图像上，则点________________________在幂函数y=x3的图像上。

问题5：幂函数y=x3的图像对称性是什么？

生：幂函数y=x3的图像关于原点成中心对称。

思考6：若点（2，4）在幂函数y=x2的图像上，则点________________________在幂函数y=x2的图像上。

问题6：幂函数y=x2的图像对称性是什么？

生：幂函数y=x2的图像关于y轴成轴对称。

师：1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的一篇论文中，就通过我们刚刚使用的方法来研究幂函数，并且提出了一个新的数学概念——“奇、偶函数”，也因为此慢慢地发展出函数的一个非常重要的性质——奇偶性。

欧拉在文中提到若用-x代替x，函数不变，则称这样的函数为偶函数；偶函数的图像关于y轴对称。若用-x代替x，函数变号，则称这样的函数为奇函数；奇函数的图像关于原点对称。

师：下面我们就试着循着伟人的足迹，利用函数的对称性，来试着解决一下有关于幂函数的图像问题。

【例2】 作出幂函数y=x-23的大致图像。

请学生上黑板画出函数y=x-23的图像。（几何画板展示）

问题7：能否判断一下幂函数y=x-23的图像上的点关于什么对称呢？

生：幂函数y=x-23的图像关于y轴成轴对称。

师：我们通过观察一些简单的幂函数，得到了幂函数的性质。而在学习数学中，猜测是需要经过严密的证明的，这个有待于通过后面的学习来完成。

（4）知识应用：把下列函数图像与函数表达式配对

①y=x23 ②y=x-12 ③y=x32 ④y=x-3 ⑤y=x ⑥y=x13 ⑦y=x53 ⑧y=x12 ⑨y=x43 ⑩y=x-2

（5）学后反思

请梳理本堂课知识内容并尝试自己画出本节课的思维导图。你觉得还有哪些内容比较难以掌握？需要老师提供哪些帮助？你还有什么好的心得体会可以分享给大家？

二、 高中数学课堂HPM视角下学历案实践的思考

（一）学历案的特点与创新点

首先，学历案体现了“以生为本”的教育理念。学历案从学生的角度出发，通过对学习者个体的关注，充分尊重学生的学习特征、学习需求，以学生发展为最高目标，从整体上建构师生学习共同使用的文本。学历案的设计是把“促进学生发展”作为教学的出发点和落脚点，遵循主体性、探究性、层次性和针对性四大原则，以学生立场为所有教学行为的原点，让学生在探究性学习中感受到学习的快乐，以学生发展为最高目标。其次，学历案建立了科学又实用的教学体系，即“教—学—评”。學历案在设计过程中强调基于学习目标设计学习过程，学习活动逐条对标学习目标。针对学习目标设计问题，引导学生在学习过程中完成相应的评价任务，预设主导性问题，作为学习的引擎，引领学生围绕核心概念深入思考、实践，想自始至终贯穿于整个学历案，为实现课堂的有效教学奠定基础。

（二）HPM教学可以与学历案教学有机融合

HPM教学法将数学史融进课堂教学，通过借鉴历史、重构历史，以学生为主体设计学习路径和问题，让学生亲身经历思维发展的过程，教师及时指导学生越过学习障碍。从历史的角度谈知识产生的过程，可以让学生领悟知识形成的必要性，提高学生学习的主观能动性；从历史的角度谈知识发展的过程，可以让学生产生身临其境的感觉去不断深入学习，从而促进知识迁移，提升学生的思维品质，培养学生的核心素养；从历史的角度谈知识发展过程中不断碰到的难题，可以让学生明白现在学习上的困难在历史上也有过，有助于培养学生学习的自信心，提升学生的意志品质。而学历案的精髓就是要让学生经历知识发生的过程，并能够从中自主建构知识脉络，掌握相关知识。在“课前准备”环节中，让学生明白“为什么学”；在“课题引入”环节中，让学生明白“学会什么”；在“概念学习”环节中，让学生明白“何以学会”；在“知识应用”和“课后反思”环节中，让学生明白“反思源于实践”。

由此可见，HPM教学法可以完美地融入学历案教学中，将两者有机结合在一起，既可以提高教学的趣味性，又可以提高学生学习的积极性，教学的有效性和针对性、学生学习的自主性和针对性也大大增加，是学历案学习与HPM视角下的课堂教学相结合的一次有益尝试。

参考文献：

［1］卢明，崔允漷.教案的革命：基于课程标准的学历案［M］.上海：华东师范大学出版社，2016.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］周叶文.评价任务的设计与实施［Z］.内部资料，2014.

［4］孟南昆.理论助力成长，教案变身学历案：“万有引力定律”教学设计反思［J］.物理教学探讨，2021（12）：72-76.

作者简介：耿幸（1982～），男，汉族，上海人，上海市嘉定区第二中学，研究方向：教育教学。