立足数学模型，建立知识结构，生成方法思想<br/>——以“全等三角形”复习课的教学为例

立足数学模型，建立知识结构，生成方法思想
——以“全等三角形”复习课的教学为例

2022-12-25仲进勇

数学教学通讯 2022年32期

关键词：全等三角形对角垂线

仲进勇

江苏省扬州市梅岭中学 225000

复习课应体现以学生为主体的教学理念，通过精心设计问题，让学生建构科学的知识体系，从中提炼好的数学思想方法，使数学素养得到培养.笔者曾主讲的一堂“全等三角形”的复习课，获得了同人的一致好评，现将案例整理成文，与各位同行交流.

课例简录

（一）教学环节1——基本图形出发，回顾全等判定

问题1：如图1所示，射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于点E，PD⊥OA于点D，观察图形，你能从中得到哪些结论呢？为什么？

图1

生1：因为射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于点E，PD⊥OA于点D，根据角平分线性质定理，得PE=PD；因为∠EOP=∠DOP，∠OEP=∠ODP=90°，所以∠EPO=∠DPO，即PO平分∠EPD.

生2：在△EOP 与△DOP 中，因为PE=PD，OP公用，根据斜边直角边定理，得Rt△EOP≌Rt△DOP，所以OE=OD.因为OE=OD，EP=DP，根据线段垂直平分线的逆定理，得直线OC是线段ED的垂直平分线.

师：很好，这两位同学重点关注了△EOP与△DOP的对应相等关系，如果从图形的整体来看，观察四边形EODP有什么特殊性质呢？

生3：四边形EODP是一个对角互补的四边形，因为∠OEP=∠ODP=90°，四边形内角和为360°，所以∠EOD+∠EPD=180°.

设计意图通过复习回顾角平分线性质的基本图形，让学生从线段之间的关系、角之间的关系、三角形之间的关系三个方面初步认识基本图形，为后续图形变换的学习做好铺垫.其中，引导学生观察四边形对角互补的特征，旨在培养学生整体感知图形的意识，让学生养成善于观察思考和善于总结的良好思维意识.

（二）教学环节2——变换图形，探究发现

问题2：如图2所示，射线OC是∠AOB的角平分线，∠PEO+∠PDO=180°，你能从图中得到哪些结论呢？

图2

生4：因为∠PEO+∠PDO=180°，根据四边形内角和等于360°，得∠EOD+∠EPD=180°.因为射线OC是∠AOB的角平分线，如图3所示，过点P向∠AOB两边作垂线，即PM⊥OB，PN⊥OA，垂足分别为点M，N，根据角平分线的性质，得PM=PN.

图3

师：在图3中，根据角平分线的性质，得线段PM=PN，那么线段PE与PD有何数量关系呢？

生5：线段PE=PD，因为四边形PMON是对角互补的四边形，即∠EOD+∠MPN=180°，而∠EOD+∠EPD=180°，根据同角的补角相等，得∠MPN=∠EPD，所以∠EPM=∠DPN，在△PME与△PND中，因为∠EMP=∠DNP=90°，∠EPM=∠DPN，PM=PN，所以△PME≌△PND（ASA），所以PE=PD.

师：很好！这位同学应用全等三角形证明了PE=PD，关于证明PE=PD还有其他的思路吗？

生6：既然四边形PEOD是对角互补的四边形，那么四边形EODP是圆的内接四边形，如图4所示，当点E，O，D，P四点共圆时，因为射线OC是∠AOB的角平分线，所以∠EOP=∠DOP，根据圆周角定理，得弧EP=弧DP，根据圆心角定理，得EP=DP.

图4

师:从这里我们初步发现，在对角互补的四边形中，如果一条对角线平分一个角，那么对角的两边相等.

设计意图笔者首先让学生独立思考，自主得到结论，然后顺着学生作出的两条垂线引导学生探究线段PE与PD的数量关系，学生自然能利用全等三角形去证明.为了拓展学生思维，加强知识融合，笔者引导学生寻找不同的解法，于是有了辅助圆的解法.此题主要培养学生学会分析题意和善于将未知图形转化为基本图形，在教学过程中，学生可能说出的结论比较多，这就需要教师抓住核心——探究的结论进行引导，进行总结归纳，让教学主线更突出.

（三）教学环节3——典例剖析，强化模型

问题3：如图5所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是AC的中点，∠EDF=90°，求证：DE=DF.

图5

师：题中重要的已知条件是什么?欲求证的结论是什么？

生7：题中重要的已知条件包括：（1）△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC；（2）点D是底边AC的中点；（3）∠EDF=90°.欲求证的结论是：DE=DF.

师：图5中存在前面学过的几何模型吗？为什么？如何把几何模型转化为基本型呢？

生8：图5中存在前面学过的几何模型，即对角互补的四边形EBFD，因为∠ABC=90°，∠EDF=90°，所以四边形EBFD是对角互补的四边形.为了转化几何模型，需要连接BD，如图6，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N.

图6

生9：因为△ABC是等腰直角三角形，点D是底边AC的中点，根据等腰三角形三线合一，得BD平分∠ABC.因为DM⊥AB，DN⊥BC，根据角平分线的性质，得DM=DN.在四边形BMND中，因为∠DMB=∠DNB=∠ABC=90°，所以∠MDN=90°.因为∠EDF=90°，根据同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF.因为∠DMB=∠DNF=90°，DM=DN，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

师：很好！这位同学使用了作垂线的方法构造对角互补的基本图形.除了这种方法，还有没有其他的方法呢？

生10：也可以只连接BD，通过证明△EBD≌△FCD，得到DE=DF.因为在△EBD 与△FCD 中，∠EBD=∠C=45°，BD=DC，∠EDB=∠FDC，所以△EBD≌△FCD（ASA）.

生11：也可以连接BD，证明△AED≌△BFD，得到DE=DF.因为△AED 与△BFD 中，∠A=∠DBF=45°，AD=BD，∠ADE=∠BDF，所以△AED≌△BFD（ASA）.

设计意图问题中BD是∠ABC的角平分线是隐含条件，有利于培养学生挖掘隐含条件的能力.通过引导，学生发现了解决这个问题的三种方法，提高了灵活运用知识解决问题的能力.

（四）教学环节4——变式训练，提高转化能力

问题4：让图5的∠EDF绕点D旋转一定的角度，如图7所示，BD是所在直角的平分线，DE交直角的反向延长线于点E，∠EDF=90°，求证：DE=DF.

图7

师：题中的图形能否转化为对角互补的四边形呢？方法是什么？

生12：题中的图形可以转化为对角互补的四边形，方法仍然过点D作直角两边的垂线DM，DN，垂足分别是点M，N，其中四边形MBND就是对角互补的四边形，如图8所示.

图8

师：接下来如何证明DE=DF？

生13：可以通过证明△MDE≌△NDF，得到DE=DF.因为BD是角平分线，DM，DN是垂线，根据角平分线性质定理，得DM=DN，因为∠MBN=90°，所以∠MDN=90°；因为∠EDF=90°，根据同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF；在△MDE与△NDF中，因为∠MDE=∠NDF，DM=DN，∠DME=∠DNF=90°，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

师：这位同学利用作双垂线构造对角互补的四边形获得了证明，还有其他的方法吗？

生14：还可以过点D作BD的垂线交BF于点N，通过证明△BDE≌△NDF，得到DE=DF，如图9所示.