一类阶为2p2q的CA-群①

2022-12-25仝巍林子靖周伟

西南师范大学学报（自然科学版） 2022年10期

仝巍，林子靖，周伟

西南大学数学与统计学院，重庆 400715

对特殊子群的研究一直是有限群论中的一个热门课题．例如文献[1-6]通过研究交换子群、极大交换子群、循环子群等，得到了群的性质与结构．群的交换性是群结构复杂程度的一个重要体现，而群中元素的中心化子也与群的交换性有密切联系，并且对群结构有着很大的影响．

如果对于任意x∈G(G)，都有CG(x)交换，则群G被称为CA-群．CA-群在群结构的研究中有着非常重要的作用，关于CA-群的研究也是人们一直十分感兴趣的问题．文献[7]证明了CA-群是单群或者可解群．文献[8]构造出了偶数阶CA-单群．文献[9]证明了偶数阶CA-群是Frobenius-群、交换群或特殊射影线性群PSL(2， 2m)，其中m>2．文献[10-11]研究了根据群的阶去判定CA-群．文献[12-15]研究了根据中心化子的个数去确定群的结构．

本文继续进行这方面的研究，得出结论：若|G|=2p2q，其中p

为了便于证明本文的结论，下面给出几个相关的引理：

引理1[14]设p为有限群G的最小质因子，如果G的Sylowp-子群循环，则G有正规p-补．

引理2[15]设G是一个群，如果G/Z(G)是循环群，则G是交换群．

引理3[16]对于素数p

引理4[10]如果|G∶Z(G)|=pqr，则群G是CA-群，其中p，q，r是素数(p，q，r可以相同)．

本文所涉及的群都是有限群，所用符号都是标准的．

有了前面的预备知识，现在可以对本文的主要结论进行证明．

定理1若|G|=2p2q，其中p

证群G的Sylowp-子群的个数np=1+ap，np|2q．由条件q为奇素数，p|/q-1可知np≠2，q．下面对np的值分情况讨论．

如果np=1，此时G的Sylowp-子群只有一个，记为P，P◁_G．设Q∈Sylq(G)，则PQ=P×|Q．考虑Q在P上的作用，若P为p2阶循环群，则

|Aut(P)|=p(p-1)

若P为(p，p)型初等交换p-群，则

|Aut(P)|=(p2-1)(p2-p)

而(|Q|， |Aut(P)|)=1，故Q在P上作用平凡，因此PQ=P×Q．又因|G∶PQ|=2，从而有QcharPQ◁_G，则Q◁_G，结论成立．

如果np=1+ap=2q，考虑G的Sylowq-子群的个数nq=1+bq，nq|2p2．由条件p

若nq=1+bq=p2，则q|p2-1，即q|(p+1)(p-1)，与p，q均为奇素数矛盾．

若nq=1+bq=2p2，此时G中q阶元的个数为2p2(q-1)=2p2q-2p2，G中只剩下2p2个元．而此时G有2q个Sylowp-子群，分别记为Pi(i=1，2，…，2q， 2q>3)，它们最少需要的元素个数不小于

矛盾．

若nq=1+bq=2p，此时np=1+ap=2q，从而有

(4-ab)q=a+2

其中a，b为正整数，q≥5为奇素数．此等式只有在a=3，b=1，q=5 时才可能成立，在此种情况下有

|G|=2·32·5=90

由引理1可知G有正规2-补，记为H． |H|=32·5，H的Sylow 5-子群的个数为1+5k|32，则H只有唯一的Sylow 5-子群，记为M．从而有McharH◁_G，则M◁_G，即90阶群的Sylow 5-子群正规，结论成立．若nq=1，则Q◁_G，结论成立．

综上所述，群G的Sylowq-子群正规．

定理2设|G|=2p2q，其中p

证反证法．若群G不是CA-群，则存在x∈G(G)，有CG(x)不交换．由x∈G(G)，可知Z(G)〈x，Z(G)〉．又根据CG(x)不交换，可知Z(CG(x))CG(x)，从而可以得到一个子群链，即

{1}⊆Z(G)〈x，Z(G)〉⊆Z(CG(x))CG(x)G

(1)

当|Z(G)|>1时，由(1)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则是循环群．根据引理2知CG(x)交换，矛盾．

当|Z(G)|=1时，〈x，Z(G)〉=〈x〉，此时子群链变为

{1}〈x〉⊆Z(CG(x))CG(x)G

(2)

接下来考虑x的阶．当x的阶为合数时，由(2)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则它必为循环群，故CG(x)交换，矛盾．当x的阶为素数时，若〈x〉≠Z(CG(x))，则CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则为循环群，故CG(x)交换，矛盾．因此只需考虑x的阶为素数且〈x〉=Z(CG(x))，即CG(x)/Z(CG(x))的阶为两个素因子的情况．

下面对|x|的值分情况讨论．

情形1 |x|=2．

因为|x|||CG(x)|，则|CG(x)|=2pq，2p2．

若|CG(x)|=2pq，则有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

又因p|/q-1，则根据引理3可知CG(x)/Z(CG(x)) 为循环群，又根据引理3知CG(x)交换，矛盾．

若|CG(x)|=2p2，则有CG(x)=HK，其中H，K分别为CG(x)的Sylow 2-子群和Sylowp-子群．又因为H≤Z(CG(x))，则CG(x)=H×K，故CG(x)交换，矛盾．

情形2 |x|=p．

此时|CG(x)|=p2q，2pq，2p2．

若|CG(x)|=p2q，则有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

根据上面的讨论可知CG(x)/Z(CG(x))为循环群，故由引理2可知CG(x)交换，矛盾．