李超代数到Kac模的一阶上同调

张子璐，孙丽萍，王淑娟

(1.哈尔滨理工大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150080；2.上海海事大学 文理学院，上海 201306)

由于物理学的需要，李超代数的研究发展迅速并且有了许多成果.Kac[1-2]首先对某些特征零典型李超代数的有限维表示进行了研究，将特征零典型李超代数的有限维表示分为typical和atypical 2类，构造了Kac模这一表示形式，并给出了Kac模不可约的充要条件；Shu等[3]研究了模李超代数W(m,n,1)的限制Kac模以及既约Kac模不可约性的充要条件；另外，Yao[4]研究了S(n)和H(n)的非限制表示，给出了具有某些p-特征标的既约Kac模的不可约性的刻画.众所周知，上同调理论对于李超代数的研究和发展具有重要作用，借助上同调这一方法Wang等[5-6]探究了sl2|1到χ约化指标集的Kac模和单模的一阶上同调，又研究了李超代数sl2|1到具体Kac模的一阶上同调.

1 预备知识

设M为李超代数L-模，φ是L到M的Z2-齐次线性映射，且满足

φ([x,y])=(-1)|φ‖x|x·φ(y)-(-1)|y|(|φ|+|x|)y·φ(x),∀x,y∈L,

(1)

则称φ是L到M的导子；若存在m∈M，使得φ(x)=(-1)|x‖m|x·m，∀x∈L,则称φ为内导子. 否则，称为外导子.

定义1[5]设h是L的Cartan子代数，L与M关于h的权空间分解为L=⊕α∈h*Lα和M=⊕α∈h*Mα，φ是一个L到M的导子，若满足φ(Lα)⊆Mα，∀α∈h*，则称φ为关于h的权导子.

记Der(L,M)和Ider(L,M)分别为L到M的导子空间和内导子空间，L到模M的一阶上同调为

H1(L,M)=Der(L,M)/Ider(L,M).

(2)

2 Kac模的构造与权空间分解

下面进行Kac模的构造.首先要找到具有最高权λ的有限维不可约g0-模M(λ).设λ=aε1+bε2，其中a,b∈F，ε1,ε2∈H*,使得εi(hj)=δij,i,j=1,2.λ是H在V内的一个权，选取V内的一个极大权向量vλ，令hi·vλ=λ(hi)vλ，i=1,2,α·vλ=0，归纳定义vk=βk·vλ(0≤k≤p-1)，且βp·vλ=0，根据下面的引理，可以完成具有最高权λ的有限维不可约g0-模M(λ)的寻找.

引理11)h1·vk=(a+k)vk,h2·vk=(b-k)vk,0≤k≤p-1；

证明:1)由vk=βk·vλ和导子定义有

同理可得h2·vk=(b-k)vk.

2)运用1)的结论，有下式成立：

α·vk=α·(βk·vλ)=[α,βk]·vλ+βk·(α·vλ)=

当k=0时，α·vk=0；当1≤k≤p-1时，α·vk=k(b-a-k+1)vk.故

3)通过计算有

β·vk=β·(βk·vλ)=βk+1·vλ=vk+1.

当k=p-1时，β·vk=0；当0≤k≤p-2时，β·vk=vk+1.故

证毕.

Kac模的权与权向量见表1.

表1 Kac模的权与权向量Tab.1 Weights and weight-vectors of Kac module

3 李超代数到Kac模的一阶上同调

引理2[5,8]任何一个李超代数g到g-模M的导子都是一个权导子与内导子之和.

注1 由引理2可知，要计算g到Kac模的一阶上同调，只需要计算g到其Kac模的权导子.关于g的权与权向量见表2.

注2 根据引理2和一阶上同调的定义，计算g到其Kac模K(λ)的一阶上同调，只需考虑关于H在K(λ)中与g有相同权的权向量，再根据式(2)即能找到g到其Kac模的一阶上同调.在不引起混淆的情况下，将外导子在一阶上同调中的像仍用该外导子本身表示.

进而可得K(λ)的权与权向量,见表3.

表2 g的权与权向量Tab.2 Weights and weight-vectors of g

表3 K(λ)的权与权向量Tab.3 Weights and weight-vectors of K(λ)

定理1H1(g,K(λ))=0.

证明:根据注2计算g到K(λ)的一阶上同调，只需考虑g到K(λ)的权导子.为此设φ是g到K(λ)的权导子，由表2和表3可设

比较系数得a2=0，即

又由

比较系数得a3=0，即

同理可得

比较系数可得a1=2a5，联立a1=2a4和a1=2a5，有a1=2a4=2a5，设为2c.因此

综上所述，由一阶上同调的定义可得H1(g,K(λ))=0，证毕.