一阶非线性微分方程解法探析

摘 要：近代物理、数学和天文学等理论研究中，经常会建立关于变量的等式，而这些变化率或者导数构建的方程就是微分方程。这其中，不管是一阶、二阶还是多阶的微分方程，都是要基于一阶微分方程的解，然后再经过变量的替换求解多阶方程。在此，笔者对基本的一阶非线性微分方程的求解方法展开讨论。

关键词：一阶；非线性微分方程；伯努利方程

一、前言

随着科学技术的发展，在很多领域出现了非线性问题，如对宇宙空间的研究、对地理环境的考查、对生物多样性的分析等，都会涉及非线性问题。在电力生产及电力系统，或者与数学分支有交叉的研究领域，也常需要用到非线性问题的求解来分析和计算电力系统的控制问题，为电力系统提供一些有价值的理论依据。在实际的生活中，也经常会碰到很多非线性问题。而要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，通过求解计算了解他们之间的对应关系。所以，微分方程的求解过程对科学研究、社会生活和经济发展都有特殊的意义。数学作为理论联系实际的一种最为关键的工具，更应该发挥它的巨大作用。而众多非线性问题的高阶方程都是以一阶微分方程为基础，所以研究清楚一阶微分方程的解法，对其他问题的解决有重大的推动作用。本文列举一阶非线性微分方程中两种常见的解法，对其展开具体的讨论和分析。

二、微分方程的定義及特点

将一个未知数函数与该函数的导数以及自变量这三者联系起来建立的等式称为微分方程。而平时所说的微分方程的阶数就是指该方程中未知数导数的最高阶数。如像y′+P（x）y=f（x）这个方程，导数的最高阶数为一阶，所以就称之为一阶微分方程。

我们在解决一些非线性问题时第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能满足条件的对应函数，将这一函数代入原方程能使等式两边恒成立，这一个过程就是微分方程的求解过程，找到的这一函数就称为该微分方程的解。如函数y=f（x）存在n阶连续导数y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就称为该微分方程的解。而对于一阶微分方程，实际上就是该方程的一个特例，通常在寻找特解时需要规定方程的初始条件或者处值时：如x=x0时，y=y0，而x0和y0就是给定的具体值，再求出微分方程的特解。

三、微分方程的两种基本解法

1.常数变易法。非线性微分方程没有固定的解法，但是很多常见的方程也可以使用线性微分方程中的常数变易法来求解。我们可以将其转化为线性微分方程，然后利用线性微分方程中常用的常数变易法来进行类似的求解过程。

2.数值解法。在电路问题中，经常碰到一些一阶或者多阶的非线性问题，而通过数值方法则可以解出各变量之间对应的关系。在这些非线性问题中，要想通过积分求出具体解，则需要规定很多初始值。利用x0和h得到x1，x2，...xn这些节点，代入方程就可以计算出对应的y1，y2，...yn等值。这就是一阶非线性微分方程的差分数值解法。

欧拉法也有其缺点，它选取切线的端点作为每一步的起点进行计算，每一小步都会有细微的误差，所以最终的误差会因为步数的累积而变大。所以在实际问题计算时，为了减小误差，提高精度，常采取改进的欧拉公式，计算区间两端函数值的平均值，以此作为直线方程的斜率。原始欧拉法的精度只有一阶，而改进后的欧拉法的精度为二阶。

四、结论

本文所介绍的两种方法是解高阶微分方程的基础，相关领域的研究人员应当对此解法非常熟悉。微分方程反应的是变量之间的间接关系，而求解过程就是给出这些变量的直观表达。由文中也可以看到高阶的微分方程都是有一阶方程演变而来，所以一阶微分方程是基础。希望通过对这些基本解法的探讨，可以给予研究人员一些启发，使高等数学理论知识和数学教育思想的发展更为长远。

参考文献：

[1]曾昕.一类非线性偏微分方程若干求精确解方法的研究[D].大连：大连理工大学，2005.

[2]李保安.非线性偏微分方程的两类精确解法[D].长春：吉林大学，2006.

[3]于耀东.非线性偏微分方程精确解的研究[D].上海：东华大学，2010.

[4]梁小磊.非线性偏微分方程及其数值计算[D].合肥：合肥工业大学，2010.

[5]杨洋.非线性偏微分方程几种解法的研究[D].南京：南京信息工程大学，2011.

[6]贾小勇，张小芳.一阶偏微分方程完全积分概念的起源[J].西北大学学报（自然科学版），2007（4）：675-679.

作者简介：朱慧媛（1985— ）女，吉林洮南人，硕士研究生，助教，研究方向：基础数学。