探究2022年新高考Ⅰ卷第18题的多种解法及启示

李增涛

(江苏省扬州市仙城中学 225200)

1 试题再现

2 解法探析

2.1 第(1)问解析

即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

即cos(A+B)=sinB.

得cos(π-C)=sinB.

即-cosC=sinB.

即cosC=-sinB.(说明C为钝角，B为锐角)

即cosAcosB=sinB+sinAsinB.

由cos(A+B)=sinB.(学生自然能联想到余弦函数在(0,π)上是单调函数和诱导公式)

cosA(1+cos2B)=sin2B(1+sinA).

即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.

即cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B-cosA.

即cos(A+2B)=sin2B-cosA.

即cosB=2sinBcosB.

解法4 由题意可知

2.2 第(2)问解析

由(1)得-cosC=sinB.

即cosC=-sinB且C为钝角，B为锐角.

而这个式子还容易联想到平方关系，利用平方关系消元即

sin2A=sin2(B+C)

=(sinBcosC+cosBsinC)2

=(-cos2C+sin2C)2

=(2cos2C-1)2

=4cos4C-4cos2C+1，

令1-cos2C=t,则0

解法2 由(1)得cos(A+B)=sinB.

(以下同解法2)

从本题的解法可以发现命题者的一个意图：大部分学生对于如下两种转化很熟悉：

(1)互补转化：如cos(A+B)=-cosC;

sin(A+B)=sinC.

但是本题要分析化简等式：-cosC=sinB，该式对中等靠刷题的学生而言就有困难了，不能随机应变导致学生在短时间内不能清晰地化简出来，找不到解题方向，所以我们在平时的教学中既要归纳总结常见结论，更要注重结论的得来过程，认清变化的本质，不能仅靠刷题来提升解决问题的能力.

实际上，对于我们教师而言，摆在我们眼前的问题就是怎样优化高中数学教学过程，怎样深度思考发现教学的本质，以此来促进学生的核心素养提升.