关注立体几何常考题型

章莹莹

(江苏省新海高级中学 220006)

必修二教材所学立体几何知识，主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力，同时又突出地体现了“数形结合思想”“转化思想”“分类与整合思想”等数学思想方法在解题中的灵活运用能力.关注立体几何这部分知识在试题中一般是如何考查的，有利于帮助同学们巩固基本知识，理清常用思想方法，进而提高学习的针对性和有效性.

1 考查空间的点、线、面之间的位置关系

例1 设α,β,γ是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，有以下四个命题：

①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；

②若α∥β，α∥γ，则β∥γ；

③若m∥n，n⊂α，则m∥α；

④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

上述命题中的真命题有( ).

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

解析考虑长方体，我们很容易找到反面例子，可说明命题①和③均不正确.根据平面与平面之间的平行传递性，可知命题②正确.根据直线与平面平行的性质定理以及平面与平面垂直的判定定理，可以证明命题④正确.从而，上述命题中的真命题有②④.故选B.

反思与总结关于空间点、线、面位置关系的判断，一般来讲，如果要说明所给位置关系是正确的，那么就需要利用相关的公理、判定定理、性质定理等加以具体证明；如果要说明所给位置关系是不正确的，那么只需要我们找出一个具体的反例即可(而找反例时，经常考虑的是正方体、长方体、三棱锥、圆柱等熟悉的几何体).

2 考查利用判定定理证明有关的平行、垂直问题

例2如图1所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱A1B，A1C的中点分别为点E，F，点D在B1C1上，且满足A1D⊥B1C.

图1

(1)求证：直线EF∥平面ABC；

(2)求证：平面A1FD⊥平面BB1C1C.

证明(1)因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF是△A1BC的中位线，所以根据三角形中位线性质定理可得EF∥BC.

又因为直线EF⊄平面ABC，直线BC⊂平面ABC，从而根据直线与平面平行的判定定理即得直线EF∥平面ABC.

(2)根据直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥平面A1B1C1.

又注意到A1D⊂平面A1B1C1，

从而可得BB1⊥A1D.

于是，结合A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1，

根据直线与平面垂直的判定定理即得

A1D⊥平面BB1C1C.

又A1D⊂平面A1FD，

故由平面与平面垂直的判定定理得平面A1FD⊥平面BB1C1C.

反思与总结立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于试题主要考查的就是有关判定定理在解题中的灵活运用，所以需要优先考虑对应的判定定理，以便迅速找到具体的解题思路.此外，值得特别提醒的是：作为证明题，利用立体几何中有关平行或垂直的判定定理时，必须将理由书写完整，这是解答题规范书写的基本要求.否则，就会被适当扣分.

3 考查利用其他方式证明有关的平行、垂直问题

例3如图2所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，F是棱AB的中点，而E是棱AD上的一个动点，底面ABCD是等腰梯形，且满足AB∥CD，AB=2CD，求证：直线A1E∥平面FCC1.

图2

证明因为由题意知

所以可知四边形AFCD是平行四边形.

从而可得CF∥AD.

又直线CF⊂平面FCC1，直线AD⊄平面FCC1，

从而可得AD∥平面FCC1.

①

根据直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，

可得CC1∥DD1.

又因为直线CC1⊂平面FCC1，

直线DD1⊄平面FCC1，

从而可得DD1∥平面FCC1.

②

于是，根据①②及AD∩DD1=D，

可知平面AA1D1D∥平面FCC1.

又因为直线A1E⊂平面AA1D1D，

所以根据面面平行的性质即得直线A1E∥平面FCC1.

反思与总结证明立体几何中有关平行或垂直问题时，如果对应的判定定理不能够直接运用，那么就需要我们去考虑其他的证明途径.例如：要证明线面平行就可以先证面面平行，再利用面面平行的性质.再例如：要证明线面垂直就可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质.

4 考查“转化思想”在解题中的灵活运用

图3

解析如图3所示，作出正三棱锥P-ABC的侧面展开图，则△AEF的周长就是折线段AEFA′的长.

又结合图形知折线段AEFA′的长的最小值为线段AA′的长.从而，本题即求线段AA′的长.

故所求△AEF周长的最小值为6.

反思与总结立体几何中遇到有关求最小值问题，往往不能直接求解，而需要先考虑其对应的侧面展开图，从而便于我们将不熟悉的“立体几何”问题转化为熟悉的“平面几何”问题，显然有利于目标问题的进一步分析与顺利求解.

5 考查“分割组合思想”在解题中的灵活运用

例5如图4所示，已知△ABC，满足∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在△ABC内挖去一个半圆，且半圆的圆心O在边AC上，半圆与边BC,AB分别相切于点C,M，与边AC交于点N，那么图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____.

图4

解析根据题意，可知得到的旋转体是一个圆锥中挖去了一个球.

反思与总结处理立体几何中有关体积计算问题，一般比较简单的情形就是能够直接利用相关体积公式加以求解.而对于比较复杂的情形，就需要我们灵活运用“分割组合思想”去分析、解决问题.

以上，通过归类解析的形式，着重归纳总结了必修二立体几何部分有关常考题型.结合具体例题的剖析，可帮助学生加深对教材中有关公理、判定定理、性质定理的准确理解，提高对相关数学知识、思想方法的整合与运用能力，拓宽解题思维视野，积累解题经验，从而提升直观想象、逻辑推理与数学运算方面的核心素养.