对“布洛卡点”几何模型的几点思考

金 毅

(内蒙古自治区呼和浩特市第二中学 010000)

布洛卡点是一类重要的几何模型，在很多与几何有关的问题中有重要应用.我们从布洛卡点的定义出发展开思考.

1 对布洛卡点定义与存在性的思考

命题1(布洛卡点定义)如图1，已知△ABC中，P是内部一点，当∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，点P为△ABC的布洛卡点.角θ为布洛卡角.

图1

思考在此定义中，我们有两点疑问.一是对任意的三角形，是否一定有布洛卡点？二是如果存在，如何找到布洛卡点？我们将通过以下命题来进行探究.

命题2(布洛卡点的存在性)如图2，在锐角△ABC中，过点A作垂直于AB的直线l，过点B作垂直于BC的直线m，过点C作垂直于AC的直线n，其中，l∩m=D,m∩n=E,n∩l=F，作△ABD,△BCE,△ACF的外接圆，证明：三圆共点于P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA.

图2

故∠APC+∠APB=2π-∠AFC+∠ADB.

即∠AFC+∠ADB=2π-∠APC+∠APB=∠BPC.

同时∠AFC+∠ADB=π-∠BEC.

所以∠BPC=π-∠BEC.

故B,E,C,P四点共圆，则这三圆共点于P.

接下来证明角相等.

在圆APBD中，可得

根据BD⊥BC，可得

所以∠PAB=∠PBC.

同理，可以证得∠PAB=∠PCA.

综上，∠PAB=∠PBC=∠PCA.

图3

所以B,P,C,E四点共圆.则三圆共点于P.

所以∠PAB=∠PBC.

由此，我们得到，布洛卡点的存在性与三角形形状无关，也即对任意形状的三角形均存在布洛卡点，这是非常重要的.同时，通过对命题2的研究，我们也得到了在任意三角形内寻找布洛卡点的方法.

2 对布洛卡点性质的思考

从定义出发，我们进一步思考，提出若干命题，对布洛卡点的性质进行拓展延伸.

命题3如图1，已知△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，P是布洛卡点，则有等式cotA+cotB+cotC=cotθ成立.

证明如图1，根据命题1，可得

∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ.

设△ABC的面积为S，且AP=x,BP=y,CP=z，

对以上cotθ三式使用合比定理,得

命题4已知△ABC中，P为布洛卡点，当A=2θ时，则有a2=bc.

所以a2=bc成立.

图4

证明根据命题3，有

综上，△ABC为等边三角形.

命题6在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，则有θ≤30°

思考本例说明三角形中布洛卡角的取值范围不会超过30°.并且根据命题5，当布洛卡角恰好取到30°时，此时△ABC为等边三角形.

命题7 在锐角△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

同理，可得cotC

以上相加，可得

cotA+cotB+cotC

根据命题3，即tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

根据命题3，a2+b2+c2=4Scotθ.

命题9 在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

证明根据a2+b2+c2≥ab+ac+bc，可得b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2≥ab+ac+bc，2bccosA+2accosB+2abcosC≥ab+ac+bc.

根据正弦定理，可得

2sinBsinCcosA+sinAsinCcosB+sinAsinBcosC

≥sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC.

不等式两边同除sinAsinBsinC，可得

2cotA+cotB+cotC≥cscA+cscB+cscC.

根据命题3，可得2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

3 对布洛卡点模型应用的思考

图5

分析当∠APB=150°时，∠APC=120°，可知∠PCA+∠PAC=∠PCA+∠PCB=60°.

所以∠PAC=∠PCB.

同理可得∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAC=30°.

所以∠PBA=∠PAC.

设∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ，可知点P为△ABC的布洛卡点.

根据命题2，可得cotA+cotB+cotC=cotθ.

思考本例首先通过证明∠PAC=∠PBA=∠PCB，说明点P是△ABC的布洛卡点，之后使用相关结论迅速解决∠PBA的正切值.当然，在这样的问题中，除了布洛卡点的性质之外，我们还可以使用“角元塞瓦定理”，也即

这说明布洛卡点的模型也可用塞瓦定理处理.

布洛卡点是平面几何中非常重要的几何模型，总结本文，有几点需要重点关注.

(1)布洛卡点对任意三角形均存在，是三角形内的等角点，因而可能得到角相等或者相似的结论.

(2)布洛卡角和三角形的三个内角有密切联系，它们的三角函数值存在着很多相等与不等关系，这里有很多命题值得挖掘；布洛卡点的问题可以借助别的定理解决(如塞瓦定理等)，在思考时要充分对数与形的关系进行结合.数与形是数学中永恒不变的主题，良好的结合会对数学思维有极大地提升，这也是思考数学问题的乐趣所在.