研题“四部曲”，解题新境界

⦿江苏省常州市北郊高级中学 顾海波

1 问题呈现

高考真题(2020年高考数学江苏卷第11题)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是________．

2 第一部曲：会读

等差数列与等比数列是两种特殊类型的基本数列，它们有着各自的定义、性质、通项公式与前n项和公式等，相互之间既有联系又有区别．在一些综合应用问题中，经常会碰到等差数列与等比数列之间的融合与交汇问题，形式多样，创新新颖，是历年高考中的热点与亮点题型之一，倍受关注．

此题结合两个特殊类型的数列以创新全新形式呈现，利用一个等差数列与一个等比数列构成的和式数列{an+bn}的前n项和来确定公差d与公比q和的值．合理把数列、数论等相关知识加以有机交汇与融合，以创新新颖的面貌展示在大家面前．

题目简单明了，难度适中，巧妙综合了等差数列与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式等相关知识，是一道不可多得的数列创新综合题，值得好好品味与研究．

3 第二部曲：会解

美国数学教育家波利亚说过：“掌握数学就意味着要善于解题．”在读懂题意的情况下，会解决问题是基本能力之一，也是数学教育与学习的主要目的．

3.1 思维视角一：代数运算

方法1：代数运算法.

解析：当n=1时，S1=a1+b1=1-1+2-1=1.

当n≥2时，an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

所以

a2+b2=22-1+2×2-2=4，

a3+b3=23-1+2×3-2=8，

a4+b4=24-1+2×4-2=14.

由a2+b2=a1+d+b1q=4，

a3+b3=a1+2d+b1q2=8，

a4+b4=a1+3d+b1q3=14,

可得

d+b1(q-1)=3，

d+b1q(q-1)=4，

d+b1q2(q-1)=6.

即

b1(q-1)=3-d，

b1q(q-1)=4-d，

b1q2(q-1)=6-d.

故填答案：4．

点评：通过n的分类讨论以及数列{an+bn}的前4项的确定，结合a1+b1=1与相应的关系式进行代数运算，并结合条件关系式的转化建立相应的方程，从而得以确定d与q的值．其实，在确定an+bn=2n-1+2n-2时，分别利用等差数列与等比数列的函数性，可以直接确定an=2n-2，bn=2n-1，进而确定公差与公比的值.在解决小题时经常可以这样处理，以节省时间．

3.2 思维视角二：公式应用

方法2：对比系数法.

解析：等差数列{an}的前n项和公式为

根据题意知q≠1，则等比数列{bn}的前n项和公式为

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

点评：根据等差数列与等比数列的前n项和公式建立相应的关系式，结合条件Sn=n2-n+2n-1，通过对比相应关系式中的系数建立对应的方程组，进而确定相关参数d与q的值．从数列求和公式入手进行对比系数法处理，从而解决问题．

3.3 思维视角三：函数性质

方法3：待定系数法.

解析：根据等差数列与等比数列的函数性质，可知Sn=An2+Bn+C(qn-1)=n2-n+2n-1.

所以有A=1，B=-1，C=1，q=2.

所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

点评：根据等差数列与等比数列的函数性质，引入参数，直接确定对应的前n项和公式的表达式，结合条件Sn=n2-n+2n-1，通过对比相应关系式中的系数关系及待定系数法的转化，进而确定相关参数d与q的值．待定系数法，抓住数列的函数性，引入参数，巧妙快捷．利用数列的函数性质加以处理，充分体现了新课标数学高考的“多考思维，少考计算”的命题新理念，意在考查学生的分析、观察、归纳、猜想和逻辑推理等能力，充分体现学生思维能力的差异性，具有很好的选拔性与区分度．

4 第三部曲：会变

将原题从视角、深度、广度等方面加以思考与推广，进行多方位的认识与应用，从而充分体会与挖掘原题的训练与应用价值．

探究1：保留题目的背景，改变“两数列对应项的和式数列{an+bn}的前n项和”为“两数列对应项的积式数列{anbn}的前n项和”，深入拓展应用，提升问题难度，得到以下变式问题．

变式1设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{anbn}的前n项和Sn=(2n-4)·2n+4(n∈N*)，若b1=1，则d+q的值是________．

解析：当n=1时，S1=a1b1=(2×1-4)×21+4=0.

当n≥2时，anbn=Sn-Sn-1=[(2n-4)·2n+4]-[(2n-6)·2n-1+4]=(n-1)·2n.

上式也适合n=1的情形，所以

anbn=(n-1)·2n，n∈N*.

又anbn=[a1+(n-1)d]·b1qn-1=(b1dn+a1b1-b1d)·qn-1=(2n-2)·2n-1，对比系数可知

由b1=1，得d=2，所以d+q=2+2=4.

故填答案：4．

点评：同样的道理，通过n的分类讨论来确定数列{anbn}的通项公式，分别结合等差数列与等比数列的通项公式来建立与之相应的关系式，通过对比相应关系式中的系数建立对应的方程组，并结合相关条件确定参数d与q的值．

探究2：保留题目的背景，改变两个不同数列之间关系的给出方式，以通项公式的关系式为背景来设置问题，从另一角度加以合理变形，得到以下变式问题．

结合等差数列的通项公式，可知(a1+nd)(a1+nd-2d)=q(a1+nd-d)2对一切n∈N*恒成立.

整理，可得

因为q为常数，且n∈N*，所以d=0，q=1，可得

d+q=0+1=1.

故填答案：1．

点评：利用等比数列的定义，结合数列的递推关系式得到对应的关系式，将恒成立的关系式分离参数q，结合其为常数的隐含条件确定对应的参数值，进而利用数论的相关知识加以分析与推理，并结合相关条件确定参数d与q的值．

5 第四部曲：会学

高中数学学习的主要目的就是让学生会解决问题，会学习，特别是会自主学习，这才是素质教育的核心，也是学生终身学习的基础．结合数列知识的内涵，可以得到三个方面的启示，为学生学会自主学习指明方向．

5.1 把握实质

选择题或填空题中的数列小题，一般来说是中档层次的问题．对此类数列问题，学生经常出现的易错点是对数列本身属性的认识不够清晰，没有准确把握数列中相关要素之间的变化规律．在数列的教学过程中，教师要教会学生把握数列本身的规律，进而确定数列的通项或求和等相关问题，合理提升解题能力和数学能力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养．

5.2 交汇融合

在“知识网络交汇处设计试题”是高考数学大纲的明确要求与高考数学命题的指导思想之一.作为数学的主干知识之一的数列，更是多知识交汇与综合的重要载体，是创新应用与创新意识的更深层次体现，是每年高考数学中的热点与亮点之一．数列的交汇综合问题，以数列的相关知识为背景或串联点，把相关的数学知识加以合理创新与融合，巧妙通过数与形、数与数等的结合，沟通数学知识之间的联系，增强数学知识之间的交汇与综合，提升问题的趣味性与拓展性．

5.3 创新领航

数列问题的创新设计，把数列这一代数概念拓展到更为复杂与综合的角度进行展示，结合创新背景、创新知识、创新应用等，渗透不同类型的数列之间、数列与其他相关知识之间的联系与交汇问题.增强逻辑推理，多阅读，多推理.“多考思维，少考计算”，在一定程度上可以增强解题的综合性和趣味性，激发学生学习兴趣，发展分析能力和解题能力，以及数学知识的综合应用能力和逻辑推理能力等，全面提升数学品质，培养数学核心素养．