“问题引领”下的一类圆锥曲线定点问题的探究

⦿广东省广州市从化区第四中学 黄 强

数学探究是围绕某个具体的数学问题，开展探究活动，突出通过问题引领，培养学生解决问题的能力.笔者尝试以两条主线来组织一次课堂探究活动.第一条线是从一个问题抽象到一般问题；第二条线是基于学科知识发展逻辑.设计如下.

首先，教材中有很多结构相似的习题，因此先选择一个具体问题作为探究起点，确定探究方向.如，2003年人教版选修2-1复习参考题B组第3题和习题2.4的A组第6题，对比两题，B组第3题的点D容易使学生联想到定点问题，所以把B组第3题作为探究起点，把定点问题作为探究方向.

其次，平面解析几何知识的发展逻辑在于它的整体性，这有助于培养学生运用类比思维、数形结合思想解决问题，同时也有助于学生从整体上把握局部知识.

最后，由于是探究一些未知的知识，笔者与学生共同使用《几何画板》和Maple2019，特别是用Maple-2019解决一些复杂的推导过程时，学生对此表现出极大兴趣，这出乎笔者意料.下面笔者以“问题-证明-性质”形式呈现活动过程.

1 课本习题

图1

原题(2003人教版选修2-1复习参考题B组第3题)如图1，已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求p的值.

2 抛物线定点问题的探究

问题1D是定点吗？(答案显然是否定的.)

问题2已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，OA⊥OB，且直线OA,OB存在，直线AB是否恒过定点？

由此得到以下性质：

性质1已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，OA⊥OB，则直线AB恒过定点(2p,0).

问题3原题中抛物线上的定点为原点，比较特殊，如果一般化会怎样？(因此有如下问题.)

问题4已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，P为抛物线上一定点，PA⊥PB，直线AB是否恒过定点？

解析：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0).因为PA⊥PB，所以

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.

当直线AB斜率不存在时，直线AB也恒过该定点C，过程略.

因而得到以下结论：

性质2已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，P(x0,y0)为抛物线上一定点，PA⊥PB，则直线AB恒过定点C(2p+x0,-y0).

容易证明性质2的逆命题成立，因此有以下性质：

性质3已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，P(x0,y0)为抛物线上一定点，C(2p+x0,-y0)，若过点C的直线交抛物线于A，B两点，则PA⊥PB.

以性质3为依据，非常容易判断课本习题2.4A组第6题，原题如下:

已知直线y=x-2与抛物线y2=2x交于A，B两点,求证：OA⊥OB.

证明：因为直线y=x-2过点(2,0)，由性质3可得OA⊥OB.

利用《几何画板》进行探究，通过移动点A，发现线段PA，PB的中点轨迹呈现一定的规律.因此提出以下问题：

问题5已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，P(x0,y0)为抛物线上一定点，C(2p+x0,-y0)，若过点C的直线交抛物线于A，B两点，则线段PA中点的轨迹是什么？

因此，得到下面的结论：

利用《几何画板》继续探究，方法同上，提出以下问题：

问题6已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，P(x0,y0)为抛物线上一定点，PA⊥PB，PD⊥AB交AB于点D，求点D的轨迹方程.

因此得到下面的结论：

问题1至问题6，其过程是对特殊点O的一般化，从而把具体问题抽象为一般问题，体现了对问题本质的探究.另外，也可以将习题2.4A组第6题中的直线一般化，又可以生成一个对斜率的探究活动.我们知道，高中圆锥曲线主要包含椭圆、双曲线和抛物线三部分.从学生学习的视角看，三种曲线的方程形式、性质和图形各不相同，学生容易认为三部分是独立的.下面从数学思想的角度，把三部分的有机联系呈现给学生，予他们以“整体”观感.

3 活用性质解决高考真题

(2021年全国甲卷第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.(1)求C，⊙M的方程；(2)略.

下面运用性质1求第(1)问中抛物线C的方程.

4 结语

在新课程教学理念背景下，如何促使学生真正参与到“发现”数学知识和运用数学知识解决问题中，改变学生只会被动接受现成结论的习惯，从而真正学会学习，这是一个重要的问题.通过这次课堂探究活动，笔者感到，课堂教学做好“三足”是有益的.首先是教学要立足学科思想的引领， 立好这个“足”，提升课堂教学立意；其次是教学要立足教材中的资源，善用、活用教材中的例题、习题等，既可以避免效率低下的“刷题”“题海”，又可以真正做到激发学生思维；最后是立足改变教学方式，以数学家发现数学规律的方式去学习，改变学生只会接受现成结论的现状，从而培养学生的创新意识.