适应负载变化的准零刚度扭转隔振器设计与分析

张春松， 李学勇，2，3， 张 硕， 徐定民

(1. 山东大学 机械工程学院， 济南 250061； 2. 山东大学 高效洁净机械制造教育部重点实验室， 济南 250061；3. 山东大学 机械工程国家级实验教学示范中心, 济南 250061)

大多数来自机器人末端执行部件[1]的扭转振动会影响设备工作状态(如工作精度，稳定性，精度保持性等)，而在车辆[2]、舰船[3]等设备中，来自发动机的扭转振动会影响设备的安全性和舒适性。因此，研究如何消除扭转振动尤其是低频扭转振动对设备的影响是亟需解决的问题。准零刚度(quasi-zero-stiffness, QZS)隔振技术是一种典型的低频隔振技术，它通过将负刚度元件与正刚度元件并联，使隔振器在静平衡位置附近接近零刚度，与传统线性隔振器相比，QZS隔振器在具有良好承载能力的同时，具有更宽的隔振频带。QZS隔振器早期主要应用于平移隔振，有多种形式，Carrella等[4-5]提出的三弹簧结构利用对称的两条倾斜弹簧产生负刚度，抵消竖直弹簧产生的正刚度，并研究了不同参数对该系统隔振性能的影响。Shan等[6]利用两个环形磁铁提供负刚度，与气动弹簧并联设计了一种QZS隔振器。王云峰等[7]采用两端固支屈曲梁产生负刚度，与正刚度弹簧并联达到QZS特性，并分析了隔振器在平衡位置达到准零刚度的条件。Zhou等[8]将QZS理论引入扭转振动，设计了一种以凸轮-滚子机构作为负刚度机构的QZS扭转隔振器，用于衰减扭转振动沿轴系的传递。Zhang等在凸轮-滚子机构的基础上，研究了一种可以同时衰减扭转和平移方向的QZS隔振器，适用于螺旋桨等转轴系统。Zheng等[9]利用环形永磁弹簧作为负刚度机构，与橡胶弹簧并联，设计了一种QZS联轴器，可以同时承担传递静态驱动扭矩和隔离干扰扭矩的功能，文中还详细分析了永磁弹簧参数对隔振性能的影响。上述QZS隔振器均假定载荷是一固定值，在该载荷下，系统到达理想静平衡位置，接近零刚度，一旦载荷发生变化，系统将偏离理想静平衡位置，其实质是正刚度线性隔振系统，低频隔振效果将大大降低。

近年来，关于载荷变化对QZS隔振器隔振性能影响的研究得到了广泛关注。刘兴天[10-12]等从理论上研究了载荷变化对QZS隔振器隔振性能的影响，结论表明载荷变化会导致隔振器的有效隔振频带变窄，隔振效果变差。Lan等[13]利用平面弹簧作为负刚度机构设计了一种QZS隔振器，可以通过手动调节正刚度弹簧的位置适应载荷变化，通过调节负刚度弹簧的刚度大小与正刚度匹配实现QZS特性。Le等[14]设计了一种结构参数可自动调节的QZS隔振器，调节机构由两个直线电机和传动系统组成，结构复杂。王晓杰等基于正负刚度并联设计了一种半主动控制扭转减振器，用于控制汽车动力传动系统的振动和噪声，并且可以通过调节负刚度机构的平衡位置适应发动机转矩变化。Ye等[15]通过在竖直方向布置多个凸轮-滚子机构，设计了一种具有多个额定载荷的QZS隔振器，但是只适用于几个特定的载荷，不适用于载荷连续变化的场合。Xu等利用电磁弹簧作为负刚度元件，与正刚度元件柔性杆并联设计了一种QZS机器人关节执行器，用于降低机器人运行过程中扭转振动的传递，可以通过电流调节负刚度的大小，适应实际工作中负载和干扰扭矩的变化。上述刚度可调的QZS隔振器均是在正刚度不变的前提下，通过调节负刚度大小或者增加负刚度单元的数量来优化隔振器的性能，这些负刚度调节方式存在结构复杂，发热严重，能耗大等问题。

与已有研究不同，针对负载可变的转轴系统，本文提出一种正、负刚度可以同步调节的QZS隔振器实现原理，通过调节正刚度适应不同载荷，通过调节负刚度与正刚度匹配使隔振器在不同载荷下接近零刚度，且正、负刚度调整由一个机构同步实现，结构简单。正、负刚度单元分别采用弹簧片和环形永磁弹簧，并提出通过改变永磁弹簧内、外环轴向相对位置实现负刚度调节的原理。利用等效磁荷法建立了磁弹簧扭矩计算模型，分析了磁弹簧刚度与轴向相对位置的关系，利用谐波平衡法分析了不同载荷状态下激励幅值和阻尼对系统动态特性的影响，制作了物理样机，验证了隔振器的静力学特性。

1 工作原理和静力学分析

1.1 隔振器工作原理

刚度可调的正负刚度并联隔振器如图1所示，主要包括正刚度机构弹簧片、负刚度机构扭转磁弹簧和刚度调整机构。弹簧片一端固定在输入端外壳上，另一端通过输入触头将输入端扭矩传递到输出轴，提供正的扭转刚度，如图1(a)所示。扭转磁弹簧由N对(N为偶数)磁极组成，磁极被径向磁化且磁化方向交替变化，外磁环固定在输入端外壳上，内磁环固定在花键套上，花键套与输出轴之间通过花键连接，两者之间可以轴向相对移动，不能相对转动，因此磁弹簧可以将扭矩从输入端外壳传递到输出轴，提供负的扭转刚度，如图1(b)所示，图1(b)所示状态是隔振器的理想工作位置，此时磁弹簧提供的扭矩为0，隔振器的总恢复力矩全部由弹簧片提供，当载荷发生变化，隔振器将偏离理想工作位置，此时可以通过本文设计的刚度调节机构调节系统刚度，适应载荷变化。刚度调节机构主要由电机和丝杠螺母组成，电机、输入触头和花键套通过螺栓固定在一起，当电机转动，可以通过丝杠螺母机构同时调节内外磁环的轴向相对位置和弹簧片的有效作用长度，从而实现正、负刚度的同步调节，如图1(c)所示。

(a) 正刚度机构

1.2 磁弹簧负刚度调节原理

本文采用扭转磁弹簧作为负刚度元件，为了实现负刚度可调，提出通过改变扭转磁弹簧内、外环轴向相对位置实现负刚度调节的方案。

首先考察如图2所示两个磁铁间的扭矩，内环磁铁内外半径分别为r1和r2，内外表面分别记为1和2，夹角为θi，高度为b，外环磁铁内外半径分别为r3和r4，内外表面分别记为3和4，夹角为θj，高度为a。P、M分别为表面2和表面3上的任意一点，假设内外环磁铁的剩余磁感应强度Br相同，根据等效磁荷理论[16]，P、M之间磁力的周向分量可以表示为

(1)

式中，μ0=4π×10-7为真空磁导率。σm1和σm2分别表示两个磁铁的面磁荷密度，对于径向磁化的的磁铁，σm1=σm2=Br,rpm表示P、M两点间的距离，eθ表示与P点切线方向相同的单位向量，根据几何关系

(2)

因此，表面2和表面3之间作用力对中心轴的扭矩可以由下式计算

(3)

假设同级磁极之间磁力为正，异级磁极之间磁力为负，则图2所示两个磁铁之间的扭矩为4个表面相互作用扭矩的叠加，总扭矩为

Tij=T23-T24-T13+T14

(4)

图2 磁弹簧计算模型

对于由N对磁极组成的扭转磁弹簧，磁弹簧恢复力矩由Tm下式计算

(5)

扭转磁刚度Km可以通过式(5)对θ求导得到

(6)

式(5)可以通过MATLAB进行数值计算，为了验证解析计算的正确性，利用Maxwell有限元分析软件对扭转磁弹簧的扭矩进行计算，仿真模型如图3(a)所示，图3(b)给出了一个转动周期内的解析结果和有限元分析结果的对比，解析结果与有限元分析得到的结果基本吻合，因此验证了磁弹簧扭矩表达式(5)的正确性。

(a) 磁弹簧仿真模型

文献[9]对磁极对数、间隙、角度、厚度和长度对扭转磁弹簧刚度特性的影响做了深入分析，分析结果表明，通过选择合适的内外环磁铁角度，可以在平衡位置附近较大转角范围内获得稳定的负刚度，从而降低磁弹簧刚度在平衡位置附近的非线性，其他参数主要影响负刚度数值的大小。

假设外磁环固定，内磁环轴向位置为L，L=0表示内、外环轴向位置重合，磁弹簧在不同L下的扭矩特性只需相应改变式(3)中积分限b1,b2的值即可求得。根据文献[9]中磁极参数对磁弹簧扭转刚度特性的影响，结合试验条件，最终本文采用的磁弹簧参数设置如下：N=8，Br=1.17T,θi=30°，θj=45°，a=22 mm，b=22 mm，r1=25 mm，r2=30 mm，r3=35 mm，r4=40 mm。利用式(5)和(6)可以求得扭转磁弹簧刚度与内外磁环相对轴向位移L的关系，结果如图4所示。从图4(a)中可以看出，当相对角位移为-0.1～0.1 rad时，磁弹簧具有稳定的扭转刚度，此区间可以看作隔振器的有效工作区间，图4(b)为扭转磁弹簧平衡位置刚度与内、外磁环相对轴向位移的关系，L越大，负刚度值越小。

(a) 扭转刚度-相对角位移曲线

1.3 正负刚度匹配与零刚度特性

当隔振器相对角位移较小时，正刚度元件弹簧片产生的恢复扭矩Tl可以采用悬臂梁模型近似计算

(7)

式中：n为弹簧片数量；E为弹簧片的弹性模量；w为弹簧片截面宽度；h为截面厚度；R为弹簧片中心到输出轴轴心的距离；B为弹簧片的有效作用长度。

弹簧片提供的正刚度Kl为

(8)

由式(8)可知，弹簧片数量、材料、截面尺寸和安装位置一旦确定，弹簧片的刚度仅由有效作用长度B决定，根据并联刚度叠加原理，隔振器的总扭矩和总刚度分别为

T(θ)=Tm(θ)+Tl(θ)

(9)

K(θ)=Km(θ)+Kl

(10)

为了方便研究弹簧片参数对隔振器总刚度特性的影响，将式(8)改写为

(11)

式中，A=nEwh3R2/4。

当A一定，弹簧片有效作用长度初始值B0(对应L=0)对隔振器平衡位置刚度的影响如图5(a)所示，当B0较小时，弹簧片提供的正刚度较大，使得在整个位移调节区间内，平衡位置附近的刚度较大，而当B0较大时，刚度较小，甚至会出现负刚度，使系统处于不稳定状态，这在隔振器设计中是不允许出现的。当B0一定，A对隔振器平衡位置刚度的影响如图5(b)所示，参数A较小时隔振器总刚度会出现负刚度，A较大时，隔振器总刚度较大。总之，为了在整个调整区间内获得较小的隔振器刚度，同时保证刚度大于0，需要根据磁弹簧刚度特性综合选取合适的A和B0。

图5 不同参数对隔振器刚度匹配特性的影响

Fig.5 Influence of different parameters on stiffness matching characteristics of vibration isolator

根据1.2章中扭转磁弹簧的刚度特性，令A=1.4×10-3，B0=41 mm，得到隔振器在不同轴向位移L下的刚度特性曲线，如图6所示。从图6(a)中可以看出，隔振器在-0.1～0.1 rad内具有相对稳定的刚度值，且刚度值较小。图6(b)为隔振器在平衡位置处的刚度与轴向位移的关系，由于磁弹簧刚度和弹簧片刚度随轴向位移L的变化趋势不完全一致，导致在刚度调整范围内隔振器平衡位置的刚度并不是一个常数，而是在接近为0的小范围内变化，这种刚度变化对隔振器隔振性能的影响将在动态特性分析中进行讨论。图6(c)所示为不同轴向位移位置对应的隔振器静态负载。

(a) 隔振器刚度-角位移曲线

2 隔振器动态特性分析

2.1 建立动力学模型

隔振器的刚度和扭矩表达式是积分形式的，不利于进行动力学分析，首先对总刚度表达式(10)进行多项式拟合，由于总刚度K(θ)是关于θ的偶函数，可以采用下式进行多项式拟合

(12)

对式(12)进行积分，可以得到隔振器的总扭矩表达式

(13)

式中，ki为刚度多项式系数，mi=ki/(2i+1)。当隔振器参数确定，ki和mi随着相对轴向位移L变化。以1.2节中的磁弹簧参数和1.3节中的弹簧片参数为基础，利用式(1)～(10)可以求得隔振器总刚度的数值解，然后采用六阶多项式逼近总刚度，得到不同轴向位移L下的刚度多项式系数，如表1所示。图7为六阶多项式解与数值解的对比，可以看出，多项式解与数值解基本吻合，因此可以用六阶多项式代替原表达式。

表1 刚度多项式系数

假设隔振器输入端转角为θ1，输出端转角为θ2，I1,I2分别为输入端和输出端的转动惯量，隔振器的相对转角可以表示为θ=θ2-θ1，输入端受到干扰扭矩激励Tdcos(ωt+α)的作用，引入黏性阻尼系数c。建立系统的动力学微分方程如下

(14)

令：κ=I2/(I1+I2)，I=κ·I1，T0=κ·Td

表达式(14)可以写为

图7 隔振器刚度数值解与多项式解

(15)

对式(15)进行无量纲化处理，得到

(16)

对于式(16)所示的非线性微分方程，采用谐波平衡法求解，设方程的解为

φ=φcos(βτ)

(17)

将式(17)代入式(16)可以得到

-β2φcos(βτ)-2ξβφsin(βτ)+

(18)

式(18)可以展开为包含一次谐波和高次谐波的表达式，忽略高次谐波项，并令cos(βτ)和sin(βτ)的系数相等，得到系统的幅频响应关系为

(19)

扭矩传递率是衡量扭转隔振器隔振性能的一个重要参数，定义为通过隔振器传递到下一级的动态扭矩幅值与激励扭矩幅值之比，经隔振器传递到输出端的动态扭矩幅值可以表示为

(20)

则隔振器的扭矩传递率η可以表示为

(21)

2.2 隔振性能分析

令ξ=0.02，无量纲激励扭矩幅值t0分别为0.001，0.002和0.003，不同载荷条件下(对应不同位移L)激励幅值对隔振器扭矩传递率的影响如图8(a)～(e)所示。

分析图8(a)～(e)可以得到如下结论：

(1) 系统扭矩传递率曲线整体向右弯曲，呈现为硬刚度特性，且随着激励幅值增加，传递率曲线向右弯曲程度变大，共振峰右移。

(2) 系统平衡位置总刚度越小，越容易发生跳跃现象，如图8(a)～(c)所示，系统平衡位置附近的总刚度分别为2.1、0.8、0.1 Nm/rad，当激励幅值分别为0.003、0.002、0.001时，系统出现跳跃现象。同时可以看出，系统总刚度越小系统的起始隔振频率越小。因此，降低系统刚度可以提高系统的低频隔振能力，但是同时会使系统对激励幅值的变化更为敏感，增加系统的不稳定性。

(3) 图8(a)和(e)两种状态下平衡位置附近刚度大小相近，区别主要为图8(e)所示状态的静载荷更低，对比两种状态下的扭矩传递率曲线可以发现，低载荷状态下系统的起始隔振频率高于高载荷状态，即当其他条件相同时，静载荷越高，隔振器隔振频带越宽。

(4) 在不同载荷状态下，与线性系统相比，隔振器均具有更低的起始隔振频率，且共振峰值小于相应的线性系统，体现了正负刚度并联隔振器在低频隔振中的优越性。

如图8(c)所示，隔振器在平衡位置附近刚度较小时，极易发生跳跃现象，降低了有效隔振频带，为此研究了阻尼对隔振特性的影响。当L=8 mm，激励扭矩幅值t0为0.001时，ξ分别为0.02，0.03和0.04，阻尼对隔振器扭矩传递率的影响如图8(f)所示，可以看出，当阻尼比增大，系统跳跃频率逐渐降低直至不再产生跳跃现象。因此当系统刚度较低时，适当增加阻尼可以抑制跳跃现象，提高系统的隔振频带。

3 静力学试验

3.1 试验装置介绍

为了验证方案的可行性，制作了隔振器样机和试验装置，重点研究了隔振器的静力学特性，试验装置如图9所示，主要由隔振器、编码器、扭矩传感器、数据采集系统组成，隔振器样机中的扭转磁弹簧参数与1.2节中相同，根据1.3中得到的弹簧片参数对隔振器刚度的影响，弹簧片材料选用铍青铜，具体参数如下：E=128 GPa，n=4，w=13 mm，h=0.8 mm，R=40 mm，B0=41 mm，弹簧片恰好不变形时，内磁环与外磁环的初始相对转角θ0为5°。试验时，通过改变质量块的质量和质量块在输出连杆上的位置，可以获得不同的静态负载扭矩，扭矩传感器和编码器分别拾取隔振器的扭矩信息和转角信息，并传递给数据采集系统，进而可以得到隔振器的扭矩-转角特性曲线。通过改变扭转磁弹簧的相对轴向位移和弹簧片的有效作用长度，进而获得不同静态负载下扭矩-转角曲线。

1-质量块； 2-输出连杆； 3-扭矩传感器； 4-编码器； 5-数据采集系统； 6-计算机； 7-隔振器； 8-弹簧片； 9-磁弹簧

3.2 试验结果

分别对仅有扭转磁弹簧作用和正负刚度元件同时作用进行了静力学试验，试验结果取5次试验测量结果的平均值，试验结果与理论对比如图10所示。

图10(a)所示为仅有扭转磁弹簧作用下的隔振器扭矩-转角曲线，可以看出扭转磁弹簧扭矩测量值小于理论计算值，产生误差的原因主要有两点，一是磁弹簧理论计算采用了简化模型，二是试验加工的磁弹簧尺寸精度不够以及装配误差导致。另外试验结果表明，通过调节磁弹簧内外环之间的相对轴向距离，可以改变磁弹簧的扭矩特性，磁弹簧内外环相对轴向距离越大，扭矩曲线斜率越小，即刚度越小，试验结果与理论计算结果具有较好的一致性。

(a) 扭转磁弹簧单独作用

图10(b)为正负刚度元件同时作用下的隔振器扭矩位移曲线，试验结果表明，初始相对角位移为5°时，本文设计的正负刚度并联隔振器处于理想工作位置时提供的静态扭矩范围为0.6～1.6 Nm，对应的轴向调节范围为2～16 mm。

4 结 论

针对扭转隔振中的变载荷问题，设计了一种可以同步调节正、负刚度以适应负载变化的新型准零刚度扭转隔振器。通过静力学分析，得到了扭转磁弹簧扭转刚度与内外环相对轴向位移的关系，并给出了一种参数下的隔振器刚度特性，对隔振器不同载荷状态下的隔振性能进行了理论研究，并对隔振器的静力学特性进行了试验研究，得出以下结论：

(1) 扭转隔振器在不同载荷条件下均具有较低的起始隔振频率，扭矩传递率曲线反映系统刚度的硬特性，激励幅值、系统阻尼、平衡位置刚度对系统低频隔振特性有较大影响。

(2) 隔振器平衡位置刚度越小，其隔振频带越宽，但同时系统更容易产生跳跃现象，可以通过适当增加阻尼抑制跳跃现象的发生，降低扭矩传递率，提高隔振频带。

(3) 隔振器静力学特性试验结果表明，本文设计的扭转隔振器可以通过一个机构同步调节正、负刚度以适应不同负载，静载荷变化范围约为0.6～1.6 Nm，并且在不同载荷下均具有较低的动刚度。

(4) 本文提出的刚度调节机制为解决传统准零刚度扭转隔振器工作载荷不可实时调节的问题提供了广阔研究思路。