幂零矩阵下二次矩阵方程AXA=XAX的反交换解*

叶祥兴，蒋明谕，刘 佳，韩蕊，陈小燕

(1.赣南师范大学 a.数学与计算机科学学院; b.赣南师范大学 图书馆，江西 赣州 341000;2.瑞昌市第二中学，江西 瑞昌 332200)

1 引言

令A是一个n×n的幂零矩阵，本文的目的是找到二次矩阵方程

AXA=XAX

(1)

的所有反交换解.这个非线性方程也被称为Yang-Baxter型矩阵方程，因为它在形式上与经典的Yang-Baxter矩阵方程[1-2]相似.Yang-Baxter方程出现在物理学和数学的许多分支中，如统计物理学、场论和低维量子可积系统、量子群、三维拓扑、纽结理论等.

Yang-Baxter型矩阵方程有2个平凡解X=0和X=A，但当A为任意矩阵时，找到方程(1)的非平凡解是比较困难的，这是因为解方程(1)就是解一类二次多项式方程组.最近几年，对矩阵方程(1)找到了部分解[3-9].大部分研究结果是基于A满足一定条件时求出方程(1)的所有交换解.例如当A为指数为3的幂零矩阵，在满足可交换条件AX=XA时文献[10]求出方程(1)的交换解结构，当矩阵A为任意的幂零矩阵，满足相同可交换条件时文献[11]给出了方程(1)的交换解结构.当矩阵A为指数为3的幂零矩阵，在满足可交换条件AX=-XA时文献[12]给出方程(1)的所有反交换解的结构.若A为任意的幂零矩阵，本文主要目的是找到方程(1)的所有反交换解.

2 A为若尔当块

由文献[13]引理3.1可知若J是A的若尔当标准型，则求解方程(1)可以转化为求解下列简化的方程

JYJ=YJY

(2)

令B为方程(1)的解、K为方程(2)的解且B=UKU-1,U满足A=UJU-1,若AB=-BA，则JK=-KJ.

其中有关于特征值λ的t×t个若尔当块.若特征值为0，则对应若尔当块Jt(0)满足Jt(0)t=0.

(3)

或

(4)

其中k1,...,kv为任意的复数.

证明令K= ⎣kij⎤，容易得到Jm(0)K的第(i,j)项为ki+1,j,i=1,…,m-1,j=1,…,n，第(m,j)项的所有元素为0,同样-KJn(0)的第(i,j)项为-ki,j-1,i=1,…,m,j=2,…,n，第(i,1)项的所有元素为0.通过计算得到Jm(0)K=-KJn(0)的充要条件为

ki,j-1=-ki+1，j=ki+2,j+1=-ki+3,j+2=ki+4,j+5=-ki+5,j+6=…其中i=1,…,m,j=2,…,n.

且主对角线以下元素全为0.因此K由(3)(4)给出，其中ki≡k1i,i=1,…,v.

若AB=-BA,则B是方程(1)的解的充要条件为B(A-B)A=0.若AB=-BA=-A2或AB=-BA=-B2,则(A-B)A=0或B(A-B)=0.当J=Jn(0)时，由此可以算出方程(2)的反交换解，用下面这个定理来表示.

定理1当J=Jn(0)时，方程(2)的所有反交换解为

(5)

其中c和d为任意的数.

证明当n=2和n=3时容易验证，这里假设n≥4，由引理1知满足JK=-KJ的解K的结构如(3)和(4)所示.已知K(J-K)J=0.当n为奇数时，

计算可得K(J-K)J第一行元素分别为：

因为K(J-K)J=0，则k1=0,k2(1+k2)=0，则k2=0或k2=-1；k3,k4,…,kn-2都为0，kn-1,kn为任意的数，则K的结构如(5)所示.当n为偶数时，用类似方法得到

计算可得K(J-K)J第一行元素分别为:

因为K(J-K)J=0，则k1=0,k2(1+k2)=0，则k2=0或k2=-1；k3,k4,…,kn-2都为0,kn-1,kn为任意的数，则K的结构如(5)所示.

3 A为任意幂零矩阵

令A为指数为z(z>1)的任意幂零矩阵，z为满足Az=0的最小整数.我们简化符号，把矩阵A的若尔当标准型J写成

其中0m表示m×m的零矩阵，若尔当块Jt(0)为t×t的,Jt中含有st个Jt(0).为了求解方程(2)，按照J的形式将矩阵K分块，令K为z×z的块矩阵即

3）加强基础学校与科研机构、企业单位的对接。课堂不是学生进行学习的唯一途径，学校可以定期邀请科研人员、企业人士对学生进行培养指导；同时，学校应为对特定领域感兴趣的学生提供接触相关专业知识、器材的途径，让学生在较低年龄即可初步接触专业问题及情境。

(6)

其中K11是m×m的，Kii是isi×isi,i=2,…,z.因为

由JK=-KJ可得

得到上述方程组后，依次计算.首先分析方程JtKt1=0,t=2,…,z.将矩阵Kt1分块得到

则

用同样的方法解方程K1tJt=0,t=2,…,z，将矩阵K1t分块得到

计算可得

现在来解方程JiKij=-KijJj,i,j=2,…,z，将Kij分块得

(7)

i>j且j为偶数时，

(8)

i≤j且i为奇数时，

(9)

i≤j且i为偶数时，

(10)

找到方程JK=-KJ的所有解后，再求解方程K(J-K)J=0.因为

定理2令A为指数是z的幂零矩阵，A=UJU-1，其中J为A的若尔当标准型，则方程(1)的所有反交换解为B=UKU-1，其中K是z×z的且结构如(6)所示，满足：

(11)

4 数值例子

第3节已经给出了任意幂零矩阵下的Yang-Baxter型矩阵方程的反交换解的表现形式，本节给出2个具体例子来更直接的说明主要结果.

(12)

依次求解方程组(12)，其中第1个方程的解在例1中给出，通过求解第2个方程可得q11t11=0,求解第3个方程可得t11z11=0,求解第4个方程可得t11=0,z11q11=0.v11是任意的，当z11=0时，q11是任意的；当q11=0时，z11是任意的.因此Yang-Baxter型矩阵方程(1)的反交换解为

其中k,d1,d2,b1,b2,c11,h11,f11,w11,v11为任意复数.

5 结论

对于非线性矩阵方程(1)，当A为任意幂零矩阵时，通过求解JK=-KJ找到K的结构，在求解等价方程K(J-K)J=0进而找到了(1)的所有反交换解.但是对于一个任意的幂零矩阵，找到方程(1)的所有非交换解是十分困难的，因此这将是未来研究的一个方向.