基于Helmholtz共振腔的组合结构带隙特性研究

2022-12-10唐荣江陆滔琪潘朝远郑伟光

人工晶体学报 2022年11期

唐荣江，陆滔琪，潘朝远，郑伟光，庞毅

(1.桂林电子科技大学机电工程学院，桂林 541004；2.广西科技大学机械与汽车工程学院，柳州 545006；3.广西数仿科技有限公司，柳州 545006)

0 引言

降噪处理是汽车、航天、轨道交通舒适性设计中必不可少的步骤，如何降低环境噪声对车内乘客的影响已经成为NVH(noise, vibration and harshness)工程师们亟待解决的问题。面对这一问题，技术研究人员通过设计各种隔音吸声结构达到消除噪声的目的[1]。其中，利用布置声学屏障来控制交通噪声是行之有效的方法[2]。常见的声学屏障是一种在空间阵列而成的Helmholtz共振腔结构。在声学领域，对于Helmholtz共振腔的研究由来已久[3-5]，该结构具有带隙特性，即在带隙频率范围内声波传递会被抑制，因此广泛应用于隔音降噪场合[6-8]。例如，高东宝等[9]设计并实现了一种具有低频宽带隙的共振腔结构,发现Helmholtz共振腔阵列的腔体几何参数和阵列方式均会影响声学超材料的带隙位置；倪安辰[10]提出了一种在Helmholtz共振腔内加刚性挡板的改进结构，并将共振腔的颈部结构改成弧形，使得助共振频率增加了20%，且声波二次传输减弱2～5 dB。Guan等[11]通过卷绕式设计延长了狭缝长度，获得了较低频的声波带隙。此外，在圆环开口同样具有Helmholtz共振效应。陈鑫等[12]在Guan等设计的结构基础上，将开口设计成“弓”字型，利用Helmholtz腔与弹性振子耦合作用来提升低频隔声性能；姜久龙等[13]基于共振效应设计了一种双开口的Helmholtz周期结构，并在晶格常数为10 cm的情况下，将该结构的低频带隙控制在150 Hz的频率范围内；Jing等[14]设计了三个依次嵌入的开口圆环结构，圆环以角度90°错位放置，获得低频第一带隙，并通过分析波段的声学模式，找到第一带隙形成的原因；韩东海等[15]提出了一种迷宫型开口通道，并在结构加入了刚性振子的结构，表现出了良好的低频隔声特性。此外，有研究显示将多重开口圆环相互嵌入而获得的声学带隙会更为丰富[16]。

上述对周期共振腔结构的研究中，主要围绕开口圆环的“低频带隙”进行结构设计，然而对开口圆环连接副腔结构组合而成的共振腔结构的研究却鲜有报道。本文以开口圆环作为主腔，基于Helmholtz共振腔结构的局域共振特性，在主腔周围连接4个副腔[17]，以此形成复合共振腔，并开展带隙特性和隔声性能分析，最后建立等效电路模型，研究结构参数对带隙的影响。

1 结构设计及带隙特性

1.1 结构设计

空心圆环结构简单，易于开展实验，是常见的周期性结构[18]。图1的Helmholtz复合共振腔是在单、双开口圆环的基础上开槽形成。以单开口圆环为基础，在圆环内添加一个反向开口的内环即为双开口圆环。以双开口圆环作为颈部连接背腔的结构，具有Helmholtz共振腔的特征[19]。本文以开口圆环作为参考对象，提出了如图1(c)的Helmholtz复合共振腔结构，该共振腔在对角布置了四个副腔且在内部添加了开口圆环，形成对称结构，且内圈开口圆环的开口方向与外圈开口方向相差180°。

Helmholtz共振腔的结构参数如表1所示，其中：a为晶格常数；l为副腔通道长度；R1为外圈内圆半径；R2为外圈外圆半径；R3为内圈内圆半径；R4为内圈外圆半径；r1为副腔内圆径；r2为副腔外圆半径；W1为外圈开口宽度；W2为内圈开口宽度；w为副腔通道宽度；m为副腔开口通道外缘宽度；n为副腔开口通道外缘长度；d为内外圆环之间的最短距离。

本文在计算和分析Helmholtz共振腔模型和对比模型时，设定这些模型的材料为结构钢，其密度为7 850 kg/m3，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3。将共振腔结构阵列在空气中充当声学隔音屏障，弹性波在周期排列的声子晶体中传播发生干涉,导致声波无法通过而发生阻断形成声禁带，能够有效阻挡声音传播，对道路交通的噪声控制有益。

表1 Helmholtz复合共振腔结构参数Table 1 Structural parameter of Helmholtz composite resonator /mm

图1 计算模型和不可约布里渊区。(a)单开口圆环；(b)双开口圆环；(c)Helmholtz复合共振腔；(d)不可约布里渊区Fig.1 Computational model and irreducible Brillouin zone. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular;(c) Helmholtz composite resonator cavity; (d)irreducible Brillouin zone

1.2 理论基础

在理想弹性介质的情况下，假设弹性介质刚开始时处于自然状态，并且介质中各点的位移是微小的，则描述弹性介质的物理量，即应力、应变、位移，满足运动方程和本构关系。

空气的声阻抗比结构钢小得多，两者阻抗难以匹配，因此声波大部分都在固体间反射，很难透射到固体结构中，传递的能量也很小，几乎可以忽略。基于以上情况，在计算中将固体视为刚性硬壁面，不考虑其振动，仅求解声压Helmholtz方程：

(1)

-iω=γ

(2)

波矢k沿第一不可约布里渊区M→Γ→X→M的路径进行扫掠，并结合Bloch-Floquet理论，分阶段求解声压方程：

(3)

式中：kx、ky和kz分别为波矢k在x方向和y方向的分量。

通过给定k的值求解特征方程(1)～(3)，可得k与γ的关系，即弹性波带隙和声波的本征模态。为获得共振腔的声传输损耗特性，计算3个共振腔在x方向阵列而成的周期结构。如图2所示在3元胞结构的上下面施加连续性的周期性边界条件，此时源边界和目标边界上的声压以及位移的场值相同。基于以上研究，将阵列结构的左右侧设为平面波辐射，左侧施加Pin=1 Pa的平面波激励，右侧为开放边界，其声传播损耗(sound transmission loss, STL)计算公式为：

(4)

式中：STL代表声传播损耗，也称隔声量；Pin代表入射声压；Pout代表出射声压。

1.3 带隙特性及隔声性能分析

本文通过Comsol Multiphysics软件的声学模块，对Helmholtz共振腔模型划分三角形网格单元，对模型四周施加Floquet周期性边界条件，计算得到带隙。选取3个阵列模型计算声传输损耗，阵列模型如图2所示，单开口圆环和双开口圆环与此相同。由于在仅求解Γ→X方向时，就能获得三种模型的第一、二带隙，为了减少计算量，本文的研究仅求解波矢扫掠Γ→X方向。求解后获得的带隙结构图和声传播损耗曲线图如图3所示。从图3(a)可知，单开口圆环在2 000 Hz内只拥有第一带隙，带隙结构比较简单，在带隙内的最大隔声量为87 dB，在图3(d)中由点线表示。由图3(b)可知，双开口圆环能够在2 000 Hz以内获得两条完整带隙，且第一带隙比单开口圆环要更低，起始频率为519.5 Hz。从图3(d)中的点画线能够看出，双开口圆环在第一带隙和第二带隙内的最大隔声量分别达到了70 dB和62 dB，相比于单开口圆环能够起到更好的中频隔声效果。

图2 Helmholtz共振腔3元胞有限结构以及边界条件Fig.2 3-cell finite structure of Helmholtz resonator and boundary conditions

图3 三种模型的能带结构及其传输特性。(a)单开口圆环；(b)双开口圆环；(c)复合共振腔；(d)传输特性Fig.3 Energy band structures of the three models and their transport properties. (a) Single-opening circular; (b) double-opening circular; (c) composite resonant cavity; (d) transport properties

Helmholtz复合共振腔的带隙结构如图3(c)所示，相应的传输特性对应于图3(d)中的实线。从图中能够清晰地看出，复合共振腔结构在频率低于1 000 Hz的范围内拥有带宽为231.55 Hz的第一带隙，在频率低于1 400 Hz的范围内拥有带宽为70 Hz左右的第二带隙，且第一、二带隙的起始频率比双开口圆环更低。除此之外，Helmholtz复合共振腔的整体隔声较前两种模型更强，不仅在带隙内的峰值隔声量均大于前两种模型，且大部分频率范围内的隔声量达到10 dB以上。470 Hz处为Helmholtz共振腔在第一带隙内的隔声量最大值点，在该点处的最大隔声量超过90 dB。综上所述，可以得出结论：在单开口圆环内增加一个开口内环能够获得更低频的带隙，但同时会缩减带隙的频率范围；在双开口圆环四周布置4个副腔形成的复合共振结构能够拥有比单、双开口圆环更低的带隙以及更好的隔声性能。通过对图3的分析可知，传声损失曲线中能量衰减的频率范围与能带结构的各个完全带隙相吻合。

图4 Helmholtz复合共振腔声压级云图Fig.4 Sound pressure level cloud of Helmholtz composite resonator cavity

为了进一步分析带隙特性，选取了如图4所示的频域内三个频率点的声压级云图，以此形象地展示该共振腔阵列单元对声波的抑制和阻碍作用。432.43 Hz为第一带隙的下限，由图可知，在该频率时激励点和输出端处的声压级始终维持在100 dB左右，声压大量挤压在共振腔内，且从外到内声压级依次增高，通过图3也可知此处隔声量接近0 dB。在470.00 Hz处(在此频率处产生第一带隙内的峰值隔声量)，100 dB左右的声压级集中在第一个共振腔内，经过第二个共振腔时，声压级已降至80 dB左右，往下传递到第三共振腔后，声波能量进一步衰减，腔内的声压级骤降至50 dB左右且外部已接近0 dB，声波的衰减现象明显，声波在该频率的传播损失最显著；663.98 Hz为第一带隙的上限，在该处输出端的外部声压级接近70 dB，声波的衰减效果减弱，隔声性能不如470.00 Hz处好。

通过分析可知，本文基于普通开口圆环而设计的Helmholtz共振腔结构拥有良好的隔音性能。除此之外，该结构既有Helmholtz共振腔的共振效应，也有晶体单元间的相互作用，两者结合能够获得比没有副腔的开口圆环结构更低频的声波带隙和更宽的声波宽度。但不足的是，在声波禁带内各频率的隔声量相差较大，往后这也将成为重点研究对象之一。

2 带隙机理及等效模型

第一带隙的下限(432.43 Hz)的声压模态如图5所示，右侧图例为声压数值，其单位为Pa。可以明显看出，在该频率处结构外部区的声压值最小，然后按照由外到内的顺序依次增加，内圈内腔的声压值达到最大，声波能量局限于结构当中，在外部不能传播，4个副腔内的空气像弹簧一样进一步阻碍了声波能量的传播，这事实上也决定了带隙的下限。

图5 B点的声压模态Fig.5 Sound pressure mode at point B

为了便于研究共振周期结构带隙形成的机理，本文采用“声-电类比”法建立相应的等效电路模型。在建立等效模型前，将模型大致分为如图6所示的C、E、F、q1等9个区域，其中C为内圈和外圈之间的通道；E为内圈内腔；F为外部空气域；q1、q2、q3、q4分别为4个为副腔；外、内圈的开口处宽度分别用W1和W2表示。

图6 结构区域划分示意图Fig.6 Schematic diagram of structural area division

图7 复合共振腔的等效电路图Fig.7 Equivalent circuit of composite resonator cavity

图7为建立的等效电路图。根据Helmholtz共振腔区域的划分以及共振机理，本文将内圈和外圈之间的通道等效为电感LC和电容CC，开口处等效为电感LW，副腔通道处等效为电感Lq，副腔与副腔通道等效为电容Cq，内圈内腔等效为电感CE，外部空气域等效为电感CF。综合以上分析，等效电路的表达式分别表示为：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：c0为空气中的声速，h为通道厚度，在下列计算时被约去。第一带隙下限的共振频率为：

(12)

其中L为等效电路的总电感，C为等效电路的总电容：

(13)

(14)

3 带隙影响因素分析

为分析各参数对带隙的影响，进一步揭示其带隙形成的实质，采用有限元法(finite element method, FEM)和等效电路法(equivalent circuit method, ECM)两种方法计算第一带隙下限频率随结构参数改变的变化情况，如图8所示。

图8(a)可知，当R3、R4同时增大时，第一带隙下限会降低，反之则升高，这是由于R3、R4的大小影响了外圈与内圈之间通道的体积VC和内圈内腔的体积VE，当R3、R4增大时，VC减小，VE增大；当R3、R4减小时，VC增大，VE减小。同时，在R3、R4增大时，带隙下限降低的曲线的斜率逐渐变大。

图8(b)所示为外圈开口宽度对第一带隙下限的影响。可以看出，W1越大，第一带隙起点越高，这与图8(a)是相反的，且W1对于带隙的影响比较小，它的变化只能直接影响开口处这小部分体积变化。可以看出在W1小于0.8 mm时，开口宽度对带隙下限的影响比较明显。

图8(c)所示为内圈开口宽度对第一带隙下限的影响，其影响原理与图8(b)类似。与W1不同的是，W2越小，频率降低得越慢。

图8 结构参数对第一带隙的影响。(a)共振腔内圈的内外半径对第一带隙下限的影响；(b)外圈开口宽度对第一带隙下限的影响；(c)内圈开口宽度对第一带隙下限的影响；(d)副腔开口宽度对第一带隙下限的影响；(e)副腔内圆半径对第一带隙下限影响；(f)晶格常数a对第一带隙的影响Fig.8 Effects of structural parameters on the first band gap. (a) Effect of the inner and outer radii of the inner ring of resonant cavity on the lower limit of the first band gap; (b) effect of the outer ring opening width on the lower limit of the first band gap; (c) effect of the inner ring opening width on the lower limit of the first band gap; (d) effect of the sub-cavity opening width on the lower limit of the first band gap; (e) effect of the inner circle radius of the sub-cavity on the lower limit of the first band gap; (f) effect of the lattice constant a on the first band gap

图8(d)所示为副腔开口宽度对第一带隙下限的影响，可以看出该参数对带隙下限的影响作用比其他参数小。等效模型和有限元法计算的波动值分别在15 Hz和5 Hz内。主要是w的变化对其余参数值影响带隙的情况与图8(a)的影响原理相同，即参数值的变化引起了Helmholtz共振腔不同程度的体积变化，从而引起腔内体积和个区域之间的相互作用产生变化，最终影响带隙。

从图8(e)可以看出，副腔内圆半径r1对带隙下限影响比较明显，主要是因为4个副腔占据了较大的空间，在r1变化时能够引起明显腔体体积变化，使得4个腔体内的空气与主腔内的空气之间的相互作用产生变化，从而引起共振频率发生显著变化。在r1下降到3.5 mm之后，有限元法计算的值逐渐趋于平稳，而且等效模型法与有限元法的计算误差变小。

从图8(f)可以看出，在晶格常数a增大时，带隙的上下限都线性降低，且带隙宽度变化较小。大晶格尺寸能拥有更大的内腔空间，但是由于尺寸过大，在工程实际中难以应用。

为了能够更加清晰地看出上述提出的等效电路模型的有效性，统计了利用有限元法和等效电路计算出的第一带隙下限频率，并计算其平均误差，将所有统计结果汇总到表2。本文平均误差的计算式为：

(15)

式中：EA为平均误差(average error)；Ei(i=1,2,3,4)为单个参数值的计算误差。通过表2可以看出，有限元法的仿真值与等效模型的计算值最大误差控制在10%以内，且平均误差控制在5%以下的合理范围内，产生误差的主要原因是在环间构成的环形通道已不再是细管道,造成了Helmholtz声电类比的不和谐,导致计算误差增加，但整体趋势与实际值保持了一致。除此之外，开口空气通道的等效长度及等效宽度不够准确，存在一定误差，而且通道内空气可压缩性的影响也不可忽略。

表2 结构参数对第一带隙下限的影响及有限元法与等效电路的平均误差Table 2 Effect of structural parameters on the lower limit of the first band gap and the average error of the FEM and ECM /mm