幂级数展开式的若干应用

◎金少华 宛艳萍 徐 勇 陈秀引 臧 婷 程俊明

(河北工业大学理学院，天 津 300401)

微积分是理工科大学生非常重要的基础课.本文结合近年的考研真题给出了基本的幂级数展开式的若干应用,包括利用基本的幂级数展开式判别数项级数的敛散性、数项级数求和、求函数的高阶导数、幂级数的和函数、将函数展为幂级数等，以激发学生的学习兴趣,培养学生的科学思维方法和创新能力.

本题若直接用求导法则求f(3)(0),则计算量很大，而用f(x)的麦克劳林展开式，计算非常简捷.

上式两边对x求导，得

在上式中令x=1，得

本题直接用sinx的麦克劳林展开式往要求的结果凑，计算简捷，目的明确.

本题直接用cosx的麦克劳林展开式往要求的结果凑，计算简捷，目的明确.

所以其收敛区间为(-1,1).

所以当x∈(0,1)时，

=-xln(1-x)-[-ln(1-x)-x],

本题用正项级数的比值法和根值法均不易判别敛散性，而利用ex的麦克劳林展开式则很容易得到结果.

两端对x求导，得

本题直接用sinx的麦克劳林展开式往要求的结果凑，计算简捷，目的明确.

所以由上式，得P-π2Q=0,即

本题直接用cosx的麦克劳林展开式往要求的结果凑，计算简捷.

收敛半径R=1.

本题对ln(1+x) 的麦克劳林展开式进行变量代换可顺利求得结果.

下面看一个利用基本的幂级数展开式求矩阵函数的例子.

解特征多项式φ(λ)=λ4-π2λ2，

由哈密顿-凯莱定理，得A4-π2A2=0，即A4=π2A2，

有了这个等式，上面三个矩阵函数的矩阵幂级数实际上可用A的有限多项式给出：即A5=π2A3，A7=π2A5=π4A3,…,A2k+1=π2k-2A3,…类似可得A2k=π2k-2A2.