C*-代数中的EP元

陈树家, 羌湘琦, 侯成军

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

Moore-Penrose逆的概念最先在矩阵领域中被提出并得到广泛运用, 学者们借助Moore-Penrose逆提出了EP矩阵的概念并刻画了它的性质．随着研究的深入, Moore-Penrose逆以及EP矩阵的性质也在其他领域得到发展, 其理论被推广到希尔伯特空间中的有界线性算子上,形成了EP算子的概念[1]．通过弱化Pearl的条件, Itoh[2]定义了hypo-EP元并给出了hypo-EP元的性质, 此后众多学者在矩阵代数、C*-代数和环论等方面用不同方式刻画了Moore-Penrose可逆元和EP元的性质, 相关成果可参见文献[3-5]．Maher[6]研究了C*-代数中Moore-Penrose可逆元判定的等价条件; Benítez[7]推广并刻画了C*-代数中Moore-Penrose逆更多的性质．受此启发, 本文拟利用C*-代数自身的性质讨论EP元和hypo-EP元, 借助于C*-代数的包络von Neumann代数中的左右支撑和极分解理论[8-9], 研究C*-代数中Moore-Penrose可逆元及EP元与hypo-EP元之间的关系, 并利用无限维C*-代数中必存在无限谱的正元这一性质, 证明C*-代数中每一个元都是Moore-Penrose可逆的当且仅当该C*-代数是有限维的．本文通过C*-代数中的EP元定义了EP-预解集和EP-谱, 推广了已有的相关谱结论．

1 预备知识

设A是一个复的Banach *-代数, 若‖a*a‖=‖a‖2, 则称A为C*-代数．设A, B是2个C*-代数,π: A→B是一个线性映射, 若对任意a,b∈A, 有π(ab)=π(a)π(b),π(a)=π(a)*, 则称π是*-同态; 若π既是单射又是满射, 则称π是*-同构．用C(X)表示紧T2-空间X上所有复值连续函数的全体, 且在上确界范数下C(X)是一个有单位元的交换C*-代数, 则由Gelfand定理知, 每一个有单位元的交换C*-代数都等距同构于某个C(X)．用表示可分的希尔伯特空间, B()表示上的有界线性算子全体, 则B()中每个范数闭且在算子伴随下封闭的子代数是C*-代数．由Gelfand-Naimark定理知, 每个可分的C*-代数都*-等距同构于某个B()中范数闭*-子代数．设A是一个复的有单位元的Banach-代数,a∈A, 称σ(a)={λ∈C|λ-a不可逆}为a的谱,Cσ(a)为a的预解集．

定义1设A是一个有单位元的C*-代数,a∈A, 若存b∈A满足:

bab=b,aba=a,(ab)*=ab,(ba)*=ba,

则称a是Moore-Penrose可逆的, 简称MP-可逆的．此时满足上述条件的b是唯一的, 称之为a的MP-逆, 并记b为a†．用A†表示A中所有Moore-Penrose可逆元的集合．

2 主要结果

设A是一个有单位元的C*-代数, A**为A的二次共轭空间, 则A**是一个W*-代数, 且A可作为W*-稠子代数嵌入到A**中．设a∈A**, 并令l(a)和r(a)分别为a的左支撑和右支撑, 即A**中分别满足pa=a和ap=a的最小投影p．当a∈A时,l(a)和r(a)未必在A中．由W*-代数理论知, A**中任意元a都有极分解a=v|a|, 其中v∈A**为部分等距,v*v=r(a),vv*=l(a), |a|=(a*a)1/2∈A**且满足上述条件的极分解是唯一的．当a∈A时, 由C*-代数中自伴元的谱理论知, |a|∈A, 但v不一定在A中．当a∈A是MP-可逆时,有如下结论．

命题3设A是一个有单位元的C*-代数,a∈A, 则:

i) 若a∈A是MP-可逆的, 则l(a)=aa†,r(a)=a†a, 从而l(a),r(a)∈A;

ii) 若a∈A是MP-可逆的, 则存在部分等距u∈A使得uu*=l(a),u*u=r(a),a=u|a|, 即a在A中有极分解;

iii)a∈A是MP-可逆的当且仅当r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆;

iv)a∈A是EP的当且仅当l(a)=r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆．

证明 i) 令p=aa†, 则pa=a, 故l(a)≤p．又l(a)aa†=aa†=p, 有l(a)≥p, 故l(a)=aa†∈A．同理可得r(a)=a†a∈A．

ii) 由a∈A†, 得|a|∈A†且|a||a|†=|a|†|a|．令u=a|a|†, 则(a|a||a|†-a)*(a|a||a|†-a)=0, 故a=a|a||a|†=a|a|†|a|=u|a|．另一方面, 因uu*是一个投影, 有l(a)uu*=uu*, 即uu*≤l(a), 又(uu*)a=u|a|=a, 有uu*≥l(a), 故uu*=l(a)．同理可证u*u=r(a)．

iii) 若a∈A†, 由(i)知r(a)=a†a∈A．因a†a(a*a)a†a=a*(a†)*a*aa†a=a*a, 故(a*a)∈r(a)Ar(a)．由假设知,a*a是MP-可逆的．令x=(a*a)†, 有(a*a)†=a†a(a*a)†a†a, 得x∈r(a)·Ar(a), 且xa*a=(a*a)†a*a=a†(a*)†a*a=a†a=r(a),a*ax=(a*a)(a*a)†=a*aa†(a*)†=a†a=r(a), 故a*a在r(a)Ar(a)中可逆．下证充分性．设a*a在r(a)Ar(a)中可逆, 记y为其逆, 则有a*ay=ya*a=r(a), 等式两边取*-运算, 得y=y*．设x=ya*∈A,axa=aya*a=ar(a)=a,xax=ya*aya*=ya*=x, (ax)*=(aya*)*=ax, (xa)*=(ya*a)*=r(a)=xa, 则a∈A是MP-可逆的, 故x=ya*为其MP-逆．

iv) 若a是EP的, 则a是MP-可逆的．由(iii)知,r(a)∈A且a*a在r(a)Ar(a)中可逆．由(i)知,l(a)=r(a)．另一方面, 设l(a)=r(a)∈A, 且a*a在r(a)Ar(a)中可逆, 由(iii)的充分性知a∈A是MP-可逆的, 再由(i)可得aa†=a†a, 故a∈A是EP的．

设A是一个有单位元的Banach代数, B是A的Banach 子代数且包含A的单位元, 若x∈B在B中是可逆的, 则x在A中也是可逆的, 该结果反之不成立．但在C*-代数中, 一个元的可逆性不依赖于它所在的C*-代数, 从而C*-子代数中一个元在该子代数和原C*-代数中的谱是一样的．

命题4i) 设A, B是两个有单位元的C*-代数,π: A→B是一个C*-同构,a∈A, 则a是MP-可逆的(或EP的)当且仅当π(a)是MP-可逆的(或EP的)．

ii) 设B是一个有单位元的C*-代数, A是B的C*-子代数且含有同一单位元,a∈A, 则a在A中是MP-可逆的(或EP的)当且仅当a在B中是MP-可逆的(或EP的)．

证明 i) 由MP-逆和EP元的定义可直接得到．

ii) 仅证充分性．若a∈B†, 由文献[7]中定理3.4知,a†=limn→+∞(a*a+n-1)-1a*．由于A是一个C*-子代数, 所以对每个n, 有(a*a+n-1)-1∈A, 进而a†∈A．

引理5设A是一个有单位元的C*-代数,a∈A†, 若u,v∈A是可逆的, 则uav∈A†．

证明 令x=v-1a†u-1, 则(uav)x(uav)=uavv-1a†u-1uav=uav, 即uav是正则的．由文献[10]中定理1, 得uav∈A†．

命题6设A是一个有单位元的C*-代数, 则下列性质成立:

i) 若a∈A是MP-可逆的, 且a是hypo-EP的, 则an是hypo-EP的;

ii) 若a,p∈A,ap=pap, 且a是hypo-EP的, 则ap是hypo-EP的;

iii) 设a,b∈A是EP的, 则ab是EP的当且仅当ba是EP的．

证明 i) 由Gelfand-Naimark定理知, 存在*-同构π: A→B(), 则对任意有π(a)∈B()是hypo-EP的．再由文献[11]中定理3.6知,π(an)是hypo-EP的, 故由命题4可得

ii) 由Gelfand-Naimark定理, 存在*-同构π: A→B(), 则π(a)是hypo-EP的．由文献[12]中定理1知, 存在c∈B()使得π(a)=[π(a)]*c=π(a*)c, 则π(ap)=π(p)π(a*)cπ(p)=[π(ap)]*·cπ(p)．取y=cπ(p), 有π(ap)=[π(ap)]*y, 即π(ap)是hypo-EP的, 因此

定理7设A是一个有单位元的C*-代数, 则:

i) A中每一个元均是MP-可逆的当且仅当A是有限维C*-代数;

ii) A中每一个元均是EP的当且仅当A是有限维交换C*-代数, 当且仅当A*-同构于Cn．

引理8设X是紧度量空间,f(x)∈C(X),则f(x)是MP-可逆的当且仅当对任意x∈X,f(x)≠0, 或0是函数f(x)值域的孤立点．

引理9设X是紧度量空间, 则C(X)中每个元均是MP-可逆的当且仅当X是有限集, 当且仅当C(X)*-同构于Cn．

证明 由泛函分析理论知,X是有限集当且仅当C(X)*-同构于Cn, 故仅须证明: 若C(X)中每个元均是MP-可逆的, 则X是有限集．假设X是无限集, 取连续函数f(x)∈C(X)使得其值域是无限集．选取X中的列{xn}以及x0∈X, 使得{f(xn)}互不相同并对任意的n∈N, 有f(xn)≠f(x0), 而当xn→x0时f(xn)→f(x0)．令g(x)=f(x)-f(x0), 则g(x)∈C(X)且g(x0)=0,g(xn)≠0,g(xn)→0,即是g(x)的聚点．由引理8可知,g不是MP-可逆的, 这与假设矛盾, 故X是有限集．

下面给出定理7的证明．

证明 i) 若A是有限维C*-代数, 则A*-同构于矩阵代数的直和Mn1(C)⨁Mn2(C)⨁…⨁Mnk(C)．由于矩阵代数Mn(C)中每个元都是MP-可逆的, 从而矩阵代数的直和中每个元都是MP-可逆的．由命题4(i)知, MP-可逆性在C*-同构下不变, 所以A中每一个元均是MP-可逆元．

另一方面, 设A中每一个元均是MP-可逆的, 若A是无限维C*-代数, 由文献[13]中的4.6.14知, A中存在正元a使得谱σ(a)是无限集．根据C*-代数中的谱定理, 由a和单位元I生成A中的C*-代数B*-同构于C(σ(a))．由引理9知, 存在f(x)∈C(σ(x))不是MP-可逆的, 进而存在b∈B在B中非MP-可逆．再由命题4知,b∈A是非MP-可逆的, 这与假设矛盾．因此, A是有限维C*-代数．

ii) 仅须证明: 若A中每个元均是EP的, 则AC*-同构于Ck．因为A中每个元都是MP-可逆的, 由(i)知A是有限维C*-代数, 故AC*-同构于Mn1(C)⨁Mn2(C)⨁…⨁Mnk(C)．由于矩阵代数Mn(C)中每个元都是EP元当且仅当n=1, 故A*-同构于Ck．

注10定理7中“C*-代数”条件是必需的．设是可分无限维的复希尔伯特空间, 令F()表示上有限秩算子全体, 令A表示由F()和恒等算子I生成的非范数闭代数, 则A是范数代数, 但非C*-代数, 且A中每个元都是MP-可逆的．

Banach代数中“谱”是一个十分重要的概念, 其定义是借助于Banach代数中可逆元给出的, 故利用C*-代数中的EP元, 有如下定义．

定义11设A是一个有单位元的C*-代数,a∈A, 称ρep(a)={λ∈C|λ-a为A中EP元}为a的EP-预解集, 称σep(a)=Cρep(a)为a的EP-谱．

命题12设A是一个有单位元I的C*-代数,a∈A, 则:

i)acc(σ(a))⊆σep(a)⊆σ(a), 其中acc(σ(a))表示a的谱σ(a)的聚点全体;

ii) 若σ(a)是无限集, 则σep(a)≠∅;

iii) 若A为n阶矩阵代数Mn(C),a∈Mn(C)可对角化, 则σep(a)=∅;

iv) 设A为紧的连通的豪斯道夫空间X上的复值连续函数代数C(X),设a∈A,a∉CI, 则σep(a)=σ(a);

v) 设a为A中正规元且σ(a)是有限集, 则σep(a)=∅;

vi) 设a为A中拟幂零元, 但非EP元, 则σ(a)=σep(a)={0}．

证明 i) 由于A中每个可逆元都是EP元, 从而σep(a)⊆σ(a)．设λ∈ρep(a), 则λ-a为A中EP元, 从而λ-a可逆或者0是σ(λ-a)的孤立点, 即λ-a可逆或λ为σ(a)的孤立点, 故ρep(a)=ρ(a)∪{λ∈i(σ(a))|λ-a为A中EP元}, 其中i(σ(a))表示a的谱σ(a)的孤立点全体, 因此acc(σ(a))⊆σep(a)⊆σ(a)．

ii) 设σ(a)是无限集,又σ(a)是紧集,则σ(a)必有聚点, 由(i)知σep(a)=∅．

iii) 设a∈Mn(C)可对角化,即存在酉矩阵u, 使得uau*是对角阵d, 则对任意的λ∈C, 有λI-d是Mn(C)中的EP元, 这里I表示单位矩阵, 故λI-a是EP元, 则ρep(a)=C, 因此σep(a)=∅．

iv) 由于X是连通的, 因此C(X)中的投影仅有取值为0的常函数0和取值恒为1的常函数I, 即C(X)中的EP元是0和可逆元．设a∈C(X)且a∉CI,λ∈C, 则λ-a为EP元当且仅当λ-a可逆, 有σep(a)=σ(a), 故σep(a)=σ(a)．

v) 由C*-代数正规元的谱理论知,C(σ(a))同构于A中由a,a*和I生成的C*-子代数B．由假设知,B是有限维交换C*-代数．再由定理7知, 对于每个λ∈C,λ-a为B中的EP元, 进而由命题4知它也是A中EP元, 故σep(a)=∅．

vi) 由拟幂零元和EP-谱定义可得．