培养量感意识 感悟度量本质——以“面积和面积单位”教学为例

■ 刘晓红 卢文萍

华罗庚说过：“数起源于数，量起源于量”。作为《义务教育数学课程标准（2022 年版）》新增的核心素养，量感是对量的感悟和直觉。建立量感有助于学生养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础，它对学生空间观念的形成、几何思维的发展、数学素养的提升有着非常重要的作用。那么学生的量感意识如何培养？度量的本质又是怎么感悟的呢？带着这两个问题，我们对“面积和面积单位”这一课展开了实践研究。

“面积和面积单位”属于“图形与几何”领域，是学生在初步掌握长度和长度单位、长方形和正方形的特征及其周长计算的基础上进行教学的，在空间形式上经历了“从线到面”的飞跃，是从一维空间向二维空间转化的开始。教材在编写上非常重视展现面积概念的形成过程，注重常用面积单位表象的建立，注重在直观操作及形式多样的活动中体验、积累感知。因此，在教学中，教师应帮助学生建立面积概念，在理解度量意义中体会量感，体会面积单位产生的必要性，充分经历确定面积单位的过程。

一、操作是建立量感的客观基础

量感的建立和形成的一个重要标志是学生会针对实际情境选择合适的度量单位进行度量，这就需要大量的直观操作提供客观基础。学生经历操作的过程才能对实际情境进行比较、分析与综合，抽象出事物本质，获得对概念、法则及关系的理解。为了让学生体会面积单位产生的意义，感受统一面积单位的必要性，体现度量方法多样化和优化的思想，学生必须充分经历用不同图形作单位度量面积的操作过程，感受用正方形作面积单位的便捷性和合理性，丰富度量经验，培养度量意识。

【教学片段一】

师：同学们，如图1，比一比这4个图形中哪一个的面积最大？

图1

生：④号图形的面积最大。

师：眼力真好！像刚才这样一眼就能够看出图形面积的大小的比较方法，称为观察法。

师：哪个图形面积最小呢？生：③号图形的面积最小。

师：是吗？我怎么感觉①号图形的面积最小呢？你们有没有什么好方法能比较③号和①号图形的面积大小呢？

生：可以将这两个图形重叠起来比较。

师：我们一起来试一试。（课件演示）果然是③号图形面积小，像刚才这样把两个图形重叠放在一起比较的方法，称为重叠法。（板书：重叠法）

师：老师再考考你们的眼力，老师的手掌面和数学书的封面相比，谁的面积大？你们能目测数学书封面的面积相当于几个老师手掌面的面积？

生：数学书封面的面积大，大约相当于老师2个手掌面的面积。

生：也可能是3个。

师：意见不同怎么办？

生：比一比不就知道了。

（教师用手掌做测量示范，学生进行观察，发现数学书封面的面积大约是教师3个手掌面那么大）

师：刚才我们以什么为标准度量数学书封面的面积？除了用手掌面度量课本封面的面积还可以用什么来度量课本封面的面积？

（学生自由量一量，上台汇报交流）

生：我以练习本的封面为标准测量，数学书封面的面积相当于1本练习本封面的面积。

生：我以文具盒为标准测量，数学书封面的面积相当于4个文具盒的面积。

生：我以直尺为标准测量，数学书封面的面积相当于10根直尺的面积。

师：为什么刚刚估测数学书封面的面积，怎么有的测出来是1 个的，有的测出来是4 个的，甚至还有10个的？是数学书封面的面积发生变化了吗？

生：没有，因为我们用来测量比较的标准面不一样，所以测量出来的数量也不一样。

师（小结）：原来测量标准面不同，测量的结果也就不一样。为了避免数据的改变，最好固定一个测量标准面。

师：刚才咱们用观察法看出大屏幕上④号图形的面积最大，用重叠法知道③号图形的面积最小，剩下的①号图形和②号图形相比，谁的面积大？谁的面积小呢？你们有什么好方法？

生：看不出来，我们找一个标准面测量就可以了。

师：老师给你们提供了一个学具袋，里面有三角形、圆形、长方形、正方形这四种“标准面”，4人为一组，任选一种作单位来测量，比一比哪个面积大？

（教师利用课件出示操作要求，请小组长负责记录小组中得出的结论。学生活动，教师巡视，组织交流与分享。活动结束后，小组汇报展示、交流）

师(小结)：大家借助这四种图形，都比较出了两个图形面积的大小。如果要准确地测量图形面积的大小，你们觉得用哪种图形做面积单位最方便、合理？为什么？

生：三角形、圆形都有空隙，有空隙测量就会不准确，正方形没有空隙，测量最准确。

师：长方形也没有空隙，为什么你们不选用长方形呢？

生：长方形的长和宽不相等，我们组在摆的时候要考虑摆的方向和位置，而正方形不受这些限制，摆起来就方便多了。

师：你们的想法和数学家们的想法是一样的，正方形确实是最合适的图形。所以咱们测量面积一般统一用正方形做测量单位。

【思考】面积和面积单位，不是概念术语的记忆过程，也不是单纯的直观形象的积累过程，面积的本质是一个数，是用“数”刻画“一个区域的大小”，是用“数”描述“形”。这是度量的本质，也是面积与长度、体积相通的地方。因此，就要先确定一个标准做单位，然后数出有几个这样的单位。故此教学环节设计了三个层次，层次1 和层次2 体现了量的初步认识，层次3 体现了量的间接比较，这样分化了难点，目的是逐步培养度量意识，丰富度量经验，体现出方法多样化和优化的思想。

层次1：面积相差比较大的两个物体。通过展示四个不同图形，选择面积最大的图形。第四个图形明显比其他图形大得多，呈现度量方法：观察法。

层次2：面积接近的两个图形。接下来选择面积最小的图形。通过比较面积很接近的两个图形，当观察法比较不出结果时，自然而然引出第二种度量方法：重叠法。

层次3：面积相差比较小的两个图形。面积的度量工具为什么是小正方形、小圆形、小三角形呢？面积为什么不能用直尺来度量？面积的度量为什么要让学生去“摆”呢？带着对这些问题的思考，教师设计了面积相差比较小且不同的两个长方形的面积大小比较环节，可以进行这样的处理：教师没有直接把小正方形、小圆形、小三角形等学具直接提供给学生，而是引导学生借助已有的度量经验，“小长度可以度量大长度”，教师启发学生用“小面积去度量大面积”，让学生经历面积单位的产生过程。学生在摆的过程中会慢慢体会到，度量工具应该与所要度量的物体具有相同的特征。然后，学生进行优化选择，才得出了结论——用小正方形做测量面积的面积单位最合适，实现了操作经验和数学知识的有效对接。

一系列的操作活动使学生进一步明晰思考过程，主动参与建构，感受统一面积单位的必要性，丰富了学生建立面积单位的表象，从而促进空间观念的发展。

二、想象是理解度量本质的有力支撑

想象就是把研究对象通过分析位置、度量等关系产生相应的思考。想象需要实实在在的支撑，建立在表象的基础上。想象能帮助学生从操作实物向操作表象迈进，发展抽象思维；想象能帮助学生快速地对几何图形做出判断分析，以便深入认识空间结构。教学中教师要经常引导学生展开想象，调动学生思维的积极性，从而开拓思维的广度和深度，发展数学思维能力，让表象更丰厚，想象是理解度量本质的有力支撑。

【教学片段二】

1.学生自学课本63页面积单位

（1）自学提示

①常用的面积单位有哪些？

②教材是如何描述这些面积单位的？

③在学具袋中找到这个单位。

④在生活中找一找和这个单位大小差不多的物体。

（2）学生自学后全班交流

生：面积单位有平方厘米、平方分米、平方米。边长是1厘米的正方形的面积是1平方厘米。

（教师把1平方厘米的小正方形贴在黑板上）

师：你们能在学具袋中找到1 平方厘米的小正方形吗？请摸一摸这个小正方形的面积，想一想生活中哪些物体表面的面积大约是1平方厘米？

生：我们大拇指指甲盖的面积大约是1平方厘米。

师：用手中的1 平方厘米的小正方形去比一比你们的大拇指指甲的面积，看一看它比1 平方厘米大还是小？

师：闭上眼睛想一想1平方厘米有多大，然后估一估学具袋中的会员卡表面的面积大约有多少平方厘米？再动手量一量。

师：量完了会员卡，我们用手中的1平方厘米再来量一量课桌面的面积，说一说量后感受。

生：这样量起来太慢了，桌面太大了。

师（小结）：看来平方厘米适合量比较小的物体。量课桌面的面积我们还需要大一些的面积单位。

2.认识平方分米

师：回顾一下刚才我们是怎样学习平方厘米这个面积单位的？下面我们就按照平方厘米的学习方法来学习平方分米和平方米。

生：边长为1 分米的正方形的面积是1 平方分米，我在学具袋中找到了1 平方分米的小正方形。它的大小大约是我的手掌的面积大小，用它来测量桌面比较合适。

（教师把1平方分米的小正方形贴在黑板上）

师：闭上眼睛想一想1 平方分米有多大？然后再动手量一量桌面。

（学生汇报）

3.认识平方米

师：谁来介绍一下1平方米？

生：边长是1 米的正方形的面积是1 平方米，学具袋中没有1平方米的学具。

师：1 平方米有点大，无法放进咱们的学具袋。不过老师做了一个1 平方米的框架，老师也把它请上黑板，让大家具体感知一下1平方米有多大，再估一估1平方米的地方能站多少个同学？

（教师请这节课表现最好的学生上台尝试站入1平方米框架内，一共站了10人）

师：大家闭上眼睛把1 平方米的大小牢牢印在脑海里，再估一估黑板的面积。

（学生汇报）

【思考】在教学面积单位中，教师先让学生自学课本，再让学生找学具袋中的1 平方厘米、1 平方分米两个面积单位，初步形成表象。在认识平方厘米、平方分米和平方米的三个活动中，虽说都是活动，但是教师的引导却有所不同。在教学平方厘米时，为了更好地发展学生空间观念，教师一系列的追问活动都是步步为营。教学平方分米时，教师让学生自主研究，教学平方米时完全由学生感悟，改变了传统教学中教师一讲到底、不分层次的现象。最后让学生用三个面积单位估测一些物体表面的大小，借助联系生活、想象估测等手段，有效地帮助学生发展了面积单位的空间观念，增强了面积单位的量感。

上述教学实践与思考，从根本上来说，都是基于如何培养量感意识进行的。整节课，教学环节环环相扣，教学主线清晰明确，学生在开始认识面积的过程中积累了大量的感性经验，全面理解了面积的概念，为面积大小的比较奠定了基础。而不同层次的比较面积大小的经历，培养了学生的度量意识。最后面积单位的学习，有效地帮助学生发展了面积单位的空间观念，增强了面积单位的量感。正是这些体验，加深了学生的度量意识，从而不断地感悟度量的本质。