基于发展推理能力的数学实验教学例析*

许 彬

(江苏省苏州中学园区校 215021)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标(2011年版)》)指出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[1]．推理能力是学生适应终身发展和社会发展需求的关键能力，是数学课程和数学教学的重要目标．数学实验是以“做”为支架，学生运用相关实验工具，通过实际操作、提出猜想、验证结论，理解数学知识的思维活动．在实验活动过程中，学生使用合情推理作归纳、类比、猜想，并用演绎推理给予证明，因此数学实验为学生推理能力发展提供适宜的问题情境，给推理能力发展足够的活动空间和机会，它是一种发展学生推理能力的有效方式．在苏州市第5届数学实验专题活动中，笔者基于发展学生推理能力设计并执教了“探究圆心运动路径问题”的数学实验课，本文笔者以数学实验的教学设计与思考作例析，以飨读者．

1 数学实验教学设计与分析

1.1 数学实验的教学目标

(1)经历数学实验，探究圆在图形内、外滚动时，圆心经过的路径长．

(2)在操作、观察、猜想、归纳中发展合情推理能力，经历计算、证明等实验活动，发展演绎推理能力．

(3)通过数学实验，积累活动经验，感受数学文化．

1.2 数学实验的教学准备

授课对象是九年级学生，已经学完江苏科技版数学九年级上册全部内容，全班共分6个小组，每组7人，教学时长45分钟．每组已准备的实验工具有：半径1 cm的塑料圆片1个；半径3 cm的圆圈1个；边长4 cm的正方形框架1个；边长 6 cm的正三角形框架1个；万花尺一套；五彩笔1盒；尖头细木棒1根；炫彩纸4张；三角尺1副，量角器、圆规各1个．

1.3 数学实验的教学设计与分析

实验1：探究内滚圆的圆心路径长

(1)圆与圆内切时圆心运动路径长

①操作与计算：将笔尖插入小圆片的圆心，如图1使小圆沿着圆圈内滚一周，圆心O运动的路径是多长？

图1

②猜想并验证：若⊙O的半径为r，⊙O′的半径为R，点O运动的路径长是多少？

设计分析九年级学生已学完圆的知识，实验(1)对于他们来说比较容易，开始的低起点能使学生快速融入课堂．从猜想到验证，合情推理和演绎推理依次训练．

(2)圆与正多边形“内切”时圆心运动路径长

①操作与验证：将笔尖插入小圆片，如图2放在边长为4 cm的正方形框内，小圆片与正方形的边保持相切滚动一周，求点O运动的路径长并予以验证．

图2 图3 图4

②类比与思考：若将①中的小圆片放在边长为6 cm的正三角形框内，如图3小圆片与正三角形的边保持相切滚动一周，点O运动的路径长是多少？若框架是边长6 cm的正六边形呢？

③猜想与归纳：若半径为r的⊙O在边长为a(a>2r)的正n边形内，如图4小圆片与正n边形的边滚动一周，先猜想点O运动的路径长，再归纳出一般结论．

图5 图6

图7 图8

实验2：探究多边形外滚圆的圆心运动路径长

(1)操作与观察：借助两圆外切的概念(图9)将笔尖插入小圆片，放在边长4 cm的正方形框外部，如图10，沿着正方形边框滚动一周，此时圆心O运动的路径长是多少？

图9 图10

(2)类比与思考：如图11，小圆片在△ABC外沿着边滚动一周，若△ABC的周长是12 cm，类比(1)画图并求圆心O运动路径长．

图11 图12

(3)猜想与验证：如图12，半径为r的⊙O在多边形外部沿着多边形的边滚动一周，若多边形周长是C，试问圆心O运动的路径长是多少？请猜想并验证.

图13 图14 图15

实验3：实验之美

图16中是一副万花尺，将笔尖插入小孔，使小尺在大尺内、外滚动起来，交流、展示笔尖的运动路径图案．

图16 图17

设计分析该活动与实验1、2相呼应，使学生体验实验之美，感受与数学实验相关的“繁花曲线”文化．图17是学生用竹签或五彩笔插入万花尺，可在白纸或炫彩纸上画出如图18、19的美丽图案．同时教师向学生介绍“繁花曲线”的创作人杨秉烈先生，讲述他发现和创作的经历，激励学生要善于发现，勇于创新．

图18 图19

2 思考

第24届“国际数学家大会”圆桌会议达成共识：“培养学生的推理能力应当作为数学教育的中心任务”．《课标(2011年版)》把“推理能力”作为10个核心概念之一，充分体现发展学生数学推理能力的重要意义．

2.1 数学实验为发展学生推理能力提供适宜的问题情境

该数学实验教学用精心设计的问题情境引导学生自主探索数学结论，推理能力在数学实验探究中得到锻炼和发展．首先，用问题情境激发出学生的探究兴趣和求知欲，如“将笔尖插入小圆片的圆心，使小圆沿着圆圈内滚一周”，学生边操作边观察，边尝试边思考，目的是为了正确得到“圆心O运动的路径长”.一个个这样的问题情境贯穿数学实验始末，学生在探究兴趣和求知欲的推动下主动观察、归纳、猜想、验证，合情推理与演绎推理相互促进发展．其次，用开放性问题情境给学生推理能力发展留出余地，如“半径为r的⊙O，在多边形外部，沿着多边形的边滚动一周，若多边形周长是C，试问圆心O运动的路径长是多少”、用万花尺画各种美妙图案等，这些问题情境的结果都是开放性的、多元的，学生要经过数学实验操作和验证才能得出论断．最后，用可操作性问题情境化抽象数学知识为具象，使学生变“想数学”为“做数学”，变被动接受为主动探究，学生的推理能力和意识在具象化的数学实验活动中得到切实锻炼．案例中数学实验的教学设计思路如图20所示．

图20

2.2 数学实验为发展学生推理能力提供丰富的活动空间与时机