从一道高考题变式谈指对混合式的五种处理思路

2022-12-04李志娜

中学数学月刊 2022年7期

关键词：增函数同构对数

李志娜

(河北省邯郸市第一中学 056002)

邯郸市2022届高三质检考试的压轴导数题，是一道指对混合的不等式恒成立问题．题目如下：

已知函数f(x)=aex-1-x．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)+x-1≥lnx-lna恒成立，求实数a的取值范围．

可以看出，此题第(2)题与2020年山东高考试卷的第21题基本相同．此题可从不同角度解决，有多种思路和方法，略去第(1)问，现将第(2)问的5种思路整理分析如下．

1 含参分类讨论

3.2 齐次化构造函数

点评这类构造将多元变量利用齐次式变成单一变量，再构造函数进行解决，可以减少多变量带来的麻烦．

4 结语

新高考背景下函数的运用依然广泛，对于构造函数，需要打破原题中的思维束缚，灵活地运用构造法，找准最能反映考题结构特点的函数，以便使问题得到快速的解决．这就要求学生在平时的学习中要善于积累，大胆尝试，将“构造”摆心间，这样面对复杂的压轴题时才能做到“不畏浮云遮望眼”．

当a=1时，g(x)≥g(1)=0，故a=1符合题意．

当0

综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．

方法2(必要性探路+换主元) 令g(1)=a- 1+lna≥0，得a≥1．令t(a)=aex-1+ lna-lnx-1，因为ex-1>0，所以t(a)为[1,+∞)上的增函数，故只须证明a=1时，g(x)=ex-1-lnx-1≥0．因为ex-1≥x，lnx≤x-1，所以g(x)≥0．

上述思路是处理不等式恒成立问题的常见思路，但由于指对数同时出现，使得构造的含参函数最值经常会出现隐零点的问题，计算量和思维量都较大．

2 同构法

方法3(和型同构1) 由于aex-1-1≥ lnx-lna恒成立，即eln aex-1≥lnx-lna+1，所以ex+ln a-1+x+lna-1≥eln x+lnx．因为y=et+t为增函数，所以x+lna-1≥lnx恒成立．

或ex+ln a-1+ln ex+ln a-1≥x+lnx，利用y= lnt+t的单调性，转化为ex+ln a-1≥x恒成立，即x+lna-1-lnx≥0，由常见不等式x-1≥ lnx易得a的范围．

图1

上述思路需要学生能够从指对数同时出现的式子中，观察并构造出同构，即同为和型或积型.这种思路对学生处理代数式的变形能力要求比较高．

3 反函数法

4 放缩法

方法8(放缩法1) 因为x>0,a>0，所以 ex≥x+1，ex-1≥x，故aex-1≥ax(当x=1时取等号)．又因为lnx≤x-1(当x=1时取等号)，所以aex-1-lnx+lna-1≥ax-x+1+lna-1=(a-1)x+lna．

①a=1时，ex-1-lnx-1≥x-x+1+ ln 1-1=0，此时不等式恒成立；

②a>1时，aex-1-lnx+lna-1≥(a-1)x+lna，因为x>0,a>1，所以(a-1)x+ lna>0，即不等式恒成立；

③0

所以，a≥1．

方法9(放缩法2) 将aex-1-lnx+lna-1≥0变为ex+ln a-1-lnx+lna-1≥0．因为ex+ln a-1≥x+lna(当x+lna=1时取等号)，lnx-lna+1≤x-lna(当x=1时取等号)，所以ex+ln a-1-lnx+ lna-1≥x+lna-(x-lna)=2lna．令2lna≥0，得a≥1．以下同方法8的③.

采用指数和对数式同时放缩是非常大胆的尝试，也有可能放缩过度．可以鼓励学生只对指数或对数放缩．另外，放缩后参数范围是否保持不变，如aex-1-lnx+lna-1≥0恒成立与ax-lnx+ lna-1≥0恒成立，理论上是否等价？不等价又如何处理？可进一步思考.