问题解决视角下中美初中数学教材比较——以“负数四则运算”为例

黄跃琦 张维忠

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

20世纪80年代，美国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮[1]，问题解决成为21世纪以来历次国际数学教育大会探讨的重要议题．[2]我国第八次基础教育课程改革也将培养问题解决能力作为主要目标之一，问题解决成为落实核心素养的重要构成部分贯穿在各科课程标准中．[3-5]教材是发展学生问题解决能力的关键性载体，不同国家、不同版本的教材在问题解决编写上存在较大差异．本文将着眼于负数的四则运算，运用文本分析法对中美不同版本教材进行横向比较，以期为教材编写落实核心素养及培养学生问题解决能力提供借鉴与启示．

1 研究设计

1.1 研究对象

数学教材是“教”与“学”活动的工具，也是实现数学课程目标、培养学生问题解决能力的重要资源．因此，本文选用在中国使用范围较广、时间较长，较有代表性的人民教育出版社(以下简称人教版)、浙江教育出版社(以下简称浙教版)、江苏科技出版社(以下简称苏科版)2012年出版的初中数学教材以及Mc Graw Hill公司2014年出版的美国中学主流数学教材Glencoe Math(以下简称MGH版)四版教材进行文本分析．

负数是具体数学到形式数学的第一次转折，理解有关负数的运算(以下简称负数四则运算)需要有高度的抽象性．巩子坤的研究指出97%的学生能正确计算负数相乘，但不超过12%的学生能合理解释负负得正[6]．本文聚焦教材编写中负数四则运算法则的生成过程，即从情境引入到给出法则，探讨四版教材的编写是否有利于培养学生问题解决能力，深刻把握负数四则运算的实质．

1.2 分析比较的依据与维度

课程标准是教材编写的重要依据．本次分析的数学教材对应的课程标准分别为中华人民共和国教育部2012年颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》与全美州长协会于2010年推出的《美国州际核心数学课程标准》．在中国课标中，问题解决作为总目标的关键要素之一贯穿整个义务教育阶段，强调问题解决思维的经历、体验和探索，积累问题解决活动的经验．[7]在美国课标中，问题解决是数学实践标准的首要因素，要求学生理解问题并能坚持不懈地解决问题．综上所述，中美数学课标都强调培养学生理解问题、分析问题并解决问题的能力．所以，从问题解决的角度对中美教材进行分析是可行的．

杜威认为问题解决是一个心智过程，他将问题解决分为五个阶段，即问题情境、问题设定、假设形成、推理与假设检验．[8]奥苏伯尔和鲁滨逊从人的认知层次出发提出问题解决模式的四个阶段，即呈现问题情境命题、明确问题的目标和已知条件、填补空隙、解答后的检验．[9]喻平认为问题解决是一个动态的过程，提出了问题解决的认知模式．[10]吕传汉、汪秉彝等从教学角度出发将问题解决分为四步：设置数学情境(观察分析)、提出数学问题(猜测探究)、解决数学问题(求解反驳)、注重数学应用(学做学用)．[11]本文从教材编写角度出发，将问题解决分为情境的创设、问题的呈现、问题的解决三个部分．

2 四版教材在问题解决编写维度的具体比较

教材编排富有启发性的问题情境，科学呈现引导思维活动的问题，合理运用策略进行问题解决，是培养学生问题解决能力的关键．本文采用文本分析法，从情境创设、问题呈现、问题解决三个角度比较四版教材在问题解决编写维度的异同．

2.1 问题情境的创设比较

情境学习理论适用于问题解决学习活动[12]．借鉴杨孝曼、汪晓勤提出的负数概念情境引入的分类框架[13]，结合四版教材的具体内容，最终将负数四则运算情境分为以下七种：数学情境、距离情境、气温情境、生产情境、海拔情境、负债情境与比赛情境．根据情境分类，对四版教材进行比较(表1)．

表1 四版教材“负数四则运算”情境对比

人教版多用数学情境进行引入，注重数学的内部逻辑，减少生活情境的引入，适当地弱化了学生与具体背景的互动．例如加法法则的引入中，直击本节课的核心“引入负数之后，怎样进行加法运算”，让学生马上进入问题解决的思考状态．

浙教版采取的生活情境丰富，每一节的导入都先让学生经历生活情境，再脱离情境抽象出数学模型进行解答，符合学生的认知发展规律，重点关注其对生活经验的深化和拓展．

苏科版采取的情境与浙教版相似，但浙教版更强调生活数学化，苏科版强调数学生活化．例如温度情境下，浙教版先给出厦门与哈尔滨的温度，让学生直观感受温度的差异后抛出计算温差问题，使其在体验生活中产生疑问，而苏科版先列举数学中运用减法的例子——温差，再让学生计算某天的温差，使其体会数学中的生活模型．

MGH版采取的情境载体最生动，最能引起学生的兴趣.例如减法引入中，另外三版教材情境载体均为某地温差，但MGH版情景载体为海豚从水下跃出的距离差，同时配上海豚跃出水面的图，大大增加了情境的趣味性．

综上所述，在情境创设方面，人教版更关注数学的内部逻辑，多用数学情境引入;浙教版、苏科版与MGH版更关注数学的外部需求，多用生活情境引入．在生活情境引入中，浙教版更注重生活数学化，苏科版更注重数学生活化，MGH版更注重情境的趣味性．

2.2 问题呈现的设置比较

在现实情境中，数学问题呈现的过程既是分析情境的过程又是提出任务的过程．分析情境时是否将现实问题数学化、提出任务时采用何种驱动方式，这二者是问题呈现部分教材编写应该注意的问题．

人教版多从数学情境中产生疑问，因此只讨论任务的驱动方式．人教版以问题来驱动学生的学习．例如在负数加法引入中先提出起点问题“如何计算负数的加法运算”，再提供“引入负数后，加法有哪几种情况”等一系列子问题，将复杂问题拆分成可以操作的子问题，最后提炼问题，得到普遍性的结论，以问题链的形式步步引导学生解决问题．

浙教版以现实情境为起点，分析情境时已经将现实问题数学化，具体表现在将现实中表示相反意义的量赋予数学中的正负号，例如“进货表示正，出货表示负”，同时浙教版也以问题驱动学生的学习．

苏科版在加法与乘法中未将问题数学化，需要学生进行主动思考后补充条件才能将现实问题转化为数学问题进而求解．此外，苏科版以问题驱动为主、活动驱动并存的形式引导学生的学习，从问题驱动模式来说，难度较低，例如加法的情境引入中已经给出比赛结果，所以重点不在于引导学生怎么计算异号两数相加，而在于培养学生数学语言翻译的能力．同时活动驱动作为辅助形式，例如在加法法则的引入中让学生体验笔尖左右移动的过程，让学生在“做”中探索总结数学规律，加深学生对加法运算法则的理解．

MGH版中多呈现原始现实情境，即未将问题数学化．任务的提出多以活动驱动学习，即让学生在“动手实践”环节中解决问题．此外，MGH版提出的问题关注方法的总结，例如“思考怎么从正筹码中移出负筹码”，这道题实质是让学生采用正负抵消的思想，用同时移入正筹码与负筹码个数相等的一组0筹码来解决问题，让学生从筹码模型来直观感受正数如何减去负数．

综上所述，从情境的分析来看，浙教版最为详实，苏科版居中，MGH版分析最少，也就是说MGH版留给学生思考的空间更多;从驱动方式来看，人教版与浙教版用问题驱动学生的学习，MGH以活动驱动学生的学习，苏科版两种方式并驱．特别地，MGH版问题提出更指向过程而非结果．

2.3 问题解决的策略比较

问题解决是面临新的问题而又没有现成对策时寻求处理问题的方法和策略的一种思维活动．[14]策略的使用也可以反映出教材问题解决的编写风格．减法是加法的逆运算，减法法则生成过程是将减法转化为加法，除法同理．所以在探讨负数四则运算问题解决的策略时，我们主要考虑加法与乘法．

李单对比五国教科书将“负负得正”法则的解释模型归纳为三类[15]，邵爱娣则对比美国早期教科书并将解释方式归为七类[16].参考以上文献，将四版教材中的加法与乘法法则的解释策略归纳为五类：数轴分析策略、筹码分析策略、反意建构策略、相反数建构模型与归纳推理策略．其中，筹码分析策略指的是在MGH版中用红色筹码表示负筹码，黄色筹码表示正筹码，加号表示移入筹码，减号表示移出，通过移动筹码来观察最后的结果，例如(-1)+(-2)表示在一个负筹码的基础上移入两个负筹码，观察得出共有三个负筹码，也就是说结果为-3．根据以上策略分类，对四版教材进行对比(表2)．

表2 四版教材“负数加法乘法运算”策略对比

人教版使用的问题解决策略最少．人教版归纳推理策略使用中利用“保持原有运算律仍然成立”的思想进行合情推理生成乘法法则，为将来学习实数数系的扩充奠定基础．由此可见，人教版注重学科知识的连贯性．

浙教版先从学生的生活经验出发，采用反意建构策略;再利用学生的最近发展区——数轴与相反数的相关理论，分别使用数轴分析策略与相反数建构策略．可以看出，浙教版教材注重对学生经验与已有知识的拓展．

苏科版在加法和乘法法则的生成过程中都采用反意建构策略，都以现实问题为背景，对正、负号赋予现实意义，从现实角度解释法则的合理性．可见苏科版以生活为中心，注重学生的生活经验．

MGH版采用的策略最多．其中筹码分析策略贯穿负数四则运算，教材提供不同问题情境让学生多次使用筹码分析策略，可见MGH版注重学生使用策略的经验迁移，从而让学生达到策略使用的融会贯通．特别地，在使用策略时，教材的左边提供明确可供遵循的步骤，右边则是图示版筹码模型，帮助学生进行理解．

综上所述，人教版注重学科知识的连贯性，浙教版注重对已有知识的拓展，苏科版则关注生活经验的迁移，MGH版注重策略经验的迁移．特别地，MGH版教材在策略使用时为学生提供了注释，让学生更容易理解．

3 对我国初中数学教材修订的建议

3.1 教材编写应适量增加不良结构的情境问题

四版教材从现实情境引入的问题多为结构优良型问题，即条件完整目标清晰，但现实生活中的问题多为结构不良型．结构不良的问题具有条件模糊、解决方法多样、结果开放等特点[17]，能为学生提供理解问题、分析问题的空间，是学生提高问题解决能力的重要抓手．因此，建议适度增加教科书中不良结构问题，即在呈现问题时提供原始问题，留给学生更多的思考空间．

3.2 教材编写应适当提供具有思考空间的问题链

问题链教学倡导通过主干问题驱动学生深入思考、建构知识[18]，因此指向问题解决的教材编写应通过具有思考空间的主干问题，即设置连贯的、探究的问题链，让新知与学生已有知识产生意义关联，激发学生求知欲，进而让其主动参与课堂进行深度思考．

3.3 教材编写应渗透问题解决策略的多样性

不同的策略从不同的角度对法则进行阐释，数轴分析策略从抽象角度、筹码分析策略从具象角度、反意构建策略从生活实际角度、相反数建构策略从数学内部角度、归纳推理策略从分配律角度分别对法则进行了解释，让学生从不同侧面理解法则的实际意义．因此教材编写时可以采用多种策略或在课后思考题中渗透不同策略的使用，既能让学生意识到问题解决策略的多样性，又可以让学有余力的学生从其他角度认识抽象的法则．

3.4 教材编写应注重策略模型的具象性与操作性

Sfard提出，许多代数中的概念既表现为一种过程操作，又表现为对象、结构．概念的形成往往要从操作过程开始，再转变为对象的认知．[19]这就是说，初学概念时，要将概念转变为可以操作的“实体”，学生才能理解概念的本质．所有策略中只有筹码分析策略将负数转化为可以操作的实体，一个黄筹码代表1，一个红筹码代表-1，而表示运算符号的“-”则表示“移出”，这让学生很好地区分运算符号和性质符号．因此，建议我国初中数学教材引入筹码模型，让学生在操作中理解四则运算的本质．