数学新高考的考向研究与命题实践——基于中国高考评价体系

黄 健

(江苏省苏州市教育科学研究院 215004)

精准把握教学方向、正确实施人才培养是每个教学工作者追求的目标．基于《中国高考评价体系》(下称《体系》)的新高考体现了国家教育部对教育根本问题的思考与探索，是创新驱动发展战略和科教兴国人才强国战略下的新要求．在深度研究新高考的基础上，笔者结合自身命题实践，谈谈数学新高考的特点以及对有效引导思维提升和能力发展的思考．

1 对《体系》的思考与启示

《体系》指出，高考的核心功能是立德树人、服务选材和引导教学．首先应引导学生树立正确的人生观、价值观，为国家培养具有积极思想、良好心态的后续人才，保证国家的持续性发展．其次，高考会聚焦核心素养，注重能力立意，加强开放探究，突出对逻辑思维和关键能力的考查，增强选拔功能，区分度会更为明显．再次，高考会通过展示文化与应用的广阔领域来引导教学回归基础、回归规律、回归本质，彰显数学的科学价值．

《体系》为我们梳理了正确的研究目标方向、科学的方法路径，提出了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的命题理念．新高考数学命题的首要任务是要体现试题价值，遵循学以致用的原则，坚决摒弃“构造类”和“技巧型”问题，避免试题与生活脱节，坚持应用导向，鼓励学生运用知识、能力和素养去解决问题．新高考数学命题对创新思维的要求会更高，会引入更多的问题情境，要求学生在现有经验与认识的基础上敏锐地发现新旧事物的关系，并利用推测、类比、联想、论证等手段创造性地解决问题，这是对学生核心素养考查的综合体现．

2 基于《体系》的考向研究与命题实践

2.1 强化概念辨析，深化数学理解

数学概念反映数学对象的数量关系和本质特征，是构成判断、推理、论证、拓展等思维的基础．正确理解数学概念，必须理解概念的内涵与外延．多选题型的加入，使得新高考对概念的考查有了更为宽阔的手段，除了传统的对基本概念的直接考查外，还增加了对概念的全方位辨析考查，在复习过程中要注意对概念的深度理解和类比迁移．

数学概念试题的呈现方向一是对相似概念的鉴别，突出纠错性，解题的关键点在于理解不同场景概念，有时需要融入实际情境进行甄别；二是平行概念的呈现，突出全面性，解题的关键点是要全面理解概念，不能有遗漏；三是抽象概念的转化，突出应用性，解题的关键点是要关注概念、公式、定理、法则的推导及拓广．

例1(2022苏州零模)下列命题正确的是( )．

A．若z1,z2为复数，则|z1z2|=|z1|·|z2|

B．若a,b为向量，则|a·b|=|a|·|b|

C．若z1,z2为复数，且|z1+z2|=|z1-z2|，则z1z2=0

D．若a,b为向量，且|a+b|=|a-b|，则a·b=0

命题意图 本题主要考查向量与复数的概念辨析，学生通过对相似概念的鉴别，巩固知识、深化理解．此外还可以联想实数与复数、向量与实数的概念对比，培养类比探究的思维习惯．

例2(2022苏锡常镇二模)随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )．

A．A与B为对立事件 B．A与C互斥

C．A与C相互独立 D．B与C相互独立

命题意图 本题主要考查事件的概念辨析，选择分支比较抽象，需要合理转化，和2021年全国I卷第8题理念一致．选项A,B，让学生直观想象求解，缩短解题时间；选项C,D，需通过独立事件的计算公式验证，引导学生做好对概念的提炼和梳理．

2.2 基于实际情境，彰显应用价值

新高考数学卷强调基于实际情境的考查，“生活实践情境”和“探索创新情境”[1]的引入给高考试题带来了全新的面貌．学生通过阅读、理解、猜测、探求、归纳等手段解决问题，经过长期积累整理出一般的解题模型，体会数学的应用价值，提升阅读理解能力，发展数学建模素养．

情境一般取材于社会热点问题、改革开放伟大成果及数学史的经典案例，培养学生爱国主义精神和民族自豪感，其呈现方向一是基于我国科技领域的新成果，鼓励人才创新；二是基于经典文化领域，注重学科交叉；三是基于生活实践和民生领域，体现学以致用．

(1)求两超市的月需求总量为1 000件的概率．

(2)已知企业对此罐头的供货价格为30元/件，生产此罐头的成本为：800件内(含800)为20元/件，超过800件但不超过1 000件的部分为15元/件，超过1 000件的部分为10元/件．企业拟将月生产量X(单位：件)定为800或1 000或1 200．若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货．为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负．请你确定X的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润Y的数学期望最大，并说明理由．

命题意图 本题以商品买卖问题为情境考查随机事件的概率与数学期望，并通过对数学期望的计算来制定决策，学生在处理问题中应理清成本、利润等关系，感悟数学手段的广泛应用，培养学习兴趣．

说明本题也可融入对统计相关量的考查，并可将进货量X规定在某个区间范围内连续变动，与实际联系更紧密，让学生感受方法的统一和思维品质的提升．变式如下：

某连锁超市欲从一家食品企业购进一种海鲜罐头，每件罐头食品的基本批发价为20元．如果进货数量在1 000件到1 200件之间(不含1 000件，含 1 200件)，超出的部分每件打9折；如果进货数量大于1 200件(不含1 200件)，超出的部分每件打8折．该超市准备以每件30元的零售价格在市场上销售这种海鲜罐头，为保障食品安全，到期未能售出的罐头就地销毁．为了解需求量情况，该超市通过市场调研，绘制了如图1所示的频率分布直方图．

图1

(1)请利用频率分布直方图的组中值估算该食品的平均市场需求量n；

(2)以各组需求量的频率作为各组需求量发生的概率，假设实际销售量为市场最大需求量．考虑到实际情况，超市决定将进货量X(单位：件)定在800件到1 400件之间，则X为多少时，利润Y的数学期望最大？

2.3 基于数据特征，考查分析想象

命题者凭借自身较强的观察能力和创造能力，对原问题的本质特征进行深入分析与研究，找出“已知”与“所求”之间的联系纽带，编制合适的替代条件，将问题“改头换面”．这里的数据特征，不仅是问题对象的代数式特征，还包括几何、背景等属性特征．

基于数据特征的试题呈现方向一是基于代数特征，强调变形能力与换元能力，要求学生通过观察代数式特征，尝试变形或换元，探寻问题本源；二是基于几何特征，注重图形溯源与运算优化，要求学生通过图形感知挖掘几何背景，优化解题的途径；三是基于高等背景，注重形式和问题类比迁移，要求学生提升知识宽度和探究能力，努力寻找问题关联，从而加深认识、突破难点．

命题意图 本题考查函数的零点问题，解题的关键是要通过观察函数表达式特征发现其为偶函数，将问题转化为研究在(0,+∞)上的零点个数，达到简化运算的目的，要求学生有较强的洞察力和知识迁移的能力．

说明将函数表达式进一步抽象化，有如下变式：

分析令t=x-1，则g(t)=f(t)+f(-t)为偶函数，问题转化为函数g(t)在(0,+∞)上有两个零点，下略．

例5(2022苏州大学考前指导卷)已知x1,x2,x3(x1

命题意图 本题考查多元最值问题，应在充分理解零点定义的基础上寻找合适的转化路径，由函数表达式的特征发现其对称性是解题关键．

命题意图 本题考查点到直线的距离，渗透数形结合与转化化归思想．常规处理是平移已知直线与函数图象相切，进而转化为求已知直线与切线的距离．事实上，此题源于高等的切线不等式背景：

2.4 尝试开放探究，有效区分差异

数学探究是一个活动或者一个过程，它包括：观察分析数学事实，发现并提出有意义的数学问题，数学探究猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明．数学探究有助于学生体验知识产生、发展、完善的过程，树立科学严谨的态度和不畏困难的精神，在质疑和反思中提高发现、提出、分析、解决数学问题的能力．

开放探究问题的呈现方向一是重视对研究对象通性的考查，结论不单一，思维多样化，要求学生全方位理解对象属性；二是对动态图形中的结论探究，考查定理、思想的灵活运用，要求学生能够分析出动态过程中对象变化的规律；三是调整逻辑关联、转变逻辑方向，直接指向对概念的深度考查，强调基础性．[1]

例7(2022苏锡常镇二模)已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为正整数．请写出一个这样的圆锥的体积V=．

命题意图 本题考查简单几何体的侧面积和体积、圆锥的侧面展开图．引导学生经历对公式的回忆及表达，全方位完善知识结构，从而提升关键能力和学科素养．

(1)证明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整数k,m的值，使得c=mb和 tanA=ktanC同时成立．

命题意图 本题考查解三角形，第(2)题以探究性问题形式呈现，体现数论方法与三角知识的融合，激发学生的探索欲，有效区分了学生间的差异．

2.5 注重知识交叉，彰显能力立意

新高考全国卷正在努力打破数学知识间的壁垒，寻找试题的新的呈现方式．在考查方式上更加突出综合性[1]，强调能力立意，要求学生能够揭开问题表面的面纱，深入到问题的本质中去．

注重知识交叉的试题呈现方向一是知识载体的融合贯通，彰显呈现方式的灵活性；二是研究目标的适度变化，彰显知识板块的发展性，培养创新意识；三是思想方法的多元考查，彰显能力考查的多样性．

C．对任意n∈N*均有an+bn≤cn

D．存在n∈N*使得an+bn>cn

命题意图 本题以二项式为载体，考查不等式与数列问题．试题呈现方式灵活，研究目标多变．学生若对概念和基本思想有深刻理解，则不难解决该问题．

例10(2022苏州零模)已知函数f(x)=ln(ex-1)-lnx．

(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；

命题意图 本题聚焦函数导数与数列、不等式的有机融合，重点考查导数的综合运用，通过载体融通实现目标变化，融合“联想”“构造”“迭代”“放缩”等多种思想方法，实现对逻辑推理核心素养的考查．

说明此题源于2020年教育部考试中心为山东省命制的新高考模拟卷，原题如下：

(1)求a；(2)讨论g(x)=x(f(x))2的单调性；(3)设a1=1，an+1=f(an)，证明：2n-2|2lnan-ln 7|<1．

2.6 注重逻辑推理，发展理性思维

逻辑思维能力是学习数学的根本能力，它是借助问题条件，通过寻找依据、层层递进等思维形式进行思考与活动的能力．提升学生的思维品质是数学学科的根本任务．新高考全国卷题型最显著的变化是增加了逻辑证明题的数量，力求全方位考查学生的思维习惯和思维品质，要求学生能准确而有条理地表达自己的思维过程，包括分析、推演、说理、论证等环节．教师应及时贯彻国家方针，努力帮助学生提升逻辑推理能力，强化理性思维，培养创新能力．

注重逻辑推理的试题呈现方向一是重视充要关系的辨析，完善知识网络，以此来改变教学中忽视概念细节的情况；二是重视基于概念的探究，揭示命题背景，体验试题价值；三是重视高等背景的延伸，体现考点融合，体现综合性与创新性[1]原则．

例11(2022苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N．

(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；

(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围．

命题意图 本题聚焦对直线与抛物线位置关系的考查，检测学生的字母运算能力．试题追求理性思维和数学探索，要求学生在经历逻辑推理的过程中体会数学的重要性．

图2

3 结语

新高考数学全国卷注重基础、体现方法、突出思想、考查能力，考查学生的数学素养和探究意识．在《体系》的引领下，教师应努力转变教学观念，构建有价值的教学模式，对学生的思维能力、创新意识、问题意识及合作意识开展高质量培养．在新课教学中，教师要培养学生的开放探究意识，通过开放性设问、连续型套问、拓展性追问、纠错式反问等方式帮助学生领悟问题、发展思维．在解题教学中，教师应关注课标理念、重视四基落实、立足数学本质、优化示范引领，通过一题多解、多角度探源、变式拓展、总结提炼等方法引导学生探寻本质、理解背景．作为教育主管部门，应当呼吁和鼓励更多的教师参与命题研究，在实践中体会《体系》的理念，从而更为精准地了解学情，把握教学方向．