高中物理深度学习的数学障碍突破

唐兴华 周志平

（1.厦门实验中学，福建 厦门 361000；2.福建教育学院杂志社，福建 福州 350025）

一、问题的提出

高中生普遍感觉物理难学，尤其是基础薄弱的学生，进入高一学习一段时间并经首次物理单元检测后，往往会发现物理成绩较以往从未有过的低。部分同学初中能考八九十分，高中却只有四五十多分甚至更低。大部分学生感觉到高中物理难学并陷入困惑当中：老师课上讲的明明听懂了，但自己独立做题时又不会，老师再讲题时一提示感觉自己又会了，然而一考试成绩还是上不去。究其原因，既有初中阶段培养“先天不足”的客观制约，也有高中起始阶段“后天失养”的人为因素，简单归纳为以下三个方面：

第一，从具象认知到抽象理解的过渡问题。初中物理内容形象易懂，考查偏向于知识性记忆与简单应用，而高中物理内容抽象晦涩，考查偏向于理解性记忆与综合应用。高中物理更加注重学生对基本概念内涵外延的理解，对定义、规律等要从本质上认识、理解，不能只是简单记忆与背诵，如对于位移与路程、速度（平均速度）与速率（平均速率）等的理解与辨识。

第二，从感性分析到理性分析的能力提升问题。高中物理更加注重对真实物理情景（包含自然、生活、生产情境）的理解、物理过程的分析和物理模型的建构，如对力与运动的问题，要从受力、运动两个角度进行分析，认真分析物体每个阶段的运动如何？受力情况如何？只有弄清楚运动全过程与各阶段的受力情况，才能选择相应的物理规律解题。

第三，从定性分析问题到数学定量分析的衔接问题。许多学生在高一初始就表现出应用数学这个工具分析问题和解决问题的薄弱环节。如繁分数，数字运算能力差，依赖计算器，不习惯利用科学计数法，保留有效数与保留小数混乱，矢量、三角函数运算与物理学习脱节（高一力的合成与分解涉及三角函数），正弦、余弦、正切等出现混乱，三角形中找已知角找不准确等。在高中阶段物理学习主要涉及以下几个数学基础：矢量运算、三角函数、一次函数、二次函数和微积分（微元法）。

二、深度学习能力的内涵及其能力模型构建

（一）深度学习能力的内涵

深度学习能力的达成（如图1），要求通过教学实践活动，促进学生精准掌握学科知识，学习如何批判性思考和解决问题、有效进行协作和交流、自我指导和形成一套学科思维。对于真实情境下的物理问题解决的能力培养，教师要从深度学习的角度出发，在夯实物理必备知识和关键能力的基础上，鼓励学生自主探究与合作探究，在典型例题探究中逐步学会审题、分析、建模、计算，形成解决真实情境下的物理问题的能力。

上述三个原因，首先，从具象认知到抽象理解的过渡问题，我们需要解决真实物理情境（问题）和物理概念（观念）之间的过渡和衔接问题。其次，从理性分析的能力提升问题。我们需要解决物理概念（观念）到物理规律（模型）的过渡问题。然后，从定性分析问题到数学定量分析的衔接问题。主要是数学定量分析的问题。我们需要解决物理数学（量化）的障碍。最后，面对各种变式的具体的问题，学生还需要将上述环节和流程融通的能力，需要更高的物理应用（实践）的能力。

（二）物理深度学习能力模型

由上述各原因而探索的解决物理深度学习能力的关键环节，将之组合，可以形成“物理情境（问题）—物理概念（观念）—物理规律（模型）—物理数学（量化）—物理应用（实践）”物理深度学习能力模型。上述流程或模型，是一般物理问题的解决。流程是能力的基础，而每个流程环节的要点和流程之间各环节的衔接，是保证这种能力的关键。

第一步，物理情境（问题）。“物理情境（问题）”是指构成和蕴涵在物理现象中的那些相互交织的因素及其相互之间的关系。物理试题总是将物理问题设置在物理情境之中，课本中的素材、生活生产实践、社会热点和往届高考试题，是高考物理试题情境的主要来源。在解析物理情境（问题）时需要将具体的情境呈现出来，让思维有个落足点。

第二步，物理概念（观念）。物理概念是从物理学视角形成的物理相关知识等的基本认识，由三大要素组成：一是概念形成的基础，包含感知活动、观察实验、经验事实；二是概念形成的形式，包含概念结构、数学结构、知识结构；三是概念形成的方法，包含问题解决、科学方法、观察证实。物理概念来源于物理实践与事实，它是从感性认识抽象而成的理论认识，能再回到实践中去，用来指导实践，并予以检验和深化。在学习物理概念过程中，可以通过类比、比较、演绎推理、概念关联等方法形成概念，从具体物理现象走向抽象概念；也可以把物理概念应用于实践，应用于解决实际问题，从抽象概念走向实际应用，强化概念理解。然而，仅仅掌握物理概念还不够，还需要从物理概念升华到物理观念，因为物理观念是对相关物理概念和物理规律的系统化认知，是系统认知自然现象、解决物理问题的基础。它包括有物质观念、运动与相互作用观念、能量观念等。物理学习需要将相关概念关联起来，让物理知识在脑海中建构成网，形成物理观念。

第三步，物理规律（模型）。物理规律即物理定律，是以经过多年重复实验和观察为基础，并在科学领域内普遍接受的典型结论。而物理模型是利用物理规律解决问题的有机整体，贯穿在整个物理问题解决过程之中。学生解题时需将具体情境（问题）转化成对应的模型，然后将该模型涉及的所有规律都关联起来。由于高中物理的规律学习是分阶段的，模型所涉及的规律不是一次性完成的。在物理学习中需要梳理经典模型所遵循的相关规律，以便有效运用这些规律。例如与匀变速直线运动相关的规律有运动学规律、牛顿运动定律、动能定理、动量定理、机械能守恒定律等。物理解题过程就是转化情境问题为模型，精准选择相关的规律，用最佳方法解决物理问题。

第四步，物理数学（量化）。物理数学，即应用数学方法处理物理问题的能力，它是高考重点考查的五种基本能力之一。对此，《中国高考评价体系》等有明确的阐述，要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算。历年高考物理试题都涉及应用数学方法的问题，遍及各种题型，有些以简单的选择题呈现，有些以综合计算题呈现。高中物理中常用的数学方法有图象法、函数法、几何法、数学归纳法、微元法、极值法等。熟练掌握这些数学方法，能够快速提升学生物理解题能力，从而有效提升学生成绩。

第五步，物理应用（实践）。物理应用，即物理知识在生产和生活中的应用，学生要在学会解决具体题目时，掌握物理学基本理论与方法，具有良好的数学基础和基本技能，能够举一反三、触类旁通，解决一类问题。由此，在解决一类具体问题的时，要学会归纳总结，思考一类问题的解决办法，提升综合应用能力。

三、物理深度学习能力模型的应用

利用物理深度学习能力模型解决物理问题的五个步骤层层递进、环环相扣、缺一不可。下面是高一高二一些常见的物理问题，现例析利用该模型解决真实物理情境（问题）的流程，达到破除学生数学障碍、深度学习物理的目的。

（一）矢量与三角函数在力与运动中的应用

例题1（共点力平衡）.如图2 所示，轻绳OA 与天花板的夹角为60°，轻绳OB 与天花板的夹角为30°两根绳所能承受的最大拉力不能超过100N，OC绳的强度足够大，CD 绳下端悬挂的物重G 不能超过多少？

［解析］物理情境（问题）：三力作用下的共点力平衡问题，研究对象为节点O，研究O点平衡力FOA、FOB和FOC三者的定量关系。

物理概念（观念）：分力的作用效果与合力的作用效果等效。

物理规律（模型）：静止的物体处于平衡状态，平衡条件为合外力为0，三个分力构成封闭的三角形。

物理数学（量化）：方法一（合成法），以O点为研究对象，受力分析如图3 所示，AO绳对O点的拉力FA和BO绳对O点的拉力FB的合力与OC绳的拉力T相等；对小球进行受力分析，由二力平衡可知OC绳拉力T等于小球重力G。

方法二（正交分解法），对物体和结点O分别进行受力分析，并对拉力进行正交分解，如图4 所示。

对物体：T=G

对O 点：T=T'

X 方向：FAsin 300=FBcos 300

Y 方向：FAcos 300+FBsin 300=T'

解得FA=Gcos 300FB=Gsin 300

显然，当物重G 变大时，FA先达到临界值100N

物理应用（实践）：处于静止或匀速直线运动状态的物体，处于平衡状态时受到的合外力为0，可以对物体进行受力分析，利用共点力平衡条件计算各分力。

例题2.（洛伦兹力的计算）如图5 所示，一个电子e在匀强磁场中运动，当电子的速度υ与磁场B的夹角为θ时，所受到的洛伦兹力大小为多少？

［解析］物理情境（问题）：求解运动电荷在磁场中所受到的洛伦兹力的大小和方向。

物理概念（观念）：洛伦兹力方向始终垂直于速度和磁场构成的平面，由左手定则判断，由此可知，洛伦兹力不做功，只能改变运动电荷速度的方向；洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度和磁场等有关。

物理规律（模型）：当电子的速度与磁场垂直时，洛伦兹力大小为f=eBυ，方向满足右手定则；当电子的速度与磁场平行时，大小为0。对于电子速度与磁场呈任意夹角的情况的洛伦兹力计算，可以对速度进行分解或者采取矢量叉乘的运算法则f=eυ×B=eυBsinθ（方向由左手定则判定）。

物理数学（量化）：解法一（矢量叉乘）：根据计算法则，洛伦兹力大小为：f=e|υ×B|=eυBsinθ方向垂直纸面向里。

解法二（分解法）：将速度υ 进行分解如图6 所示，υ 的垂直于B的分量υ⊥对洛伦兹力有贡献，平行于B的分量υ//对洛伦兹力无贡献，故洛伦兹力大小为：f=eυBsinθ，方向垂直于纸面向里。

物理应用（实践）：洛伦兹力方向始终垂直于速度和磁场构成的平面，由左手定则判断，由此可知，洛伦兹力不做功，只能改变运动电荷速度的方向；洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度和磁场等有关，满足矢量叉乘的运算法则f=eυ×B=eυBsinθ（方向由左手定则判定）。利用矢量叉乘法计算的物理量还有角动量、力矩等。

（二）一次函数在力与运动中的应用

例题3（v−t图象）t=0 时，甲、乙两辆汽车从相距70km 的两地相向行驶，它们的v−t图象如图7 所示，忽略汽车掉头所需要时间。下列关于汽车运动状况的描述正确的是（ ）

A.在1h末，乙车改变运动方向

B.在2h 末，甲乙相距10km

C.在4h内，乙车运动加速度的大小总比甲车大

D.在4h末，甲乙两车相遇

答案：BC

［解析］物理情境（问题）：利用υ−t 图像描述直线运动，解决相关问题。

物理概念（观念）：平均速度是描述物体运动快慢的物理量，是位移与发生该段位移的时间的比值，它是一个矢量，有大小，有方向；当时间趋近于零时，对应的是每个时刻对应的瞬时速度，简称速度。

物理规律（模型）：物体的运动性质由速度和加速度共同决定；对于直线运动，速度由υ−t 图像可直接读出，加速度由直线斜率决定；图像和坐标轴所围面积为位移；交点为共速点；纵轴截距为初速度，横轴截距为速度为零的时刻；通过图像可以判定物体的运动性质。

物理数学（量化）：速度时间图象在t轴以下为反向运动，故2h末乙车改为反向，选项A 错误；由图像围成的面积可知，乙在2h末的位移为30km，甲车的位移也为30km，二者相向运动，二者距离为70−30−30=10km，选项B 正确；从图像斜率来看，斜率的绝对值越大，加速度越大，故乙车加速度在4h内一直比甲车加速度大，选项C 正确；4h末，甲车的运动位移为120km，乙车为30km，两车原来的距离为70km，故此时两车还相距2km，选项D 错误。

物理应用（实践）：υ−t 图像只能描述直线运动，速度随时间的变化可以通过图像直接读出；加速度由曲线的斜率决定；图像和坐标轴所围面积为位移；交点为共速点；纵轴截距为初速度，横轴截距为速度为零的时刻；通过图像可以判定出物体的运动性质。在利用数学图像解决物理问题时，要注重数形结合，明白图像对应的物理意义。

（三）二次函数在追及问题中的应用

例题4.在平直的轨道上，甲、乙两车相距为x0，同向同时开始运动。甲在后面以初速度v1、加速度a1做匀加速度直线运动，乙在前面以初速度v2、加速度a2做匀加速度直线运动。假定甲能从乙的旁边通过而互不影响，下列情况说法正确的是：（ ）

A.当a1＝a2时，甲、乙只能相遇一次

B.当a1＞a2时，甲、乙可能相遇二次

C.当a1＜a2时，甲、乙只能相遇二次

D.当a1＜a2时，甲、乙可能相遇二次

答案：AD

［解析］物理情境（问题）：出发点、速度、加速度都不同，方向相同的两车追及问题。

物理概念（观念）：出发点不同的两个物体相遇时，后方物体的位移等于前方物体的位移加上出发时二者的距离。

物理规律（模型）：初速度不为零的匀加速直线运动（甲）追赶初速度不为零的匀加速直线运动（乙），不一定能够追上，若相遇，运动示意图如图18 所示，相遇的次数需要进行分类讨论。

物理数学（量化）：

解法一：（利用二次函数根的判别法）

设经时间t，甲、乙相遇，由位移公式可得甲、乙两车的位移分别为：

相遇时满足：x1=x0+x2③

由①②③三式可得方程：(a1−a2)t2+2((v1−v2)t−2x0=0 ④

分析与讨论：

1.当a1＝a2时，由④式可得t=，若υ1>υ2，t＞0，能追上，且只相遇一次；若υ1<υ2，t<0，不能追上。

2.当a1≠a2时，由④式可得

（1）当a1＞a2时，无论υ1、υ2的关系如何，t的两个解中都是一正一负，舍去负根，只有一个正根，两车只能相遇一次。

（2）当a1＜a2时，若υ1<υ2，t的两个解中均为负值，不可能相遇。若υ1>υ2

当∆=4（v1−v2）2+8(a1−a2)x0<0 时，t无解，不可能相遇；

当∆=4（v1−v2）2+8(a1−a2)x0=0 时，t只有一解，相遇一次；

当∆=4（v1−v2）2+8(a1−a2)x0>0 时，t有两个正解，相遇二次。由此，该情形下两车可能相遇，也可能不相遇，若相遇，可能相遇一次或二次。故正确的选项为AD。

解法二：（利用匀变速直线运动规律进行判定）

当a1＝a2时，甲乙若相遇，那么一定有v1>v2，根据匀变速直线运动速度公式可知，之后甲的速度依然比乙速度大，二者不可能再相遇，A 正确；当a1＞a2时，甲乙若相遇，第一次相遇时，之后甲的速度依然比乙速度大，二者不可能再相遇，故只能相遇一次，B 错误；当a1＜a2时，甲乙若相遇，那么一定有v1>v2，当二者第一次相遇时，甲超过乙，但之后的某个时刻甲的速度将小于乙速度，甲将被乙超过，故能够相遇二次，当二者第一次相遇时，那么，接下来的时刻甲的速度将小于乙的速度，甲乙不可能再次相遇，即只相遇一次，故D 正确，C 错误。

物理应用（实践）：出发点不同的两个物体相遇时，后方物体的位移等于前方物体的位移加上出发时二者的距离。可以利用函数定量计算两个物体的位移的关系，求解相关物理量，判定二者是否相遇及相遇的次数；也可以利用匀变速直线运动规律对两个物体每个阶段的运动状态进行分析，判定两个物体相遇与否及相遇的次数。

（四）微元法在流体的动力学应用

例题5.某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：

1.喷泉单位时间内喷出的水的质量；

2.玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

［解析］物理情境（问题）：利用动量定理和运动学规律解决流体的动力学问题。

物理概念（观念）：液体的粘滞性和可压缩性很小，可近似看作是理想流体，它是人们为研究流体的运动和状态而引入的一个理想模型。理想流体单位时间流入的体积等于流出的体积（稳定性），若流体截面积不变，流体的流速不变。根据动量定理，物体A对物体B 的冲量等于物体B 的动量的变化量。

物理规律（模型）：对于流体，研究对象可以确立为单位时间内流出的流体微元，本题以很短的Δt时间内的水柱为研究对象，质量为∆m，该水柱在Δt内冲击玩具（受到水压作用F压=F冲）后速度从υ0减小为0，玩具在水冲击力F冲作用下保持平衡。

物理数学（量化）：1.在一段很短的Δt时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度υ0不变。

该时间内，喷出水柱高度：Δl=v0·Δt①

喷出水柱质量：Δm=ρ·Δv②

其中Δv为水柱体积，满足：ΔV=Δl·S③

2.设玩具底面相对于喷口的高度为h

由玩具受力平衡得：F冲=Mg④

其中，F冲为玩具底部水体对其的作用力.

由牛顿第三定律：F压=F冲⑤

其中，F压为玩具时其底部下面水体的作用力v'为水体到达玩具底部时的速度由运动学公式：

v'2−=−2gh⑥

在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm

Δm=ρ·v0·S·Δt⑦

由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有

动量定理(F压+Δmg)·Δt=Δm·v' ⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式变为F压·Δt=Δm·v' ⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得h=

物理应用（实践）：关于流体的动力学问题，需要利用流体的稳定性和微元法进行研究，以单位时间内流出的流体为研究对象，然后利用动量定理与运动学规律等解决相关的物理问题。