高职数学专升本考试中微分中值定理的应用

皮荣娇 胡丽金

（黔东南民族职业技术学院 贵州 凯里 556000）

引言

微分中值定理包括的内容很多，本文旨在高职数学大纲内的三个微分中值定理，其包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理，这些定理利用导数来探究函数的性态[1]。通过分析2010年以来贵州省的数学专升本考试题，发现罗尔中值定理和拉格朗日中值定理出现的频率比较高；但是，在高职数学教学过程中，学生面对微分中值定理的应用处于迷茫的状态，笔者认真分析高职学生应用知识点存在的问题，针对问题提出解决困难的策略，从而提升高职学生应用微分中值定理的信心。

1.微分中值定理的内容

1.1 三个微分中值定理之间的相同条件

拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理有两个相同的条件，一个条件是要求函数在给定的闭区间[a,b]上连续，另一个条件是要求函数在给定的开区间（a,b）内可导；学生应用微分中值定理的前提学会判断这两个条件成立。

1.2 三个微分中值定理的差异性条件

拉格朗日中值定理达到上述两个条件要求便得出结论，在（a,b）内至少有一点ξ使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）；对于罗尔定理而言，其满足上述两个条件的基础上还另外增加一个条件，即函数在闭区间端点值相等，得出结论为：有一点ξ在开区间（a,b）内使得f'（ξ）=0；对于柯西中值定理而言，两个函数f（x）和g（x）同时满足上述两个条件的情况下，加上一个条件g'（x）≠0，其结论为：在（a,b）内至少有一点ξ，使得[2]。

2.微分中值定理在历年专升本考试题型分析

2022年贵州省专升本数学考试第17题，函数y=arctanx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______。

2020年贵州省专升本数学考试第7题，在闭区间[-1,1]满足罗尔中值定理的函数是（ ）

2015年贵州省专升本数学考试第26题，用拉格朗日中值定理证明不等式：

贵州省专升本数学考试中，微分中值定理从2012年到2015年都是以证明题型的形式出现，2016年到2020年这几年又不出现在考试题目中，到2020年以选择题的形式出现，到2022年以填空题的形式出现，说明微分中值定理的应用在专升本考试中有很高地位。

3.高职学生在应用微分中值定理存在的问题

例1：函数y=arctanx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______

首先，要求解例1学生要根据满足拉格朗日中值定理的条件来分两步进行。第一步是判断函数在闭区间上的连续性，这个步骤还得考虑函数连续的三个条件：①函数在所给定的区间内有定义（或者有意义）；②函数在所给定的区间上存在极限，如果出现分段函数，还得判断分段点处的左右极限值；③函数在其给定区间的极限值和函数值相等。在高职数学教学过程中，学生面对第一条件出现以下几个问题：（1）学生不能准确的判断函数的定义域，或者忽略导致函数不连续的点；（2）学生不能准确的求解函数的左右极限，所以可能得出极限不存在的结论，导致无法继续完成题目；（3）学生不能准确判断函数对应的定义域，求解出来的函数值可能出现错误，导致函数值和极限值不相等，从而得出不连续的结论。

其次，满足拉格朗日中值定理的第二个步骤是判断函数在开区间内是否可导，学生在这一步碰到问题是能否正确求出一阶导数，从而得出可导的结论，否则将无法继续完成证明。

最后，在解决第一步判断连续性和第二步求解导数以后，学生根据拉格朗日中值公式来计算ξ值，根据f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）求解出ξ值。这个过程学生出现的问题有：（1）f（b）-f（a）求解过程出错，导致得出的ξ值不准确；（2）f'（ξ）求解过程需要学生非常熟练函数导数的求解方法，一旦学生在求解函数的导数过程把握不够，就会求解出不准确的导函数，导致所求的ξ值不准确。

例2：在闭区间[-1,1]满足罗尔中值定理的函数是（ ）

首先，例2能够顺利解决，学生要掌握满足罗尔中值定理的几个条件。第一和第二个条件和拉格朗日中值定理的条件相同。我们的学生在判断函数的连续和可导上面会出现一些问题，如例1所述的情况。其次，罗尔中值定理的第三个条件是要求定义域端点处的函数值要相等，这个求解过程学生常出现的问题是端点函数值计算错误等。最后，根据罗尔中值定理公式f'（ξ）=0求解出ξ的值。学生存在的问题则是不能准确求解ξ，由于学生对函数的一阶导数求解过程掌握不够。

例3：用拉格朗日中值定理证明不等式：

证明：由已知b＞a＞0，假设f（x）=1nx，x∈（a,b），

显然，函数f（x）=1nx在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，其满足拉格朗日中值定理，

则至少存在一点ξ∈（a,b）使得

又ξ∈（a,b），且b＞a＞0

综上，当b＞a＞0时，得证

拉格朗日中值定理在贵州省专升本数学考试中以证明题型高频出现，如2012年到2015年的证明题。在使用拉格朗日中值定理求解证明题型过程中，高职学生会出现怎样突出的问题，以下将以例3为案例，分析学生易出现的问题。

首先，通过题目的所需要证明的结论来假设辅助函数。这一步要求学生能够通过题目的结论来推导所需函数，从而假设函数。学生常见的问题是：学生缺乏逆向思维，通过题目的结论很难得出所需要的函数，如果学生做不到逆推过程，那么这道题目直接无从下手。

其次，拉格朗日中值定理的证明题型一般表现为不等式的证明。例3从表面看是比较三个式子的大小，实质上是函数单调性的求解，学生本来对函数的一阶求导掌握不够，再加上部分题目可能一阶导数无法判断单调性，还得进行二阶三阶求导。那么学生在这一步的问题比较突出的方面是：不能准确的求解一阶导数，或者求解一阶导数以后发现无法判断函数的单调性，从而放弃题目证明。

最后，利用拉格朗日中值定理对构造的辅助函数进行变形，完成题目的证明过程。学生解决了构造辅助函数和函数单调性的证明，却面临着如何使用拉格朗日中值来求确定不等式的方向，这一步学生存在的问题是：（1）不易推导出证明结论所需要的公式，而这个公式来自拉格朗日中值公式的变形。（2）易忽视ξ∈（a,b）这条件。学生集中注意力在中值定理的应用，却总是忘记ξ∈（a,b）这个条件中隐含着不等式a＜ξ＜b，导致无法完成题目的证明。

4.提升高职学生应用微分中值定理解决问题的策略

4.1 理解三个微分中值定理的内容

通过分析三个微分中值定理的相同条件和差异性条件来掌握知识点的关系。罗尔中值定和其他中值定理不同之处是区间端点处有f（a）=f（b），这个条件很容易从三个中值定理中区别开来；柯西中值定理则是判断两个函数的关系，又从三个中值定理中独立出来；这三个中值定理从条件上看上去相似，但是他们得出的结论却又不同。这三个定理共同点是要求所求函数满足给定区间上的连续性和可导性，这就要求学生要从函数的定义、极限的存在情况、导数的存在情况、函数的连续情况进行分析；学生要能够应用微分中值定理，首要任务是深刻认识这三个定理的共同点和不同点，好为下一步应用奠定基础。

4.2 准确判断函数的定义域

4.3 准确求解函数的极限

4.4 准确判断函数的可导性

分析例2的C选项，函数f（x）=|x|，x∈[-1,1]是否可导。由于函数f（x）=|x|，x∈[-1,1]是分段函数，分别是f（x）=-x，x∈[-1,0）和f（x）=x，x∈（0,1]，发现函数在x=0处的和，得出函数在x=0处不可导，使得函数不能满足罗尔中值定理。

4.5 正确记忆微分中值定理相关公式

例1：函数y=arctanx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=（ ）

已知条件是函数y=arctanx在[0,1]上已经满足拉格朗日中值定理，那么这个过程就不需要判断满足拉格朗日中值的几个条件，而是直接应用结论来解题，存在一点ξ∈[0,1]使得，而则总结:这个过程学生不能因为记忆微分中值定理相关公式错误，而导致所求的ξ值错误。

4.6 准确的构造辅助函数

例3的证明过程和存在的问题已经的第3点阐述，通过例3我们总结如下：如果使用微分中值定理证明不等式，那么需要根据微分中值定理的几个公式进行变成，从而得到所证结论。这个过程，学生需要足够的耐心，尝试对所求不等式进行四则运算的变形，从而得出题干需要的辅助函数，得出辅助函数以后，还要进行假设性证明，假设辅助函数是正确的，利用已知条件对证明结论进行证明，这个时候就会出现两种情况，假设辅助函数正确或者错误。如果假设的辅助函数正确，那么学生能够推导出题目中的结论，如果假设的辅助函数错误，那么学生推导出来的结论和题目不符合。

结语

通过贵州省2010年到2022年的专升本数学考试题目看，微分中值定理以不同类型题目出现。但是无论题型如何变化，微分中值定理的理论基础不变，所以，学生想要让自己这部分知识的应用水平提高，学生要能够明确罗尔中值定理等这几个中值定理的相同点和不同点，从知识点的相同条件去找可能考试的点和题型，从知识点的差异性条件去考虑可能出现的难点，这些难点是什么，如何克服难点，从而让学生真正意义理解和掌握微分中值定理的应用。