“双减”背景下初中数学校本作业有效性研究

黄兴昌

（福建师范大学泉州附属中学 福建 泉州 362000）

首先要强调的就是，初中数学校本作业不再只是教师个人的事，也是学校的事，因此提升校本作业的有效性就是学校开展教学工作的需要。传统教学中，教师将作业的有效性简单地理解为学生完成作业的状况，换言之，学生完成的正确率高作业的有效性就高。其实在“双减”的背景下，作业的有效性更多地体现在学生做作业的过程中，体现在他们的获得与生长上。因此在校本设置上教师要将有效性与学生的生长对接起来，以提升作业的效用。

1.教师要设置开放性作业，有效促进学生思维的发展

教师在设置作业时，要多给学生思考的机会。教师在减少作业数量的同时要尽量通过有效的作业促进他们思维多元化的发展。因此教师在设置作业时，可多设置一些开放性的作业，就是不固定学生的思维，给他们更多生长的可能。所谓开放性作业就是作业中所涉及的题目要么结论不是固定的，要么问题不是固定的，要么解法不是唯一的。显然地，这样的作业旨在引发学生思考，而不只关注最后的结果[1]。

以华师版初中数学九年级下册《圆的切线的判定与性质》为例，教师设置这样的作业，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N。你能发现哪些问题，同时你又能解答出几个问题。可以看出来，这样的作业改变了传统的作业的模式，学生既需要拥有发现问题的能力，同时也需要拥有解决问题的能力。学生先是依据作业中文字的描述，作出如图一所示的图形。对着图形不同的学生发现出不同的问题，每个学生都会为自己发现的问题而努力找寻结果。学生发现的问题有：能不能求出a的值？能不能证明∠BMA＝∠BMN？能不能求出直线MN与图形G的公共点个数？

对于第一问，学生发现只要先证明三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理就可求出a的值。他们由AB＝3，AC＝4，BC＝5，得出33+42＝52，进而推得∠A＝90°，△ABC是直角三角形。再接着，学生由条件：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，

他们设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ。显然地，他们得出OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，所以他们的出四边形AFOD为正方形，AF＝AD＝OF＝OD＝a。最后，他们利用切线长定理推得，BF＝BQ＝3-a，CD＝CQ＝4-a，解得a＝1。对于第二问，学生发现只要先求得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和就可获得结论。他们由题意可知，点O是△ABC的内心，所以∠ABM＝∠CBM。他们再从MA⊥AB，MB⊥BC等条件出发，推得∠A＝∠BNM＝90°，∠BMA＝∠BMN。对于第三问，学生发现先要作OE⊥MN于点E，再根据角平分线的性质就可求得OD＝OE，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论。也就是说，他们作OE⊥MN于点E，因为∠BMA＝∠BMN，OD⊥AC，他们就能得出OD＝OE，进而推断出OE为圆O的半径，MN为圆O的切线。换言之，直线MN与图形G的公共点个数为1。开放性作业能让学生充分地挖掘题目资源，在少做题目的情况下，获得更多的探究机会。

2.教师要设置合作性作业，有效提升学生思维的品质

提升作业的有效性其实就是增强学生的体验，让他们在各个方面都得到生长。传统的数学作业往往以独立作业为多，就是学生自己完成作业，不会做的由教师在第二天讲解。其实教师在设置作业时，也可以设置一些合作性的作业，让学生发挥各自的优势，同时还能提升他们的交往能力、解决问题的能力。合作的目的就是要发挥学生的非智力因素，让他们尝试着自己去解决问题。教师可将学生分成不同的小组，在设置一个合作性题目。学生不但要写作最后的结果，还要呈现合作的过程[2]。教师能从学生的合作中看到他们的成长，也能发现他们需要进一步提升的能力。

以华师版初中数学七年级下册《一元二次方程组的应用》为例，教师创设这样的合作作业：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？。学生拿到这样的作业，一下子不知道从何处入手。因为题目是一文言文出现的，他们不知道表达的确切含义是什么。因此他们就开始合作，语文基础好的学生先试图翻译，其他的学生去搜查有关题目的信息。借助众人的力量，他们会很快解决面临的问题。学生先是在网上查到这题来自我国古代数学著作《九章算术》第七卷中的“盈不足”问题。接着他们试着将题目翻译成现代文，一个学生翻译，别的学生做补充，直至意思很明确地显现出来。他们的翻译如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？再接着学生就开始思考，这道题属于什么类型的题目，需要运用到哪些认知。他们由最后的问题推测，这道题可能需要运用二元一次方程组来解答。因此他们决定设x人合伙购物，物价为y钱，根据题意，他们列出这样的方程组：，解得：。可见，加强合作能丰富学生的解题体验促进他们数学素养的提升。

3.教师要设置分层性作业，有效促进学生精准化生长

校本作业的有效性还在于学生能通过作业获得精准的提升，也就是说教师设置的作业中，学困生也有完成的可能；优等生也可以选择不做那些他们会做的题目。显然地，这就要求教师分层设置作业，每个学生按照自己的认知状况，选择可做的题目。这样的作业对于每个学生来说，数量上都少了许多，但是也都获得应有的锻炼。

以华师版初中数学八年级上册《全等三角形》的教学为例，教师设置这样的作业，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH。求证：GF＝GC；用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明。教师对这个作业做了这样的说明，你可以只做第一问；也可运用第一问的结论，直接做第二问。

如图二所示，学生只要连接DF，根据对称性质就可证明△ADE≌△FDE，再由HL定理，就可证明Rt△DFG≌Rt△DCG，进而证得GF＝GC。对于第二问，如图三所示，学生先是在线段AD上截取AM，使AM＝AE，因为AD＝AB，所以DM＝BE。借助第一问得结论，学生得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，又因为∠ADC＝90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，即∠EDG＝45°。接着学生从EH⊥DE这一条件出发，得出∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形。进一步，学生推断出∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∠1＝∠BEH。学生将目光聚焦在△DME和△EBH中，因为，所以△DME≌△EBH（SAS）。由全等得结论，学生得出EM＝BH。在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，所以EM=AE，进而得出BH=AE。对于这一问基础好的学生能够完成，但分层还体现在基础更好的学生还能做哪些思考。教师在第二问后面还设有一问，能不能用多种方法解题。如图四所示，学生过点H作HN⊥AB于N，构建全等三角形。他们先是证明△DAE≌△ENH，得出AE＝HN，AD＝EN；接着他们再证明△BNH是等腰直角三角形，最终可得结论。分层作业能让优等生获得更多挑战，又能让学困生同样拥有获得感。

结束语

总之，教师要创设更适合学生发展的初中校本数学作业，一方面要让他们获得足够的体验，另外一方面又要切实促进他们身心的发展。教师设置校本作业的目的不是为了增加学生的负担，也不是单纯地让他们有事做，而是让他们实现认知的内化与能力的增长。校本作业的有效性不在于作业的数量，而在于作业的质量，在于教师点燃了学生多少思维的火花，引发了他们多少的思考。