圆域上二重积分数值计算的一种构造方法

2022-12-01娄汝馨

保定学院学报 2022年6期

娄汝馨，崔嵬

（1.保定学院数据科学与软件工程学院，河北保定 071000；2.天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

二重数值积分在科学计算中具有非常重要的作用，关于矩形域上的数值积分方法已有一些研究成果，张凯院给出了单位正方形区域上的一个数值求积公式[1]，邢会超等给出了矩形域上的梯形求积公式、抛物线求积公式、复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式[2]，陈亚婷等把一个区间［a，b］上具有7次代数精确度的求积公式应用到矩形域，并给出了截断误差估计[3].而对于不规则区域的二重数值积分的研究相对较少，何洪英等给出了坐标平面上的两组通用计算公式，并通过数值算例给出了八类积分区域的分割方法[4]，但没有给出具体节点以及节点处函数值的权重系数，朱振广则用Simpson方法和三点Gauss公式构造出复杂区域上的一种二重积分计算方法[5].

本文将针对圆域上的二重积分，给出区域的分割方法，确定节点，并建立数值积分公式.

1 预备知识

2 圆域上的二重积分数值计算

圆形区域上的数值积分，没有现成的公式可以套用，下面尝试将圆域分割成矩形域进行近似计算.对于圆的切分，最直观的想法是做过圆心的若干直线将其等分.下面以圆心位于原点、半径为r的圆域为例进行说明.

2.1 圆形区域的分割

首先利用坐标轴将其四等分.过圆与坐标轴的交点，做平行于坐标轴的直线，将圆域“罩起来”，此记为第一次分割（见图1），此时整个区域是由2个矩形组成，规定x轴上方的为D1，x轴下方的为D2，此时分割圆弧所对的圆心角为α1=2-1π，可以把圆域上的积分近似用矩形域来代替，但此时矩形域会多出很大一部分，误差明显很大.

图1 第一次分割

为了减小误差，继续分割，对圆周八等分.此时整个区域由4个矩形组成，圆弧所对的圆心角为α2=2-2π，规定由上到下的小矩形区域分别是D1、D2、D3、D4，此次分割记为第二次分割（见图2），每个区域的范围是：

图2 第二次分割

区域误差有所减小，继续进行第三次分割（见图3），此时整个区域由8个矩形组成，圆心角为α3=2-3π，每个区域的范围是：

图3 第三次分割

随着分割的次数增加，误差逐渐减小，分割一直持续下去，到第n次分割，此时把圆形区域转换成了2n个矩形区域，圆心角为αn=2-nπ，每一个区域的范围如下：

2.2 圆域上的梯形求积公式

由二重积分的可加性，圆域D={（x，y）|x2+y2≤r2}上的积分可近似等于每个小矩形域上的积分之和，即

当把圆域n等分时，记Di={（x，y）│xi≤x≤xi+1，yi≤y≤yi+1}，可知：xi=-r sin iαn，xi+1=r sin iαn，yi=r cos iαn，yi+1=r cos（i-1）αn.在每个小区间上使用二重积分的梯形求积公式，得

其中 1≤i≤2n-1，i∈Z，且 hxi=2 sin iαn，hyi=cos（i-1）αn-cos iαn.

同理可得，

其中 2n-1+1≤j≤2n，j∈Z，且 hxj=2 sin（2n+1-j）αn，hyj=cos（2n-j）αn-cos（2n+1-j）αn.把上面两部分区域的积分累加，得圆域上的梯形求积公式：

这时，hxi、hyi、hxj、hyj是不依赖于函数 f（x，y）和区域半径 r的常数，可以事先计算出来.

2.3 圆域上的复化梯形求积公式

观察圆域上的梯形求积公式（*）不难发现，求积公式的本质为节点处函数值的加权求和，而梯形求积公式的节点大都分布在圆域的边界线附近，如果被积函数是关于x和y的单调函数，势必会引起较大的误差，为了缓解由此带来的影响，可采取加密节点的策略，即在每个小矩形域上使用复化梯形或复化抛物线求积公式进行计算.

由于在圆域分割为矩形域的过程中，y轴方向已经进行了多次分割，可以只考虑在x轴方向上加密节点即可.

当把圆域分割n次时，圆域被近似分成2n个矩形区域（分割图可参考图3），并且D1与D2n，D2与D2n-1，…，D2n-1与D2n-1+1均关于x轴对称，对x轴分割后分点各自对应相等.下面不妨以x轴上方的区域Di为例来说明复化求积的思想.Di=（{x，y）│-r sin iαn≤x≤r sin iαn，r cos iαn≤y≤r cos（i-1）αn}，由于-r sin iαn≤x≤r sin iαn，把区间［-r sin iαn，r sin iαn］m 等分，分点为.