迷人的平面镶嵌图形

慕小芸

平面镶嵌是指用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．用多边形镶嵌平面所构造出的各种精美图案，让人赏心悦目．

一、用多个相同正多边形镶嵌平面

要用同样大小的正多边形镶嵌平面，那么正多边形应具备的条件是：每一个公共顶点处，几个多边形的顶角和恰好等于360°，而正n边形的一个内角等于，要使得共顶点的m个内角和为360°，需使，可得

值得注意的是，其中m和n必须同时都是正整数且n不小于3．在上述不定方程中，只有以下三组解：当n=3时，得m=8；当n=4时，得m=6；当n=6时，得m=5．所以在正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形才能镶嵌整个平面，如图1．

二、用几种不同正多边形镶嵌平面

（1）这些正多边形的每个顶点都是同样数目、同样形式的多边形的公共点．因为一个正n边形的每个内角为，所以要作出均匀的镶嵌图案，就必须找出一些正整数n，p，q，…，使它们满足下列等式．

由这个式子可以得出17组不同的解，也就是说有17种不同的正多边形，但其中只有11种能镶嵌整个平面，其中三种即是前面所介绍的正三角形、正方形、正六边形，其他八种是如图2所示的图形．

（2）如果不要求正多边形的每个顶点都是同样数目、同样形状的多边形顶点，我们将会得到更加绚丽多姿的平面镶嵌图案（如图3）．

三、用一般凸多边形镶嵌平面

对于用非正多边形镶嵌的平面图形，有如下发现：

（1）用三角形可以镶嵌一个平面（如图4）．

（2）用任何凸四边形可以镶嵌一个平面（如图5）．

（3）用特定的凸五边形可以镶嵌一个平面（如图6、图7），图7是一种用五边形镶嵌的难以想出的平面图形．

（4）用特定的凸六边形（三组对边平行）镶嵌的平面（如图8、图9）．用凸六边形可以镶嵌出图9中的“花瓣形”图案．

四、用凹多边形镶嵌的平面图形

以上我们考虑的多边形都是凸多边形，如果去掉这个限制，用凹多边形也可镶嵌出各种赏心悦目的图案，图10便是用四种常见的简单的凹多边形镶嵌的图案．

五、用重复花样的图形镶嵌平面

用重复花样的图形镶嵌的平面图形，就是用几个同样的图形拼出一个与它相似的大图形．我们称具有这种性质的图形为重复花样，具有重复花样的图形包括凸多边形（如图11）和凹多边形（如图12）．

六、其他镶嵌平面

（1）用黑白圖案镶嵌的平面图形，如图13．

（2）用变形矩形镶嵌平面．改变矩形的两条长边和短边，如图14，则所得的图形可镶嵌整个平面，如图15．该图就像一群奔驰的羊群．

（3）用曲边形镶嵌平面

图16是一幅简单而雅致的花样图案，该图案常出现在罗马卡拉卡拉澡堂内的地面上．平面镶嵌不仅可用于地砖铺地面，而且在建筑结构、经济截料、废物利用等方面有着很大的实用性．

在研究平面镶嵌图形时，您会进入一个五彩缤纷、绚丽多姿的美的世界．只要您能潜心研究，也可以设计出一组别出心裁、简洁优美的图案来．